初中数学北师大版（2024）九年级下册3 垂径定理一课一练

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册3 垂径定理一课一练，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图所示，⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON垂直AB，垂足为N，则ON的长度为（ ）
A．5B．6C．8D．10
2．已知⊙O的半径为3cm，PO=5cm，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定
3．如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（ ）．
A．48B．45C．42D．40
4．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．10B．8C．6D．4
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（ ）
A．3.5B．2.5C．2D．1.2
6．已知等腰的三个顶点都在半径为5的上，如果底边的长为8，那么边上的高为（ ）
A．2B．8C．2或8D．3
7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5B．4C． D．
8．如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．4
9．如图,过点、，圆心在等腰的内部,，，，则的半径为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．cmB．8cmC．6cmD．4cm
11．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心，，点C是的中点，D为AB的中点,且，则这段弯路所在圆的半径为（）
A．B．C．D．
12．把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为
厘米．
14．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
15．圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则 ．
16．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽度．
17．已知弓形的高为1厘米，弓形的半径长为5厘米，那么弓形的弦长为 厘米．
三、解答题
18．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始沿BA边向终点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm．
(1)求弦AC的长；
(2)求△APC是等腰三角形时，点P运动的时间．
19．如图，C为弧的中点，于点M，于N，且为的直径，若，求长．
20．如图1，圆形拱门是中国古代建筑喜欢采用的样式，美观且实用，图2是拱门的示意图，拱门底端宽2.4米，拱门高为3.6米，求拱门所在圆的半径．
21．在直径为的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽为，当油面宽为时，油上升了多少厘米？

王源的解题步骤如下：
[解]连接，过点作于点．
于点，且为弦，．
当时，在中，．
当时，在中，．
．即油上升了．
请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤．
22．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
23．如图，是的直径，E为上一点，于点F，连接，，于点D．若，求线段长．
24．如图，已知AC与切于点C，OA交于点D，作直线AB⊥OA，垂足为A，并与CD的延长线交于点B．
(1)求证：AB＝AC；
(2)若，AO＝3，求线段CD的长．
《3.3垂径定理》参考答案
1．B
【分析】根据⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
【详解】解：由题意可得，
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的主要内容，利用垂径定理解答问题．
2．B
【详解】试题分析：判断一个点圆的位置关系，主要看该点到圆心的距离与半径之间的关系．
解：由题意知⊙O的半径为3cm，PO=5cm，
可知点P到圆心的距离大于r，
故点P在圆外，故选B．
点评：本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要熟练掌握若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
3．A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【详解】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD=，
∵×AH×BD=×AD×AB，
∴AH==36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM=，
∴此时HM有最大值，最大值为：
24，
∵OH⊥MN，
∴MN=2MH，
∴MN的最大值为2×24=48．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
4．A
【分析】先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是的中位线，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．
5．C
【分析】连接OC，得到∠ACO＝90°，确定点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出点E（0，﹣3），D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，证明△DPH∽△DEO，求出PH＝，得到S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，设△CDE面积为S，由此得到当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，由此确定答案
【详解】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，
设△CDE面积为S，
当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，
∴S的范围为2≤S≤7，
∴△CDE面积的最小值为2．
故选：C．
【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定及性质，这是一道图形类的综合题，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
6．C
【分析】分为两种情况：①如图1，当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点， ②当圆心在三角形的外部时，如图2，连接并延长交于D点，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：①如图1，当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点，
连接，
∵，
∴，
根据垂径定理得，则，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴高；
②当圆心在三角形的外部时，如图2，连接交于D，
同理可得：，，，
三角形底边上的高．
所以边上的高是8或2，
故选C．
【点睛】本题综合考查了垂径定理和勾股定理的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论．
7．D
【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.
8．C
【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
9．A
【分析】连接AO并延长，交BC于D，连接OB，根据垂径定理得到BD=BC=3，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD=3，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接AO并延长，交BC于D，连接OB，

∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴BD=BC=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∴OD=2，
∴OB=，
故选：A．
【点睛】本题考查的是垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
10．B
【分析】由于⊙O的直径CD＝10cm，则⊙O的半径为5cm，又已知OM：OC＝3：5，则可以求出OM＝3，OC＝5，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB．
【详解】解：如图所示，连接OA．
⊙O的直径CD＝10cm，
则⊙O的半径为5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝3：5，
所以OM＝3，
∵AB⊥CD，垂足为M，OC过圆心
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，，
∴AB＝2AM＝2×4＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，是解题的关键.
11．D
【分析】连接OD,由于点C是的中点、D为AB的中点,则O、D、C三点共线、OD⊥AB，OA=OC=OB,设圆O的半径为r，运用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接OD
∵点C是的中点、D为AB的中点
∴O、D、C三点共线、OD⊥AB
设圆O的半径为r且r＞0,则OA=OC=OB=AB=r
在Rt△OBD中,OB=r,OD=r-5,BD=
∴
解得r=或r=（舍去）．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，根据勾股定理构建关于r的方程是解答本题的关键．
12．A
【分析】设球心为O，过O作交于M，交于N，连接，结合题意可解得，
，根据勾股定理求得，最后由垂径定理求得结果．
【详解】解：如图，设球心为O，过O作交于M，交于N，连接，
由题意可知是矩形，．
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理解三角形和垂径定理；掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键．
13．
【详解】解：如图，
∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，
∴AC=9﹣3=6．
取圆心O，过点O作OB⊥AC于点B，连接AO，
则AB=AC=×6=3厘米，
设杯口的半径为r，则OB=r﹣2，OA=r，
在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r﹣2）2+32，
解得r=（厘米）．
故答案为：．
14．7
【分析】连接OA、OB、OC，作CH⊥AB，用勾股定理算得EF=OE+OF=7，CH=7，在直角三角形CHB中求出BC即可得到答案．
【详解】解：如图，
连接OA、OB、OC，作CH⊥AB于H．
根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，
∴OE===3，OF=，
∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
故答案为：7．
【点睛】此题考查了圆的垂径定理，圆中最短路径问题以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
15．6
【分析】首先根据题意画出图形，然后连接，根据垂径定理得到平分，即，而在中，根据勾股数得到，这样即可得到的长．
【详解】解：如图所示，过点O作于C，连接，
∵圆心到弦的距离为4，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：6．

【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
16．3cm．
【详解】解：过点作于点，连接.
.
在中，，
.
直尺的宽度为3cm.
17．6
【分析】过圆心O作，交弧于C．则，连接，在中利用勾股定理可求得AD长，然后根据垂径定理解题即可．
【详解】如图，

过圆心O作，交弧于C．则，连接．
在中，，
则，
∴．
故答案是：6．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．(1)AC=6cm；
(2)当经过4秒或5秒或2．8秒时，△BPC是等腰三角形．
【分析】（1）过点O作OD⊥AC于点D，根据垂径定理可知AC=2AD，根据勾股定理求出AD的长度即可求出AC的长度；
（2）PB=AB-AP=10-t，分三种情况：BP=BC或PC=PB或BC=PC，分别画出图形求解即可．
【详解】（1）
如图：过点O作OD⊥AC于点D；
∵AB=10cm，
∴AO==5cm，
∵点O到AC的距离为4cm，
∴OD=4cm，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得：（cm），
∵点O为圆心，且OD⊥AC，
∴AC=2AD=6cm；
（2）①如图，当点P与点O重合时，
此时OA=OC，即：PA=PB==5cm，
∴t==5（s），
②以点C为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点P，此时AC=PC，过点C作CE⊥AB于点E，连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：（cm），
设AE=xcm，则BE=（10-x）cm，
在Rt△ACE中，，
在Rt△BCE中，，
∴，解得：x=3.6
∴AP=2AE=7.2cm，
∴BP=AB-AP=10-7.2=2.8（cm），
t==2.8(s)
③以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点P，此时AC=AP，
∵AC=6cm，且AC=AP，
∴AP=6cm，
∴BP=AB-AP=10-6=4（cm），
∴t==4s
综上：当经过4秒或5秒或2.8秒时，△BPC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查垂径定理，等腰三角形的性质定理，勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，掌握分类讨论思想，是解题的关键．
19．
【分析】连接，先求得，从而求得，即可求得，根据圆心角、弧、弦的关系求得，根据圆周角定理求得，根据30°的直角三角形的性质即可求得的长．
【详解】解：连接，
∵于M，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵于N，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
20．2米
【分析】连接，由题意易得，，设，则，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，经过圆心O，，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
即拱门所在圆的半径为2米．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
21．王源的解题过程不正确．正确解题步骤见解析．油上升了或．
【分析】连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理结合勾股定理求出当AB=6cm和8cm时OC的长度，即可得出结论．
【详解】王源的解题过程不正确．正确解题步骤如下：
连接，过点作于点，如图所示．
∵于点，且为弦，．
当时，在中，，；
当时，在中，．
或．
答：油上升了或．

【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是求出OC的长，根据OC的变化来得出结论．
22．证明见解析
【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧得到OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，由于AB=CD，则AE=CF，然后根据“HL”可判断Rt△AEO≌Rt△CFO，于是得到OE=OF．
【详解】证明：连结OA、OC，如图，
∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△CFO中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴OE=OF．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，以及全等三角形的判定与性质等，掌握垂径定理的推论以及全等三角形的判定方法是解题关键．
23．6
【分析】设OE=x，根据勾股定理求出x，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD=OF=3，根据垂径定理得到答案．
【详解】解：设OE=x，则OF=x-2，
由勾股定理得，OE2=OF2+EF2，即x2=（x-2）2+42，
解得，x=5，
∴OF=3，
∵AC∥OE，OD⊥AC，
∴OD⊥OE，∠A=∠EOF，
∵OA=OE，EF⊥AB，
∴△ADO≌△OFE，
∴AD=OF=3，
∵OD⊥AC，
∴AC=2AD=6．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件得出∠ABC＝∠ACD，即可得证；
（2）先利用勾股定理求出相关线段长，再利用垂径定理得到线段关系，最后再用相似求出线段长即可．
【详解】（1）证明：如图所示：
∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ACO＝90°，
∴∠ACD＋∠OCD＝90°，
∴∠ACD＋∠2＝90°，
∵OA⊥AB，
∴∠ABC＋∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACD，
∴AB＝AC；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝OD＝r，
在△ACO中，，
在△ABD中，，
∵AB＝AC，
∴，解得r＝2，
AD＝1，OD＝2，
过点作于点，如图所示：
则CE＝DE，
∴∠DAB＝∠OED＝90°，∠1＝∠2，
∴△ABD∽△EOD，
∴即，解得，
∴．
【点睛】本题考查圆综合，解题过程中涉及到切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、相似三角形的判定性质等知识，熟练掌握圆中的相关性质是解决问题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
A
C
C
D
C
A
B
题号
11
12








答案
D
A