初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）7.1 相交线学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）7.1 相交线学案，共7页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1. 掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，掌握垂线的性质，会过一点画一条直线的垂线.
2. 通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行简单的说理.
3. 体会垂线在实际问题中的应用，感受数学与生活的密切联系.
【学习重点】垂线的概念、画法和垂线的两个性质.
【学习难点】垂线的画法，理解点到直线的距离.
【自主学习】
如图 ①，当直线 AB 绕点 O 逆时针旋转∠AOC = 90° 时(如图②)，你能求出其他角的度数吗? 此图形有什么特点? 此时两直线的位置有什么关系？
【合作探究】
探究点一 垂直、垂线、垂足的概念
1.取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α .
问题1：在木条 b 的转动过程中，什么量也随之发生改变?
问题 2：木条 b 与 a 成 90° 的位置有几个?此时，木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系?
2.知识要点：
①.两条直线 a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫作这两条直线______________，记作__________ .
②.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的_________，它们的交点叫做___________.
3.垂直的判定与性质
①判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O，
∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O.
符号语言：因为∠AOD = 90°（已知），
所以 AB⊥CD（垂直的定义）.
②性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°.
符号语言：因为 AB⊥CD（已知），
所以∠AOD = 90°（垂直的定义）.
(∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = 90°)
4.思考与反思.
① 两条直线垂直和相交是什么关系?
② 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有 3 种：相交、平行、垂直?

③ 如何判定两条射线垂直 ? 两条线段呢?
5.讨论：和同学讨论，试试举出生活中有关垂直的例子.
【典型例题】
例1 (1)如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1= 90°，则 m______n；
(2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，则∠BOD =______°；
(3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝_____°，∠BOC 的补角为_________ °.
探究点二 垂线的画法及基本事实
画一画：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线.
(1) 经过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条?
(2) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条?
基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
画图流程：1.放 2.靠 3.移 4.画
探究点三 垂线的性质及应用
在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？
讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？
(2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？
(3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？
(4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
垂线性质：____________________________________________;
简单说成：______________________．
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
线段 PO 的长度叫作点到直线的距离.
(5) 如果图中的比例尺为 1:100 000，水渠大约要挖多长?(比例尺=图上距离÷实际距离)
(6) 与你的同桌讨论，试着列举生活中类似的实例.
【练一练】
1. 如图，下列说法正确的是 （ ）
A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离
B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离
C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离
D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离
思路点拨：注意点到直线的距离的定义.
课堂检测
1. 在数学课上，同学们在练习过点 B 作线段 AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是( )
A B C D
2.如图，从位置 P 到直线公路 MN 共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路 MN 的小道是( )
A. PA B. PB C. PC D. PD
3. 如图，已知 AB 上 BC，垂足为 B，AB = 3，点 P 是射线 BC 上的动点，则线段 AP 的长不可能是( )
A. 2.5 B. 3 C.4 D. 5
4.【教材 P8 习题 T3 变式】如图，已知点 O 在直线AB 上，CO⊥DO 于点 O. 若∠1 = 150°，则∠3 的度数为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
5. 如图，点 A 到 BC 的距离是线段 _________ 的长，BC的长是点______ 到直线 __________的距离.


第2题图 第3题图 第4题图
6. 如图，在某村村头 P 处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在 ______________ 处搭建最短.

第5题图 第6题图
7. 如图，O 是直线 AB 上的一点，OC⊥OD，垂足为 O .
(1)若∠BOD = 32°，求∠AOC 的度数；
(2)若∠AOC :∠BOD = 2 : 1，求∠BOD 的度数.

参考答案
【合作探究】
探究点一、垂直、垂线、垂足的概念
问题1 a 与 b 所成的角也随之发生改变.
问题 2 唯一一个，a 与 b 垂直.
知识要点 ① 互相垂直 a⊥b. ② 垂线 垂足.
思考与反思 ① 垂直属于相交的特殊情况. 所有垂直的两条直线一定相交，但相交的两条直线不一定垂直.
② 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行.
③ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为90°，那么这两条射线垂直.将线段延长，使其成为直线，如果这两条直线相交且所成的角为90°，那么这两条线段垂直.
【典型例题】
例1 （1）⊥ (2) 90 (3) 72 162
探究点二、垂线的画法及基本事实
画一画（1）1条 （2）一条
探究点三、
讨论 （1）在直线 l 上是否存在这样一点，它与点 P 的连线在所有连接直线 l 与点 P 的线段中长度最短？
（2）运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短.
（3）这样的线段 PO 只有一条.
（4）垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
（5）图中 4.7 cm，实际 4700 m.
（6）合理即可
【练一练】1 D
课堂检测
1.A 2.B 3.A 4.D 5. AC B AC 6. B
7.解：(1) 因为 OC⊥OD，所以∠COD = 90°.
因为∠AOB 是平角，所以 ∠AOB = 180°.
因为∠BOD = 32°，
所以∠AOC = 180° - ∠BOD - ∠COD = 58°.
(2)因为∠COD = 90°，∠AOB =180°，
所以∠AOC +∠BOD = 180° - ∠COD = 90°.
又因为∠AOC : ∠BOD = 2 : 1，则∠AOC = 2∠BOD.
所以3∠BOD = 90°. 所以∠BOD = 30°.