八年级数学月考卷01（人教版，测试范围：八年级下册第16章~第19章）-2024-2025学年初中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版八年级下册 第16章~第19章。
5．难度系数：0.79。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．2，3，5C．6，8，11D．5，12，13
【答案】D．
【解析】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、∵2+3＜5，∴不能构成三角形，此选项不符合题意；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，此选项符合题意；
2．在函数y=x−1x−5中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x≤1且x≠5D．x≥1且x≠5
【答案】D．
【解析】解：由题意，得
x﹣1≥0且x﹣5≠0，
解得x≥1且x≠5，
3．若最简二次根式10−2m与m+4可以合并，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】D．
【解析】解：由题意得10﹣2m＝m+4，
解得：m＝2，
故选：D．
4．实数1−2的倒数是（ ）
A．1−2B．1+2C．−2−1D．2−1
【答案】C．
【解析】解：实数1−2的倒数是11−2=1+2(1−2)(1+2)=−2−1．
5．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24B．36C．40D．48
【答案】D．
【解析】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48．
6．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=ℎ5（不考虑风速的影响）．记从25m高空抛物到落地所需时间为t1，从50m高空抛物到落地所需时间为t2，则t2t1的值为（ ）
A．2B．5C．22D．255
【答案】A．
【解析】解：由题意得：t2t1=105=2，
7．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+1的图象相交于点P（a，3），则下列说法错误的是（ ）
A．k＞0
B．b＞0
C．关于x的方程kx+b＝3的解是x＝﹣1
D．关于x的不等式kx+b＜﹣2x+1的解集是x＜3
【答案】D．
【解析】解：根据题意，把交点P（a，3）代入一次函数y＝﹣2x+1中得，
﹣2a+1＝3，解得，a＝﹣1，
∴P（﹣1，3），
把点P（﹣1，3）代入一次函数图象y＝kx+b得，﹣k+b＝3，
根据一次函数y＝kx+b的图象可得，k＞0，b＞0，故A，B选项正确，不符合题意；
当x＝﹣1时，kx+b＝3，故C选项正确，不符合题意；
当kx+b＜﹣2x+1时，x＜﹣1，故D选项错误，符合题意；
8．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（ ）
A．17cmB．24cmC．26cmD．28cm
【答案】C．
【解析】解：设AB＝AD＝x cm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．23B．33C．63D．923
【答案】B．
【解析】解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴OB＝OD，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠FBO＝∠EDO，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，BF＝DF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BFDE为菱形，AE＝CF，
∴EO＝FO，∠FBO＝∠OBE，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF＝30°，
∵EF＝AE+FC，
∴AE＝EO＝OF＝CF，
∵AB＝3，
∴AE=3，BE=23，
∴CF＝AE=3，BF＝BE=23，
∴BC＝BF+CF=33，
10．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，你认为正确的结论是（ ）
①小帅的骑车速度为16千米/小时；
②点C的坐标为（0.5，0）；
③求线段AB对应的函数表达式为y＝8x+4（0.5≤x≤2.5）；
④当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米．
A．①②B．②③C．①③④D．①②③④
【答案】D．
【解析】解：①由图可得，
小帅的骑车速度是：（24﹣8）÷（2﹣1）＝16（千米/小时），①正确；
②点C的横坐标为：1﹣8÷16＝0.5（小时），
∴点C的坐标为（0.5，0），②正确；
③设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（0.5，8），B（2.5，24），
∴0.5k+b=82.5k+b=24，
解得：k=8b=4，
∴线段AB对应的函数表达式为y＝8x+4（0.5≤x≤2.5），③正确；
④当x＝2时，y＝8×2+4＝20，
∴此时小泽距离乙地的距离为：24﹣20＝4（千米），
答：当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米，④正确．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（ ）
A．94cmB．134cmC．3cmD．254cm
【答案】B．
【解析】解：连接BH，如图所示：
根据作图可知，EF垂直平分AB，
∴BH＝AH，AD＝BD，
∵△ABC为直角三角形，
∴CD=12AB=5cm，
∴CG＝CD＝5cm，
根据勾股定理得：AC=AB2−BC2=102−62=8(cm)，
∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm），
设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm，
根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x=254，
∴GH=AH−AG=254−3=134(cm)，
12．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．若AH⊥HF，AB＝5，则阴影部分的面积为（ ）
A．5B．7C．152D．172
【答案】C．
【解析】解：如图，连接FH，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝EH，∠EFH＝∠EHF＝45°，
∵AH⊥HF，
∴∠AHF＝90°，
∴∠HAF＝∠AFH＝∠AHE＝45°，
∴AE＝EH，
∴AF＝DE＝2EF，
∵AD＝AB＝5，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴AE2+（2AE）2＝52，
∴AE=5，
∴EF＝AE=5，DE＝25，
∴阴影部分的面积=12AE⋅EH+12EF⋅DE=12×5×5+12×5×25=152．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知1＜x＜2，则|x−3|+(x−2)2的值为 5﹣2x ．
【答案】5﹣2x．
【解析】解：∵1＜x＜2，
∴|x−3|+(x−2)2
＝|x﹣3|+|x﹣2|
＝3﹣x+2﹣x
＝5﹣2x，
14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1 ＞ y2．（填“＞”“＜”“＝”）
【答案】＞．
【解析】解：∵k＝﹣6＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，且x1＜x2，
∴y1＞y2．
15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 18 ．
【答案】18．
【解析】解：如图，连接AC，
∵S1＝8，S2＝11，S3＝15，
∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15，
在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得，
AC2＝AB2+BC2＝26，
∴CD2＝AC2﹣AD2，
∴CD2＝26﹣8＝18，
∴S4＝18，
16．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC的中点，则DE长为 2 ．
【答案】2．
【解析】解：延长BD交AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠FAD，
∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠ABD＝∠AFD，
∴AF＝AB＝6，
∵AD⊥BF，
∴BD＝FD，
∵E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=12FC，
∵CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4，
∴DE＝2．
17．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝6，m﹣n＝1，则S1﹣S2＝ 6 ．
【答案】6．
【解析】解：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积，
由图可知：S1=m2−S空白，S2=n2−S空白，
∴S1−S2=m2−S空白−(n2−S空白)=m2−n2，
∵m+n＝6，m﹣n＝1，
∴（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2＝6×1＝6；
∴S1−S2=m2−n2=6；
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 485 ．
【答案】485．
【解析】解：如图，连接BP，
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，
∴BD＝DC，
∴BP＝PC，
∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，
∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，
∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，
令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，
∵BQ'⊥AC，
∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，
即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，
解得a=145，
∴BQ'=102−a2=485，
∴PC+PQ的最小值为485，
三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1）48÷3+12×24−27；
（2）(3−2)2+(6+1)(6−1)．
【解析】解：（1）原式=48÷3+12×24−27
=16+12−27
=4+23−33
=4−3； （4分）
（2）原式=(3)2+(2)2−2×3×2+(6)2−12
=3+2−26+6−1
=3+2+6−1−26
=10−26． （8分）
20．（8分）DeepseeK公司提供两种数据分析服务包：标准版（A型）和专业版（B型）．销售一个标准版利润为100元，专业版利润为150元．公司计划一次推出两种服务包共100个，由于某些条件限制，其中专业版的推出量不能超过标准版的3倍．设推出标准版服务包x个，总利润为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如何分配服务包数量才能使总利润最大？总利润最大是多少？
【解析】解：（1）设标准版服务包数量为x个，则专业版数量为（100﹣x）个．总利润由标准版和专业版的利润组成，
即：y＝100x+150（100﹣x），
化简得：y＝﹣50x+15000， （4分）
（2）利润函数y＝﹣50x+15000的k=﹣50＜0，
∴当x取最小值时，总利润最大． （5分）
根据条件，专业版数量不超过标准版的3倍，即100﹣x≤3x，
解得x≥25．
同时x需满足0≤x≤100，
结合限制条件，x的取值范围为 25≤x≤100． （6分）
∴当x＝25时，此时最大利润为：y＝﹣50×25+15000＝13750． （8分）
21．（8分）如图，已知点C，请你按要求分别设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC．
（1）AB的长为无理数，AC、BC的长均为有理数；
（2）AB的长为有理数，AC、BC的长均为无理数；
（3）三边的长均为无理数．
【解析】解：（1）如图所示：AB＝AC＝2，则AB＝22；
（2分）
（2）如图所示：AC＝BC=2，则AB＝2；
（5分）
（3）如图所示：AC＝BC=10，则AB＝25．
（8分）
22．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为60km和80km，AB＝100km，以台风中心为圆心周围50km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为14km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【解析】解：（1）海港C受台风影响，理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝60km，BC＝80km，AB＝100km，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， （1分）
∴S△ABC=12AC•BC=12AB•CD，
∴AC•BC＝AB•CD，
即60×80＝100×CD，
∴CD＝48（km）， （3分）
∵以台风中心为圆心周围50km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响； （4分）
如图：当EC＝50km，FC＝50km时，正好影响海港C， （5分）
∵CD⊥AB，
∴DE＝DF，
由勾股定理得：DE=EC2−CD2=502−482=14（km），
∴EF＝2DE＝2×14＝28（km）， （6分）
∵台风的速度为14km/h，
∴28÷14＝2（小时）， （7分）
答：台风影响该海港持续的时间有2小时． （8分）
23．（8分）已知一条直线经过点A（0，4），点B（2，0），将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB＝DC．
（1）求以直线CD为图象的解析式；
（2）过△AOB顶点的直线l将△AOB的面积平分，请直接写出直线l的解析式．
【解析】解：（1）设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴2k+b=0b=4，
解得k=−2b=4，
∴直线AB解析式为y＝﹣2x+4， （2分）
∵DB＝DC，OD⊥BC，
∴OB＝OC，
∴点C（﹣2，0）， （3分）
设直线CD为图象的解析式为y＝﹣2x+n，
∴0＝﹣2×（﹣2）+n，解得：n＝﹣4，
∴直线CD为图象的解析式y＝﹣2x﹣4； （4分）
（2）如图，设OB中点为E，OA中点为F，AB中点为G，
∴S△OAE＝S△BAE，S△OBF＝S△ABF，S△OAG＝S△OBG， （5分）
∵点A（0，4），点B（2，0），点O（0，0），
∴E（1，0），F（0，2），G（1，2）， （6分）
∴设直线AE即直线l1解析式为y＝k1x+b1，
∴k1+b1=0b1=4，
解得k1=−4b1=4，
∴直线l1解析式为y＝﹣4x+4， （7分）
同理直线l2解析式为y＝﹣x+2，直线l3解析式为y＝2x，
综上，直线l的解析式为y＝﹣4x+4或y＝﹣x+2或y＝2x． （8分）
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝8，CF＝5，则DF的长为 39 ．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD交于点O，
∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC， （1分）
∴∠BAE＝∠DCF， （2分）
∵点E、F分别为OA、OC的中点，
∴AE＝OE=12OA，CF＝OF=12OC， （3分）
∴AE＝CF， （4分）
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）． （5分）
（2）解：∵OB＝OD，
∴BD＝2OB，
∵BD＝2AB，
∴2OB＝2AB，
∴OB＝AB， （7分）
∵AE＝OE，
∴BE⊥OA，
∴∠AEB＝90°， （8分）
由（1）得AE＝CF，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF＝5，BE＝DF， （9分）
∵AB＝8，
∴BE=AB2−AE2=82−52=39，
∴BE＝DF=39， （10分）
25．（10分）在数学小组探究学习活动中，小明遇到这样一道解答题：
已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样解答的：∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，
∴a−2=−3，∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题方法，解答下列问题：
（1）填空：16+5= 6−5 ；
（2）化简：12+1+13+2+14+3+⋯+1168+167+1169+168；
（3）若a=110−3，求2a4﹣12a3﹣12a+6的值．
【解析】解：（1）原式=6−5(6+5)(6−5)
=6−56−5
=6−5， （2分）
（2）原式=2−1(2+1)(2−1)+3−2(3+2)(3−2)+4−3(4+3)(4−3)+⋯+168−167(168+167)(168−167)+169−168(169+168)(169−168)
=2−12−1+3−23−2+4−34−3+⋯+168−167168−167+169−168169−168
=2−11+3−21+4−31+⋯+168−1671+169−1681
=2−1+3−2+4−3+⋯+168−167+169−168 （4分）
=169−1
＝13﹣1
＝12； （6分）
（3）∵a=110−3，
∴a=10+3，
∴a−3=10，
∴（a﹣3）2＝10，
∴a2﹣6a＝1， （8分）
∴2a4﹣12a3﹣12a+6
＝2a2（a2﹣6a）﹣12a+6
＝2a2﹣12a+6
＝2（a2﹣6a）+6
＝2+6
＝8． （10分）
26．（12分）如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN．
（1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°，
①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长；
②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值；
（2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长．
【解析】解：（1）①在正方ABCD中，∠C＝90°，
在Rt△CMN中，∠C＝90°，CM＝6，CN＝8，
∴MN=CN2+CM2=82+62=10，
即MN的长为10． （3分）
②如图，延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE，
在正方形ABCD中，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADM中，
AB=AD∠ABE=∠DBE=DM，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， （4分）
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAN+∠DAM＝45°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝45°，即∠EAN＝∠MAN，
在△AEN和△AMN中，
AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN，
∴△AEN≌△AMN（SAS），
∴EN＝MN， （5分）
∵DM：CM＝3：2，
设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b．
∴CN＝BC﹣BN＝5a﹣b，
在Rt△CMN中，CN2+CM2＝MN2，
∴（5a﹣b）2+（2a）2＝（3a+b）2， （6分）
∴4a（5a﹣4b）＝0，
∵a≠0，
∴5a﹣4b＝0，即5ab=4，
∴AB：BN的值为4． （7分）
（2）如图，延长AN、DC交于点E．
∵AB∥DE，
∴∠E＝∠BAN，
在△CEN和△BAN中，
∠E=∠BAN∠CNE=∠BNACN=BN，
∴△CEN≌△BAN（AAS），
∴EN＝AN， （8分）
∵∠AMD＝2∠BAN＝2∠E，
∠AMD＝∠E+∠MAE，
∴∠E＝∠MAE，
∴AM＝EM， （9分）
∵AN＝6，AM＝8，
∴EN＝AN＝6，EM＝AM＝8，
设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2，
即82﹣x2＝122﹣（x+8）2，
解得：x＝1， （11分）
∴AD=AM2−DM2=82−12=37． （12分）