艺考生专题讲义12 对数函数-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义12 对数函数-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共7页。试卷主要包含了对数的概念，对数的性质与运算法则，对数函数的图象与性质，反函数，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．对数的概念
如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作lgaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(1)对数式与指数式的互化：ab＝N lgaN＝b；
(2)负数和零没有对数；
(3)lga1＝0，lgaa＝1．
2. 两个重要对数
(1)常用对数：以10为底的对数叫常用对数，记作：lg N，
常用的两个恒等式：lg10＝1，lg2＋lg5＝1．
(2)自然对数：以无理数e＝2.71828…为底的对数叫自然对数，记作：ln N，常用的两个恒等式：ln e＝1 ，lneq \f(1, e )＝－1．
3．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；③lgaMn＝nlgaM (n∈R).
(2) 对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1)；②lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
＝N；lgaaN＝N (a>0且a≠1)； ④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM.
4．对数函数的图象与性质
5．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
精讲精练
题型一 对数函数的定义域
【例1】(1)函数的定义域是( )
A．B．C．D．
(2)已知的定义域为，那么的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】(1)A(2)A
【解析】对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域是.故选：A.
(2)由条件可知恒成立，即，解得：，所以的取值范围是.故选：A
【举一反三】
1已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知函数的定义域为，对于函数，有，
即，解得.因此，函数的定义域为.故选：D.
2.函数的定义域为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知解得且.所以函数的定义域为故选：D
3．函数的定义域是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题可得，，解得．所以函数的定义域是．故选：D．
题型二 对数函数的单调性
【例2】函数的单调递增区间为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，函数应满足：，解得：；
而在上单增，在上单减；
∵是减函数，
∴的单调递增区间为
故选：D
【例3】已知，，，则，，的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即；
，即；
，即，
所以.
故选：A
【方法总结】
比较对数值大小的常见类型及解题方法
【举一反三】
1．函数的单调递增区间是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为.
内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
外层函数为增函数，
因此，函数的单调递增区间为.
故选：D.
2．已知，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，即；
，即.
所以.
故选：D
3．设函数，则使得成立的x的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，可得是偶函数，
所以等价于
当时，
因为单调递增，单调递减，
所以为单调递增函数，
所以，即，整理可得，
解得：或，
所以使得成立的x的取值范围是，
故选：B
4．已知，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，则，
所以，
故选：B
5．已知，，，则下列关系正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，故选：D．
题型三 对数函数的值域
【例4】若函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；
当时，则，解得；
当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．
故选：A.
【例5】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】时，，
又的值域为，则时，的值域包含，
，解得：.
故选：B
【举一反三】
1．已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，则，
所以，函数在区间上的值域包含，
所以，存在，使得，即，
而函数在区间上为增函数，，.
故选：D.
2．求下列函数的定义域与值域：
(1)；
(2).
【答案】(1)定义域是，值域是；(2)定义域是，值域是.
【解析】(1)对于函数，有，可得，
由于，则，
因此，函数的定义域为，值域是；
(2)，，则，
因此，函数的定义域是，值域是
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