艺考生专题讲义09 函数的周期性与对称性-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义09 函数的周期性与对称性-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共5页。试卷主要包含了周期函数，最小正周期等内容，欢迎下载使用。

一．函数的周期性
1.周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
二．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
精讲精练
题型一 对称性
【例1】已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数满足，所以函数关于直线对称，
因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.
由对称性可知在上单调递增.
因为，即，
所以，即，解得.故选：D.
【举一反三】
1.已知函数，且，则下列不等式中成立的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得图象的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，故选：C.
2.函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵在上是增函数，
∴在上是增函数，
由函数是偶函数，知：在上是减函数，
而，由，
∴.故选：B
题型二 周期性
【例2】已知函数是定义在上的奇函数，，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵是奇函数，∴，
又，∴是周期函数，周期为4．
∴．故选：A．
【举一反三】
1．已知定义在R上的奇函数满足，若，则( )
A．B．C．0D．2
【答案】B
【解析】因为定义在R上的奇函数满足，所以
所以，所以是周期函数，周期为4
所以故选：B
2．已知是R上的奇函数且，当时，，( )
A．B．2C．D．98
【答案】A
【解析】，是以4为周期的函数，，
是R上的奇函数，，.故选：A.
3．若在上是奇函数，且有，当时，则( )
A．242B．-242C．2D．-2
【答案】D
【解析】由是定义在上的奇函数，得，
又时，，所以，
因为对任意都有，所以4为的周期，
所以故选：．
题型三 函数性质的综合运用
【例3】已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则__________．
【答案】1
【解析】因为，
所以，
所以，即函数是周期为4的周期函数.
所以,,
,
所以原式等于
故答案为：
【举一反三】
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1-x)，且f(1)=a，则f(2)+f(3)+f(4)=( )
A．0B．-aC．aD．3a
【答案】B
【解析】因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，
所以f(x)关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(-1)
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
又由f(1+x)=f(1-x)可得f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，
所以f(x+2)=-f(x)，故f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(4)=f(0)，又f(1)=a
因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(-1)+f(0)=-f(1)=-a.故选B
2．定义在上的函数满足，且，则=__________。
【答案】-1
【解析】由题意知定义在上的函数满足，得是奇函数，所以，即，赋值得，故，得周期是8，所以
3.已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,,则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵f(x)是奇函数，且图象关于x＝1对称；∴f(2﹣x)＝f(x)；
又0≤x≤1时，f(x)＝x3；∴．故选：
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