第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：人教版第16-17章）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

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注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：二次根式、勾股定理全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级上·江西宜春·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘法、除法、加减法法则以及二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确误，符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可．
【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为，
则，
，
故选：．
4．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为12cm，高5cm的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将勾股定理与实际问题相结合，解答此题的关键是画出图形确定h的最大值和最小值．先根据题意画出图形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】当筷子和杯底垂直时h最大，则最大，
当筷子和杯底及杯高成直角三角形时，h最小，此时，
故最小，
故取值范围是：．
故选：C
5．（2025八年级下·全国·专题练习）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查数轴的特点，绝对值化简二次根式的性质，理解并掌握数轴的特点，绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键．
由数轴得出，进一步得出，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可．
【详解】解：由数轴得，，
∴，
∴
，
故选：D．
6．（24-25八年级上·四川成都·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简，从而求解．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，直角中，，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，下列关于，，之间的大小关系，正确的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查角平分线的性质和勾股定理，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答．根据角平分线的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：点是三条角平分线的交点，
和和的高相等，高设为h，
的面积记为，的面积记为，的面积记为，
，，
，
，
，
故选：B．
8．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（ ）
A．B．C．D．7
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得是解答本题的关键．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图：作于D，作于E，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：．
故选：A．
9．（2025九年级下·全国·专题练习）设，则不超过的最大整数为（ ）
A．2027B．2026C．2025D．2024
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可．
【详解】解：对于正整数，有
，
∴，
∴
，
，
∴不超过的最大整数为2024.
故选：D．
10．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：． 过点作于点，延长交于点，则平分．若，则．其中错误的结论有( )

A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定；过点作交延长线于点，证明得出，进而得出；过点作交的延长线于点，过点作，证明，，进而得出，，根据，不能得出，，即可判断②；根据全等三角的性质得出，得出，同理解得，进而即可判断③．
【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点，
，
，
又，，
，
，
，
即，故①正确
如图所示，过点作交的延长线于点，过点作
，
，
又，
，
同理可证，，
若 ，

，则平分．
而，则，
不平分，故②错误．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得
，故③正确
故错误的有1个，
故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若式子有意义，则写出一个符合条件的x的整数值： ．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件．熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式及分式有意义的条件．得出不等式组，求出x的取值范围，即可求解．
【详解】解：由题意，得，
解得：
∴符合条件的x的整数值为2，
故答案为：2（答案不唯一）．
12．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6和10，则正方形B的边长是 ．

【答案】2
【分析】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理的意义是解题的关键．
根据正方形的面积与边长的关系，可知，则由此即可求解．
【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知，
∴．
∴正方形B的边长是2．
故答案为：2．
13．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若x，y为实数，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式是解题的关键．
根据二次根式可得且，从而可得，，然后把，的值代入式子中进行计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：
且，
解得：且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积即可得出答案．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积为：．
故答案为：6．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解．
先将化简为10，可得n最小为3，即可求解．
【详解】解：∵10，且为整数，
∴n最小为3.
故答案为：3．
16．（2025八年级下·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可．
【详解】解：
∴
，
故答案为：0．
17．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，构造直角三角形，、利用勾股定理求出结果．
【详解】解：如下图所示，将圆柱的侧面展开，
则有，，，
作点关于的对称点，作交的延长线于点，
则，，
，
故答案为： ．
18．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
【答案】 10 6
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解；
（2）由条件易证，得到，所以，即可求解．
【详解】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算减法，即可作答．
（2）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，即可作答．
【详解】（1）解：
（2）解：
20．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，，，．
(1)试判断与是否垂直？并通过计算进行说明；
(2)若的面积为3，求的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的性质和判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质和判定；
（1）根据勾股定理的判定，证明是直角三角形，即可得证；
（2）根据三角形的面积求出，再根据勾股定理的性质即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下，
，
，
是直角三角形，且，
；
（2）解：，
，
，
．
21．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形．

(1)请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数．
(2)请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边．
(3)请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键．
（1）根据三角形的分类进行作图即可；
（2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图；
（3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可．
【详解】（1）解：如图，点C为所求作的点；

（2）解：如图，点C为所求作的点；

（3）解：如图，点C为所求作的点；

22．（2025·江西·模拟预测）一次数学活动课上，江老师要求大家化简，下面是小西和小赣两位同学的运算过程：
(1)小赣第一步的运算依据是______；
(2)江老师认为小西和小赣两人都错，现请你写出正确的运算过程；
(3)若a，满足，求这个式子的值．
【答案】(1)乘法分配律
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的非负性，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）观察小赣同学的解题过程，即可确定运算依据；
（2）先算括号内同分母的分式减法，再算除法即可；
（3）根据非负性，分别求出a，b的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：小赣第一步的运算依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（2）解：原式
；
（3）解：满足，
，，
原式．
23．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图12所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米，设旗杆的高度为x米．
(1)用含x的式子表示绳子的长为________米；
(2)求旗杆的高度；
(3)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？
【答案】(1)
(2)12米
(3)7
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
（1）根据系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米即可求解；
（2）根据勾股定理列方程求解即可；
（3）先根据勾股定理求出，即可得解．
【详解】（1）解：用含x的式子表示绳子的长为米，
故答案为：；
（2）解：由题意知：米，，
，
，
解得：，
旗杆的高度米；
（3）解：由（2）知，米，则米，
米，
米，
珍珍应从A处向东走7米．
24．（24-25九年级上·河南郑州·期中）阅读下列解题过程：
请你参考上面的化简方法，解决如下问题：
(1)计算：；
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算；
（1）仿照题意求解即可；
（2）先仿照题意证明，进而将原式转变为，据此求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
∴
．
25．（23-24八年级上·河南·阶段练习）（1）如图1，都是等边三角形，点在边上，连接，则的度数为______．
（2）如图2，都是等腰直角三角形，，点在边上，连接，请判断的度数及线之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，连接，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2），，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的性质和判定，构建全等三角形是关键．
（1）根据等边三角形性质利用证明，可得；
（2）根据等腰直角三角形性质利用证明，可得；，进而可得，再利用勾股定理即可得到结论；
（3）如图，延长至点，使，由，则，可得，进而可证，推出，再根据图形面积之间的关系可得结果．
【详解】解：（1）∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，，
∴，
∴,
∴．
（3）如图，延长至点，使
∵，
∴
∵
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴。
26．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝ 时，平分；
(2)求t为何值时，为等腰三角形？
(3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)3
(2)6或或12或13
(3)4或12
【分析】（1）过点M作于D，证明，得出，由勾股定理列方程，即可求得答案；
（2）分情况讨论：①M在边上时，求出的长，即得答案；②点M在边上时，有三种情况，分别求出的值，即得答案；③在边上时，不能构成三角形；由此即得答案；
（3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：过点M作于D，
则，
平分，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，
在中， ，
解得：，
，
即当t为3时，平分；
（2）解:①当点M在上，如图，时，，
则；
②当点M在上，时，过点C作于D，
，
，
在中，，
，为边上的高，
，
，
，
则，
当时，，
，
，
当时，
，，
，
，
，
③当点M在边上时，不能构成三角形；
综上所述，当或或12或13时，为等腰三角形；
（3）解：分两种情况：
①M、N相遇前，当M点在上，N在上，如图所示：
则，
；
②在M、N相遇后，当M点在上，N在上，如图所示：
则，
；
为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分．
故答案为：4或12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，一元一次方程的应用，正确画出图形变换时的图形是解题的关键．
小西：
原式
小赣：
原式