第四章 数列（能力测评卷）-2020-2021学年高二数学单元复习全面过（人教A版2019选择性必修第二册）

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章末检测（四) 数列能力测评卷姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间12分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2021·江西高三其他模拟（文））设等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝(　　)A．10　　　　　　　　　　 B．20C．16 D．12【答案】D【解析】∵{an}是等差数列，∴d＝＝，∴a7＝2＋4×＝12.2．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高三期末（文））在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　)A．－ D．C．－ D．【答案】B【解析】∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×＝－，a5＝(－1)5×2×＝.3．（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝(　　)A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3【答案】A【解析】在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.4．（2021·江西吉安市·高二期末（文））在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为(　　)A．－1 B．1C．5 D．－5【答案】【解析】因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.5．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二期末）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的(　　)A．第8项 B．第10项C．第12项 D．第14项【答案】D【解析】当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝则2＋1－2＝254，n＝14，故选D.6．（2021·江西高二期末（文））已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＝，则a2＝(　　)A．2 D． C．3 D．【答案】C【解析】∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＝.∵a1a2a3＝15，∴＝，∴a2＝3.故选C.7．（2021·浙江丽水市·高二月考）如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，那么an＝(　　)A. D．C. D．【答案】A【解析】由题知a1＝1，q＝，则an－an－1＝1×n－1.设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝＝，∴an＝.8．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二期末）若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)，满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{bn}是项数不超过2m(m＞1，m∈N*)的对称数列，且1,2,4，…，2m－1是数列{bn}的前m项，则当m＞1 200时，数列{bn}的前2 019项和S2 019的值不可能为(　　)A．2m－2m－2 009 B．22 019－1C．2m＋1－22m－2 019－1 D．3·2m－1－22m－2 020－1【答案】A【解析】若数列{bn}的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m－1,2m－1，…，22,2,1，当m≥2 019时，S2 019＝＝22 019－1，故B可能．当1 200＜m＜2 019时，S2 019＝2×－＝2m＋1－22m－2 019－1，故C可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m－2,2m－1,2m－2，…，22,2,1，当m≥2 019时，S2 019＝＝22 019－1.当1 200＜m＜2 019时，S2 019＝2×－＋2m－1＝3·2m－1－22m－2 020－1，故D可能．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．（2021山东省淄博市实验中学高二期末考试）已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，则以下结论正确的有(　　)A．a9·a10a10C．b10>0 D．b9>b10【答案】AD【解析】∵等比数列{an}的公比q＝－，∴a9和a10异号，∴a9a10＝b9且a10>b10，∴b9和b10中至少有一个数是负数，又∵b1＝12>0，∴db10，故D正确；∴b10一定是负数，即b100成立的最大正整数n的值为________．【答案】673【解析】由an＝2 020－3n>0，得n0，且＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.∴S5＝＝8×＝.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)（2021·山东济南市·高二期末）已知等比数列中，，．（1）求数列的通项公式;（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意得： 解得所以（2）所以数列为等差数列，所以．18．(本小题满分12分) （2020·山东省济南第十一中学高二期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，.(1)求等比数列{an}的公比q；(2)求.【解析】(1)由，a1＝－1，知公比q≠1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝，q＝－.(2)由(1)，得an＝(－1)×，所以＝n－1，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，故＝＝.19．(本小题满分12分)（2021·江苏高三一模）已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为.若，(为偶数)，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以即解得，所以.经检验，符合题设，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，，所以.，∴，因为，，所以，即.因为为偶数，所以.20．(本小题满分12分) （2021·安徽滁州市·高二期末（理））已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，anm≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，k的值；若存在，请说明理由．【答案】（1）； （2）存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列．【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋.由已知，得 即，解得.所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列，则.因为bn＝，所以b1＝，bm＝，bk＝，所以整理，得k＝.以下给出求m，k的方法：因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0.解得1－