浙江省中考数学一轮复习第6章 基本图形(二)特训卷（含答案）

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一、选择题(每小题3分，共30分)
1．5个相同正方体搭成的几何体主视图为(B)
2．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心．若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为(B)
A．1.25 m B．1.3 m C．1.4 m D．1.45 m
eq \(\s\up7(),\s\d5(第2题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第3题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第4题图))
3．如图，AB是⊙O的直径．若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(A)
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°.直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为 eq \x\t(AB) 的中点．则∠ACM等于(A)
A．18° B．30° C．36° D．72°
5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1.则AB的长为(C)
A．2 B． eq \r(3) C．1 D． eq \f(1,2)
eq \(\s\up7(),\s\d5(第5题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第7题图))
6．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是(B)
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
7．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则 eq \x\t(AB) 的长为(C)
A．30π B．25π C．20π D．10π
8．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为(C)
A.700π平方厘米 B．900π平方厘米 C．1 200π平方厘米 D．1 600π平方厘米
9．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积，如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆．为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积(A)
A． eq \f(1,6) π－ eq \f(\r(3),4) B． eq \f(1,6) π－ eq \f(\r(3),2) C． eq \f(2,3) π－ eq \r(3) D． eq \f(1,6) π－ eq \f(1,4)
eq \(\s\up7(),\s\d5(第9题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第10题图))
10．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC＜60°，点P为△ABC的重心．若BC＝6，当点A到BC的距离最大时，线段PO的长为(B)
A． eq \f(1,tan ∠BAC) － eq \f(2,sin ∠BAC) B． eq \f(2,tan ∠BAC) － eq \f(1,sin ∠BAC)
C．tan ∠BAC－2sin ∠BAC D．2tan ∠BAC－sin ∠BAC
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为__4π__．(结果保留π)
12．如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝__55__°.
eq \(\s\up7(),\s\d5(第12题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第15题图))
13．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，作AC⊥AB交AB于点A，AC交⊙O于C，D两点．若AB＝3，AC＝9，则⊙O的半径长是__5__．
14．若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为__5__ cm.
15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10.以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连结AE.以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N.再分别以点M，N为圆心，大于 eq \f(1,2) MN的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F.则FD的长为__a－10__．(用含a的代数式表示)
16．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分．图2是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝1 m，C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为__( eq \f(π,4) － eq \f(1,8) )__m2.
三、解答题(共72分)
17．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 eq \x\t(AD) 上一点，AG，CD的延长线相交于点F.求证：∠FGD＝∠AGC.
证明：连结AC，∵四边形ACDG是圆内接四边形，∴∠FGD＝∠ACD.∵弦CD⊥AB于点E，∴ eq \x\t(AC) ＝ eq \x\t(AD) ，∴∠AGC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠AGC.
18．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D.(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D相切．

(1)解：如图，AD即为所求．
(2)证明：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD，∴DE为⊙D的半径，∴AB与⊙D相切．
19．(8分)如图，AB为⊙O的弦，C为 eq \x\t(AB) 的中点．过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D.连结OA，OC.
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积．
(1)证明：设OC交AB于点E，∵OC是⊙O的半径，C为 eq \x\t(AB) 的中点，∴OC垂直平分AB.∵CD∥AB，∴∠OCD＝∠OEB＝90°.∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵OA＝OC＝OB＝3，BD＝2，
∴OD＝OB＋BD＝3＋2＝5.
∵∠OCD＝90°，∴CD＝ eq \r(OD2－OC2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，
∴S△OCD＝ eq \f(1,2) CD·OC＝ eq \f(1,2) ×4×3＝6.∴△OCD的面积是6.
20．(8分)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切．
(2)连结OA.若CD＝4，CF＝2，求sin ∠OAC的值．

(1)证明：连结OD，OA，作OH⊥AB于点H，如图．
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.
∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC，∴OH⊥AB，∴OH＝OD，
∴AB与半圆O相切．
(2)解：由(1)知OD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝OC2，∴OD2＋42＝(OD＋2)2，∴OD＝3，∴OC＝5，
∴cs C＝ eq \f(CD,OC) ＝ eq \f(4,5) .
在Rt△OCA中，cs C＝ eq \f(OC,AC) ＝ eq \f(4,5) ，∴sin ∠OAC＝ eq \f(OC,AC) ＝ eq \f(4,5) .
21．(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径．D是△ABC的内心，连结AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.
(1)求证：BC∥EF.
(2)连结CE，若⊙O的半径为2，sin ∠AEC＝ eq \f(1,2) ，求阴影部分的面积．(结果用含π的式子表示)

(1)证明：连结OE，交BC于点G，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.
又∵D为△ABC的内心，∴∠OAE＝∠CAE，∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BGO＝90°.
又∵EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径，∴∠FEO＝90°，
∴∠BGO＝∠FEO，∴BC∥EF.
(2)解：连结BE，∵sin ∠AEC＝ eq \f(1,2) ，∴∠AEC＝30°，
∴∠ABC＝∠AEC＝30°，∴∠BOE＝60°，∠EFO＝30°.
∴EF＝OE·tan 60°＝2 eq \r(3) ，
∴S阴影部分＝S△EFO－S扇形BOE＝ eq \f(1,2) ×2×2 eq \r(3) － eq \f(60×π×22,360) ＝2 eq \r(3) － eq \f(2π,3) .
22．(10分)如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径．点C，D在l上，且位于点A两侧．连结BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连结EF，AE，AF.
(1)求证：∠BAF＝∠CDB.
(2)若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长．
(1)证明：∵直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，∴∠BAC＝∠BAD＝90°.∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CDB＋∠ABD＝90°，∴∠BAF＝∠CDB.
(2)解：在Rt△ABD中，∵AB＝2r＝12，AD＝9，
∴BD＝ eq \r(92＋122) ＝15.在Rt△ABC中，
∵AB＝12，AC＝12，∴BC＝ eq \r(122＋122) ＝12 eq \r(2) .
∵∠ABF＝∠DBA，∠AFB＝∠DAB，∴△BAF∽△BDA，
∴BF∶BA＝BA∶BD，即BF∶12＝12∶15，解得BF＝ eq \f(48,5) .
∵∠BEF＝∠BAF，∠BAF＝∠CDB，∴∠BEF＝∠CDB，
∵∠EBF＝∠DBC，∴△BEF∽△BDC，∴EF∶CD＝BF∶BC，
即EF∶21＝ eq \f(48,5) ∶12 eq \r(2) ，解得EF＝ eq \f(42\r(2),5) ，即EF的长为 eq \f(42\r(2),5) .
23．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径．点D在 eq \x\t(BC) 上， eq \x\t(AC) ＝ eq \x\t(BD) ，点E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD.
(1)如图1，求证：CE是⊙O的切线．
(2)如图2，若∠CEA＝2∠DAB，OA＝8，求 eq \x\t(BD) 的长．
(1)证明：如图1，连结OC，∵∠CAO是△ACE的一个外角，
∴∠CAO＝∠CEA＋∠ACE，即∠CAD＋∠DAB＝∠CEA＋∠ACE.
∵∠CEA＝∠CAD，∴∠DAB＝∠ACE.
∵ eq \x\t(AC) ＝ eq \x\t(BD) ，∴∠ABC＝∠DAB，∴∠ABC＝∠ACE.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠OAC＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ABC＋∠OCA＝90°，
∴∠ACE＋∠OCA＝90°，即∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
(2)解：如图2，连结OD，设∠DAB＝x，∴∠CEA＝2∠DAB＝2x.
∴∠CEA＝∠CAD，∴∠CAD＝2x.∵ eq \x\t(AC) ＝ eq \x\t(BD) ，
∴∠ABC＝∠DAB＝x.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，
∴x＋2x＋x＝90°，∴x＝22.5°，即∠DAB＝22.5°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝45°.∵OA＝8，∴ eq \x\t(BD) 的长为 eq \f(45π×8,180) ＝2π.
24．(12分)如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O.点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP.
(1)求证：AE＝BF.
(2)当AB＝1时，求CP的最小值．
(3)若CP＝CF，求BE∶BC的值．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF＝90°－∠ABP，
易证△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF.
(2)解：如图1，连结OP，OC，∵AB是⊙O的直径，且AB＝1，
∴OP＝OB＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ，AB＝BC＝1，
∴OC＝ eq \r(OB2＋BC2) ＝ eq \r(（\f(1,2)）2＋12) ＝ eq \f(\r(5),2) .
∵CP＋OP≥OC，∴CP＋ eq \f(1,2) ≥ eq \f(\r(5),2) ，∴CP≥ eq \f(\r(5)－1,2) ，
∴CP的最小值为 eq \f(\r(5)－1,2) .
(3)解法一：连结EF，取EF的中点I，以IE为半径作⊙I，连结IP，IC，
如图2所示．∵∠EPF＝∠ECF＝90°，∴IP＝IC＝IF＝IE＝ eq \f(1,2) EF，
∴P，E，C，F四点都在⊙I上．
∵CP＝CF，∴∠CEF＝∠CPF＝∠BFC.
由(1)得△ABE≌△BCF，∴∠AEB＝∠BFC，CF＝BE，
∴∠CEF＝∠AEB，∴ eq \f(CF,CE) ＝tan ∠CEF＝tan ∠AEB＝ eq \f(AB,BE) ，
∴ eq \f(BE,BC－BE) ＝ eq \f(BC,BE) ，整理得BE2＋BC·BE－BC2＝0，
∴BE＝ eq \f(\r(5)－1,2) BC或BE＝－ eq \f(\r(5)＋1,2) BC(不符合题意，舍去)，
∴ eq \f(BE,BC) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，∴BE∶BC的值为 eq \f(\r(5)－1,2) .
解法二：延长CP交AB于点G，如图3所示．则∠GPB＝∠CPF，
∵AB∥CD，∴∠GBP＝∠CFP.∵CP＝CF，∴∠CPF＝∠CFP，
∴∠GPB＝∠GBP，∴GB＝GP.
∵∠GPA＋∠GPB＝90°，∠GAP＋∠GBP＝90°，∴∠GPA＝∠GAP，∴GA＝GP，∴GA＝GB＝GP.
设GA＝GB＝GP＝m，则BC＝AB＝2m，∴CG＝ eq \r(m2＋（2m）2) ＝ eq \r(5) m，∴BE＝CF＝CP＝ eq \r(5) m－m，
∴ eq \f(BE,BC) ＝ eq \f(\r(5)m－m,2m) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，∴BE∶BC的值为 eq \f(\r(5)－1,2) .