艺考生专题讲义21 导数与函数的单调性-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义21 导数与函数的单调性-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共11页。试卷主要包含了函数的单调性与导数，函数的单调递增区间为等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1．函数的单调性与导数
在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；
如果f′(x)0(或0能推出f(x)为该区间上的增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要.
(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．
二．已知函数单调性求参数范围
(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；
(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；
(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；
(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)0或f′(x)0，即8x－eq \f(1,x2)>0，解得x>eq \f(1,2)，
∴函数y＝4x2＋eq \f(1,x)的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
故选B.
2．函数的单调递增区间为( )
A．B．
C．和D．和
【答案】B
【解析】函数的定义域为，且.
由，可得，解得.
所以，函数的单调递增区间为.
故选：B.
3．设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，则函数的增区间为( )
A．(0，1)B．(0，)C．(，)D．(，1)
【答案】C
【解析】的定义域为，
∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，∴解得：
∴
欲求的增区间，只需，解得：
即函数的增区间为(，)
故选：C
题型二 已知单调性求参数
【例2-1】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为的定义域为，，
由，得，解得，所以的递增区间为．
由于在区间上单调递增，则，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是．
故选：A.
【例2-2】若函数在上为减函数，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，在上恒成立，所以在上恒成立，因为在的最大值为，所以.故选：A.
【例2-3】)若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，可得，
由题意可得存在，使得，
即存在，使得，等价于，由对勾函数性质易得，
故选B.
【举一反三】
1．设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数在上单调递减，
当时，
，
在时恒成立，
即，，
又在单调递减，
故，
故．
故选：B．
2．若函数在上是减函数，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故选：A.
3．函数是上的单调函数，则的范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立
，解得
故选：D
4．已知函数，若函数在上单调递减，则a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，因为函数在上单调递减，
所以，即，
令，由于在都是增函数，
所以在单调递增，所以，
所以，又，解得.
故选：D.
题型三 单调性的应用
【例3-1】已知函数，则不等式的解集为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，是偶函数，
，设，则，
所以是增函数，时，，即时，，
所以在上，是增函数．
又是偶函数，所以不等式化为，所以，解得或．
故选：A．
【例3-2】已知且，且，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
令，解得，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即，
因为，所以，
因为，，
所以，，，
结合函数的单调性易知，即，
因为，所以，，
故选：A.
【举一反三】
1．已知，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，
，
时，，则在上递减，
时，，则在上递增，
由可得，
化为
∴，则，
同理，；，，
因为，所以，
可得，
因为在上递减，，
∴，
故选：C．
题型四 图象问题
【例4】的导函数的图象如下图所示，则函数的图象最有可能是图中的( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由的图象可知：
当时，，
当时，，
所以在和单调递减，在单调递增，
可排除B、C、D．
故选：A．
【举一反三】
1．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，
排除选项A、B，
当时，先正后负，所以在先增后减，
因选项C是先减后增再减，故排除选项C，
故选：D.
2．己知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则的图象是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数的图象可知在上，，逐渐变大，
故函数单调递增，增加速度越来越快；
在上，，逐渐变小，
故函数单调递增，增加速度越来越慢；
在上，，逐渐变小，函数单调递减，递减速度越来越快；
在上，，逐渐变大，函数单调递减，递减速度越来越慢；
故选：A.
3．若函数图象如图所示，则图象可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图象可得：在上，在上，
根据原函数图象与导函数图象关系可得：图象在上为增函数，在上为减函数，可排除A、D，
且在x=0处，，即在x=0处，的切线的斜率为0，可排除B，
故选
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