浙江省中考数学一轮复习第5章 基本图形(一)特训卷（含答案）

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一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为(B)
A．25° B．35° C．45° D．55°
eq \(\s\up7(),\s\d5(第1题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第2题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第4题图))
2．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2.则点P到OA的距离是(C)
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，在△ABD中，∠BAD＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，此时点C恰好落在BD边上．若∠E＝24°，则∠BAC＝(B)
A．24° B．48° C．66° D．72°
5．下列命题中，正确的是(A)
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形
6．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上．当△EBC是等边三角形时，∠AEB为(C)
A．30° B．45° C．60° D．120°
eq \(\s\up7(),\s\d5(第6题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第7题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第8题图))
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°.AD是BC边上的高，E是DC的中点，连结AE.则图中的直角三角形共有(C)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为(B)
A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(4,3) D．2
9．如图，在菱形ABCD中，对角线交点为O.E是AD的中点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，连结FG.若AC＝10，BD＝24，则FG的长为(C)
A.12 B．10 C．6.5 D．5
eq \(\s\up7(),\s\d5(第9题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第10题图))
10．如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连结AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为(C)
A．1 B．2 C．5 D．10
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为__8__．
12．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是__50°__．
eq \(\s\up7(),\s\d5(第12题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图))
13．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连结BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为__4__．
14．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度．其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为__x2＋22＝(x＋0.5)2__．
15．如图，菱形ABCD的面积为24，E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为__10__．
eq \(\s\up7(),\s\d5(第15题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第16题图))
16．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G.若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为__ eq \f(27,8) __．
三、解答题(共72分)
17．(8分)已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF.若________，则AB＝CD.
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件(填序号)，使结论成立，并说明理由．
证明：选择①.∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD，∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D.
在△AEC和△BFD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACE＝∠D，,∠A＝∠FBD，,AE＝BF，))
∴△AEC≌△BFD(AAS)，∴AC＝BD，∴AB＝CD；
选择③.∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD.在△AEC和△BFD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠A＝∠FBD，,AE＝BF，,∠E＝∠F，)) ∴△AEC≌△BFD(ASA)，∴AC＝BD，∴AB＝CD.
18．(8分)如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF.求证：∠1＝∠2.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF.
在△ADE和△CBF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝BC，,∠ADE＝∠CBF，,DE＝BF，))
∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴∠1＝∠2.
19．(8分)如图，△ABC中，AB＝AC，分别以B，C为圆心，大于 eq \f(1,2) BC长为半径画弧，两弧交于点D，连结BD，CD，AD，AD与BC交于点E.
(1)求证：△ABD≌△ACD.
(2)若BD＝2，∠BDC＝120°，求BC的长．
(1)证明：由作图知：BD＝CD.
在△ABD和△ACD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))
∴△ABD≌△ACD(SSS).
(2)解：∵△ABD≌△ACD，∠BDC＝120°，∴∠BDA＝∠CDA＝
eq \f(1,2) ∠BDC＝ eq \f(1,2) ×120°＝60°，又∵BD＝CD，∴DA⊥BC，BE＝CE.
∵BD＝2，∴BE＝BD·sin ∠BDA＝2× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(3) ，∴BC＝2BE＝2 eq \r(3) .
20．(8分)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，AO平分∠BAC.以AC为腰作等腰三角形ACD，使AC＝CD，且CD交AO的延长线于点D.
(1)求证：BC⊥CD.
(2)设 eq \f(AB,CD) ＝k，求k的值．
(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°.∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO.
又∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD，∴∠D＝∠BAO，
∴AB∥CD，∴∠DCB＝∠ABC＝90°，即BC⊥CD.
(2)解：∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC，
∴AC＝ eq \r(2) AB，即 eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(\r(2),2) ，
又∵AC＝CD，∴ eq \f(AB,CD) ＝ eq \f(\r(2),2) ，即k＝ eq \f(\r(2),2) .
21．(8分)如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF.
(1)求证：△GEC是等腰三角形．
(2)连结AD，请说明AD与直线l的位置关系．

(1)证明：在△ABC和△DFE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝DF，,AC＝DE，,BC＝EF，))
∴△ABC≌△DFE(SSS)，∴∠ACB＝∠DEF，
即∠GCE＝∠GEC，∴GE＝GC，∴△GEC为等腰三角形．
(2)解：AD∥l.理由如下：连结AD，过点A作AM⊥直线l于点M，过点D作DN⊥直线l于点N，如图所示．则∠AMB＝∠DNF＝90°，AM∥DN.∵△ABC≌△DFE，∴∠ABM＝∠DFN.在△ABM和△DFN中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AMB＝∠DNF＝90°，,∠ABM＝∠DFN，,AB＝DF，)) ∴△ABM≌△DFN(AAS)，
∴AM＝DN，∴四边形AMND为平行四边形，∴AD∥l.
22．(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点E，F分别在边BC，AD上，且EF⊥AC于点O，OE＝OF.
(1)求证：OA＝OC.
(2)求AF的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO.在△AOF和△COE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AFO＝∠CEO，,∠FAO＝∠ECO，,OF＝OE，))
∴△AOF≌△COE(AAS)，∴OA＝OC.
(2)解：如图，连结CF，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，∠D＝90°.设AF＝x，则DF＝AD－AF＝8－x.由(1)知OA＝OC，又∵EF⊥AC于点O，∴EF是AC的垂直平分线，∴CF＝AF＝x.在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2＝DF2＋CD2，∴x2＝(8－x)2＋62，解得x＝ eq \f(25,4) ，即AF的长是 eq \f(25,4) .
23．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，AF⊥BE交BE于点F，交BC于点G，连结EG，CF.
(1)判断四边形AEGB的形状，并说明理由．
(2)若tan ∠ABC＝ eq \r(3) ，CD＝8，AD＝10，求线段CF的长．

解：(1)四边形AEGB是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE.
∵AG⊥BE于点F，∴BF＝EF，∠BAG＝∠EAG，
∴AG垂直平分BE，∴GB＝GE.
∵∠BAG＝∠EAG，∠BGA＝∠EAG，∴∠BAG＝∠BGA，∴AB＝GB，∴AB＝AE＝GB＝GE，∴四边形AEGB是菱形．
(2)过点F作FH⊥BC于点H，则∠CHF＝90°，
∵GB＝AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，∴CG＝BC－GB＝10－8＝2.
∵tan ∠ABC＝ eq \r(3) ，∴∠ABC＝60°，∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝AB＝8，∠AGB＝60°，∴GF＝AF＝ eq \f(1,2) AG＝4，
∠GFH＝90°－∠AGB＝30°.∴GH＝ eq \f(1,2) GF＝2，
∴CH＝CG＋GH＝2＋2＝4，FH＝ eq \r(GF2－GH2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) ，
∴CF＝ eq \r(CH2＋FH2) ＝ eq \r(42＋（2\r(3)）2) ＝2 eq \r(7) ，∴线段CF的长是2 eq \r(7) .
24．(12分)定义：在四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形．例如图1，在四边形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°，MA＝MB，MC＝MD，则四边形ABCD为蝴蝶四边形．
(1)【概念理解】如图2，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O.求证：正方形ABCD为蝴蝶四边形．
(2)【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°.求证：AC＝BD.
(3)【拓展应用】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°，MA＝MB＝ eq \r(2) ，MC＝MD＝1.当△ACD是等腰三角形时，求此时以BD为边的正方形的面积．
(1)【概念理解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形，正方形ABCD的对边AB，CD分别为斜边，∴正方形ABCD为蝴蝶四边形．
(2)【性质探究】证明：∵四边形ABCD是蝴蝶四边形，∠AMB＝∠CMD＝90°，∴△AMB和△CMD都是等腰直角三角形，∴AM＝BM，CM＝DM，∠AMB＋∠CMB＝∠CMD＋∠CMB，∴∠AMC＝∠BMD，
∴△AMC≌△BMD(SAS)，∴AC＝BD.
(3)【拓展应用】解：延长AM交CD于点N，
∵△ACD是等腰三角形，∴AC＝AD.
∵CM＝DM＝1，AM＝AM，
∴△AMC≌△AMD(SSS)，∴∠CAM＝∠DAM.
∵AC＝AD，∴AN⊥CD，CN＝DN，
∴MN＝CN＝DN＝ eq \f(1,2) CD＝ eq \f(\r(2),2) CM＝ eq \f(\r(2),2) ，∴AN＝AM＋MN＝ eq \f(3\r(2),2) ，
∴AC＝ eq \r(AN2＋CN2) ＝ eq \r(\f(18,4)＋\f(2,4)) ＝ eq \r(5) .∴BD＝AC＝ eq \r(5) ，
∴以BD为边的正方形的面积为( eq \r(5) )2＝5.