初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）第八章 实数8.3 实数及其简单运算第1课时导学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）第八章 实数8.3 实数及其简单运算第1课时导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1. 经历无理数的探究过程，了解无理数和实数的概念，会把实数进行分类.
2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.
3. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【学习重点】对实数按照一定的标准进行分类,用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小.
【学习难点】用数轴上的点表示实数,并比较实数的大小.
【自主学习】
(1)什么是有理数? 有理数包括哪些类别?
(2) 什么是无限不循环小数? 我们接触的最常见的无限不循环小数有哪些?
展示视频“万物皆数”,了解无理数的起源.
【合作探究】
探究点一、无理数和实数的概念及实数分类
计算：把下列有理数写成小数的形式：
5/2= ____ −3/5= ____ 27/4= ____ 11/9= ____ 9/11= ____
思考 1：观察运算结果，请问你有什么发现? 请同学们自主讨论得出自己的结论.
思考 2：像 2 这样的无限不循环小数属于有理数吗?为什么?
思考 3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材P52说说它属于哪一类数?
知识要点 类比有理数，我们将无限不循环小数叫作________.
无理数的 3 种常见的表现形式有：
(1) 构造型的无限不循环小数 【如 0.301 001 0001···（每相邻两个1之间依次增加1个0)】 ；
(2) 具有特定意义的数(如 π)；
(3) 含有根号且被开方数不能被开尽的数(如 3 ).
我们将有理数和无理数统称为实数.
思考 4：类比有理数的分类，你能给实数分类吗?
因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？
【典型例题】例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
39，14，π，7，-16，-5，-38，49 ，0，25，
0.252252225…(相邻两个5之间依次增加一个2)
无理数：{ }
有理数：{ }
正实数：{ }
负实数：{ }
【练一练】
1.下列说法中，正确的是（ ）.
A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数
C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数
2.有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为 81 时，输出的y是（ ）.
A. 9 B.9 C.3 D.3
探究点二、实数与数轴上的点
演示1：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于 π. 如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少?
思考 1： 点O′ 对应的数是多少?
思考 2： 点O′ 对应的数在数轴上的位置说明了什么?
演示2：你能在数轴上表示出2和-2吗？
两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼 得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为_______，从而说明边长为1的小正方形的对角线长为____.
结合两个演示思考下面的问题:
(1)回顾有理数在数轴上的表示，π，2 与 －2 在数轴上的对应位置说明了什么?
归纳小结：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
(2) 通过上述探究，比较 π，－2 ，2，0，1，2，3 的大小，并说明如何比较实数的大小.
要点归纳
要点 1：实数和数轴上的点是一一对应的.
要点 2：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
要点 3：(1)正数大于零，负数小于零，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的数较大；(3)两个负数，绝对值大的数反而小.
【典型例题】
例2 在数轴上表示下列各数，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
1，2 ，－2，π ，－3
例3 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和3 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数．
课堂检测
1. 下列实数中，是无理数的是( )
A. 0.2 B. 1/2 C. 2 D.－5
2. 下列各数：3.14159，π，√25 ，0.131131113…(相邻的两个3之间依次多一个1)，－38，－1/7 ，其中无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 下列说法中错误的是( )
A. 16 是有理数 B. 19 是无理数
C. 3-27是有理数 D. 32 是分数
4. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为2和4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有_______个.
5. 把下列各数填入相应的集合内：
- 12 ，－3 ，33 ，72 ，-3-8 ，0，π，－117 ，， . . -0.121
1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1).
①有理数集合：{ }.
②无理数集合：{ }.
③整数集合：{ }.
④分数集合：{ }.
⑤正实数集合：{ }.
⑥负实数集合：{ }.
参考答案
【自主学习】
(1)可以写成分数形式的数是有理数，包括整数和分数.
(2)无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复.我们接触的最常见的无限不循环小数有2 ，π等.
【合作探究】
探究点一、无理数和实数的概念及实数分类
计算 2.5 −0.6 6.75 1.222… 0.8181…
思考1 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
思考2 不属于，因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数.√2不能化成有限小数或无限循环小数，所以√2不属于有理数.
思考3 无理数 知识要点 无理数
思考4
【典型例题】
例1 无理数：{ 39 ，7 ，π ，-5 ，0.252252225… }
有理数：{ 14 ，-16 ，-38，49 ，0，25， }
正实数：{ 39 ，14 ，7 ， π， 49 ， 25，0.252252225… }
负实数：{ -16，-5，-38， }
【练一练】
1.C 2.D
探究点二、实数与数轴上的点
问题1 π 问题2 无理数π可以在数轴上表示
演示2 2 2
（1）无理数也可以在数轴上表示出来
（2）－2＜0＜1＜2＜2＜3＜π，可以根据实数在数轴上对应的位置关系比较大小
【典型例题】例2 －3＜－2＜1＜2＜π
例3 解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和3，所以点 B 到点 A 的距离为1＋3，则点C到点A的距离为1＋3.设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点C的距离为－1－x，所以－1－x＝1＋3，所以 x ＝－2－3.
课堂检测
1. C 2. B 3. D 4. 3
5. 把下列各数填入相应的集合内：
- 12 ，－3 ，33 ，72 ，-3-8 ，0，π，－117 ，， . . -0.121
1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1).
①有理数集合：{ - 12 ,72 ，-3-8 ，0，－117 ， . . -0.121 }.
②无理数集合：{ －3 ，33 ，π，1.2020020002… }.
③整数集合：{ -3-8 ，0， }.
④分数集合：{ - 12 ，72 ， －117 ， . . -0.121 }.
⑤正实数集合：{33 ，72 ，-3-8 ，π，1.2020020002… }.
⑥负实数集合：{- 12 ，－3 ，－117 ， . . -0.121}.