北师大版（2024）九年级下册第二章 二次函数2 二次函数的图像与性质课时训练

这是一份北师大版（2024）九年级下册第二章 二次函数2 二次函数的图像与性质课时训练，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线y=x2+1的图象大致是（ ）
A．（A）B．（B）C．（C）D．（D）
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋ac的 图象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．关于二次函数的下列结论，不正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．当时，随的增大而减小
C．图象经过点D．图象的对称轴是直线
4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值-5、最大值0B．有最小值-3、最大值6
C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值6
5．关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（ ）
①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上．
A．个B．个C．个D．个
6．抛物线与的图像的不同之处是（ ）
A．开口方向B．对称轴C．顶点坐标D．形状
7．抛物线与的图象如图所示，抛物线的顶点在抛物线上，且与轴的交点分别为，，则不等式的解集为（ ）

A．B．C．D．
8．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
9．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）
10．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )
A．B．
C．D．
11．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
12．若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（ ）
A．﹣7B．0C．9D．18
二、填空题
13．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围是 ．
14．当a＞0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＝0时，y有最 值为k，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 ．
当a＜0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＝0时，y有最 值为k，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 ．
15．如图，直线与抛物线交于点和点，若，则x的取值范围是 ．

16．若A（），B（），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 ．
17．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ．
三、解答题
18．如图所示，已知函数y＝ax2(a≠0)的图象上的点D，C与x轴上的点A(－5，0)和B(3，0)构成▱ABCD，DC与y轴的交点为E(0，6)，试求a的值．
19．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
20．自主学习，请阅读下列解题过程．
例：用图象法解一元二次不等式：．
解：设，则是的二次函数．
抛物线开口向上．
又当时，，解得．
由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）①转化思想，②分类讨论思想，③数形结合思想
（2）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ；
（3）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．
21．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．．
22．已知二次函数．
（1）将二次函数化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出的图象．
（3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
23．已知⊙C的半径为，点P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：若点在射线CP上，满足，则称点是点P关于⊙C的反演点．图1为点P及其关于⊙C的反演点的示意图．
（1）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为6，⊙O与轴的正半轴交于点A．
①如图2，∠AOB＝135°，OB＝18，若点，分别是点A，B关于⊙O的反演点．则点的坐标是 ，点的坐标是 ；
②如图3，点P关于⊙O的反演点为点，点在正比例函数位于第一象限内的图象上，△的面积为，求点的坐标；
（2）点P是二次函数的图象上的动点，以O为圆心，为半径作圆，若点P关于⊙O的反演点的坐标是，请直接写出的取值范围
24．已知二次函数．
（1）将其化成的形式；
（2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；
（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（4）画出函数图象；
（5）说明其图象与抛物线的关系；
（6）当x取何值时，y随x增大而减小；
（7）x取何值时，；
（8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？
（9）时，y的取值范围；
（10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．
《2.2二次函数的图像与性质》参考答案
1．C
【详解】∵a=1>0，∴抛物线开口向上.
∵二次函数表达式为y=x2+1，∴顶点坐标为（0，1），对称轴是直线x=0，即y轴.
故选C.
点睛：此题考查了二次函数的图象，二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象是顶点坐标为（0，c），对称轴是y轴的抛物线，a>时，开口向上，a0，
∴一次函数y＝bx＋ac的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】考查了二次函数的图象与系数的关系，解题关键是根据函数的图象得到a＞0，b＞0，c＞0，由此再判断一次函数的图象．
3．D
【分析】根据二次函数图象性质解题．
【详解】二次函数，，二次函数开口向上，故A正确；
顶点坐标为，对称轴为，故D错误；
当时，随的增大而减小，故B正确；
当时，，经过点，故C正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．B
【分析】观察图象逐一分析即可．
【详解】由二次函数的图象可知，
∵-5≤x≤0，
∴当x=﹣2时函数有最大值，y最大=6；
当x=-5时函数值最小，y最小=-3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质．从图象中获取正确的信息是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答．
【详解】根据二次函数和的图象，单独看不关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点−1,1只在抛物线上，所以②③④正确．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查二次函数的图像、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质，可以写出两个函数的相同之处和不同之处，即可解答本题．
【详解】解：由题意得函数与的图象的对称轴都是轴，
∵，
∴两个函数开口都向下，形状一样，而函数的顶点坐标为0,1，函数的顶点坐标为，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与轴的交点问题，根据抛物线与轴的交点求出对称轴解析式，然后整理不等式得到，再根据函数图象写出抛物线在下方部分的的取值范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵抛物线与轴的交点分别为，，
∴抛物线的对称轴为直线，
由不等式得，，
∵抛物线的顶点在抛物线上，
∴不等式的解集是，
故选：．
8．D
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到的．
【详解】抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线的顶点坐标为（1，-2）
将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象平移规律，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键．
9．A
【分析】把原二次函数通过配方法，化为顶点式，即可得到答案．
【详解】由原二次函数，得y=（x﹣1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的顶点坐标，掌握配方法，把二次函数化为顶点式，是解题的关键．
10．A
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可．
【详解】将抛物线y=﹣x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是y=﹣x2﹣1，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y=﹣（x+1）2﹣1=﹣x2﹣x﹣．
故选A．
11．A
【分析】由一次函数y＝ax-a可知，一次函数的图象与x轴交于点（1，0），即可排除B、D，然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限y轴的交点可得相关图象进行判断．
【详解】解：由一次函数y＝ax-a可知，一次函数的图象与x轴交于点（1，0），排除B、D；
当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax-a经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，排除C；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
12．D
【分析】设a＋b＝m，则ab＝m＋3，a2＋b2变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．
【详解】解：设a+b＝m，则ab＝m+3，
a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3＝0的两根，
a、b为实数，则△＝（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，
解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，
∴a+b＝m＞0，只有m≥6，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝m2﹣2（m+3）＝（m﹣1）2﹣7，
可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，
∴当m＝6时，a2+b2的值最小，为18．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数最值在确定代数式的值中的运用．本题要注意：①根据已知条件换元，转化为二次函数，②a、b为正实数条件的运用．
13．
【分析】先求出函数图像的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵函数图像的对称轴为x=1
∴当，数值随的增大而减小．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性，确定二次函数的对称轴是解答本题的关键．
14． 向上 y轴 （0，k） 小 减小 增大 向下 y轴 （0，k） 大 增大 减小
【解析】略
15．/
【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的值即为所求．
【详解】解：观察图形可知，当时，抛物线在直线下方，
因此若，则x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据图象求不等式的解集，利用数形结合思想是解题的关键．
16．＜ ＜
【详解】试题分析：将二次函数y=+4x﹣5配方得，所以抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，因为A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，所以＜＜．
故答案为＜＜．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
17．．
【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为，且a=1，h≥1，据此可得．
【详解】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，
设函数的解析式为；
该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同

当x1时，y随x的增大而减小；
所以取
满足上述所有性质的二次函数可以是：，
故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
18．
【分析】由A（-5，0）和B（3，0）得出AB=8，进一步得出CD=AB=8，所以D点的横坐标为-4，再结合E（0，6），得出点D的纵坐标为6，代入D点坐标求得a的数值即可．
【详解】解：∵点A(－5，0)和B(3，0)，
∴AB＝8.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝8，CD∥AB.
又∵AB⊥y轴，抛物线y＝ax2的对称轴为y轴，∴CD⊥y轴，
∴DE＝CD＝4，点D，C，E的纵坐标相同．
又∵点E的坐标为(0，6)，
∴点D的坐标为(－4，6)．
将D(－4，6)代入y＝ax2，
解得a＝.
【点睛】此题考查二次函数的性质，平行四边形的性质，利用二次函数的对称性是解决问题的关键．
19．（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；
（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，
∴m0，
∴；
（2）当时，抛物线解析式为，
令，即，
解得或，
令，，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴，
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
20．（1）①③；（2）-1