第五章图形的轴对称单元复习检测2024-2025学年 北师大版（2024）七年级数学下册

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2024-2025学年度北师大版（2024）七年级下学期第五章图形的轴对称单元复习检测一、选择题1．剪纸是我国古老的民间艺术．下列四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ）A．B． C． D．2．已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ）A． B． C．或 D．3．如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点，到旗杆脚的距离相等，且，，三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（   ）A．等角对等边 B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一” D．三角形两边的和大于第三边4．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）  A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点5．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．若，的周长为20，则的周长（    ）A．14 B．26 C．32 D．466．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，的面积是40，则的长为（    ）A．5 B．8 C．16 D．177．如图，在中，的平分线和的平分线交于点O，于点D，若的周长为10，，则的面积为（   ）A．20 B．15 C．10 D．58．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为9，则的周长为（   ）A．13 B．15 C．19 D．209．如图，把一张长方形纸片沿上下两边中点连线向右折叠成第二个图形，再沿左右两边中点的连线向下折叠成第三个图形，然后沿左上角的平分线向右上折叠成第四个图形，并在如图所示的位置剪去一个钝角三角形．最后把纸片全部展开，得到的图形是（   ）A． B． C． D．10．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　）A． B． C． D．二、填空题11．如图，在中，是的垂直平分线，．若的周长为25，则的周长为 ．12．如图，是的角平分线．若，则的面积是 ．13．如图，在等腰中，，为的角平分线，若的周长为，的周长为，则的长为 ．14．如图，在中，，，平分，点是射线上一点，如果是以为腰的等腰三角形，那么的度数是 ．15．如图，在中，，边的垂直平分线分别与相交于点为直线上一动点，则的最小值为 ．三、解答题16．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修在什么位置？请用尺规作图在图上标出它的位置．（要求：画图留下痕迹，但不要求写作法）17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)的面积为__________；(3)在直线l上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹）18．如图，在四边形中，，连接，延长、交于点E，．(1)求证：；(2)若，，，求的长．19．在中，分别是边的垂直平分线．(1)若，求的周长．(2)若，求的度数20．学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点．求证：．证明：在中，， ① ．又平分，平分，， ② ．．又 ③ ，．．小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题：等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ．21．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．  (1)求的度数．(2)求证：平分；(3)若，三角形的面积是18，求的面积．22．如图，在中，，，是内的一点，且，连接，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接．(1)求证：．(2)求的度数．(3)当为多少度时，是等腰三角形？23．教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点．求证：．图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________．（2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________．参考答案1．C【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：C．2．D【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形两底角相等，再根据三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解：∵一个等腰三角形一底角的度数为，∴这个等腰三角形的顶角的度数为，故选：D．3．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合即可求解，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．【详解】解：∵，，∴（等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合），即得出垂直于的依据是等腰三角形“三线合一”．故选：C．4．C【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可．【详解】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点，故选：C5．C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，从而得出，由的周长为20，得出，即可得解．【详解】∵的垂直平分线交于点，交于点，∴，∵的周长为20，，∴的周长为故选：C6．C【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点D作于点E，由作图可知为的平分线，由角平分线的性质定理得，由三角形面积即可求解．【详解】解：过点D作于点E，由作图可知，为的平分线，，，的面积，解得：．故选：C．7．C【分析】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是把问题转成．【详解】解：角平分线的交点是内心，到三条边的距离相等，，故选：C．8．C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质，可知，，根据的周长为9，求得，即可求出的周长．【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线，∴，，∵的周长为9，∴，∵，，∴的周长，故选：C．9．B【分析】本题考查了轴对称图形的特征，画轴对称图形,根据轴对称图形的特征逐步推理是解题的关键．从第4个图开始，根据轴对称图形的特征进行倒推，一直倒推到第一个图，即可判断答案．【详解】解：从第4个图反过来推得第三个图为：再推得第二个图为：最后推得第一个图为：故选：B．10．A【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质以及翻折变换及其应用；连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，利用等边对等角和三角形内角和定理以及角平分线的性质得到，，据此可得，证明，得到，则，再由对称性得到，，则，由三角形内角和定理得到，则．【详解】解：如图所示，连接，∵垂直平分， ∴， ∴，∵，， ∴，∵平分， ∴， ∴， ∴，∵在和中，∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴，∴， ∴， 故选：A．11．17【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，进而可推出“的周长的周长”，由此即可得出答案．【详解】解：是的垂直平分线，，的周长的周长，故答案为：．12．7【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的面积的计算．作辅助线是解本题的关键．过点D作于H，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积．【详解】解：过点D作于H，，，是的角平分线，，，的面积，故答案为：7．13．4【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直接利用三线合一可得，再进一步解答即可．【详解】解：∵，为的角平分线，∴，∵的周长为，的周长为，∴，，∴，，∴，∴，故答案为：4．14．或【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不是很大，是常考的题目之一．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再分两种情况进行讨论：①；②，分别求出结果即可．【详解】解：在中，，，，∵平分，∴；分两种情况：①当时，；②当时，．综上所述，的度数为或．15．6【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，可得，再进一步可得答案．【详解】解：如图所示，连接，∵边的垂直平分线分别交，于点，，∴，∴，∴当A、P、B三点共线时，最小，∴的最小值为，故答案为：6．16．见解析【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求．【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点．17．(1)图见解析(2)(3)图见解析【分析】本题主要考查了画轴对称图形，三角形的面积公式，轴对称—最短路线问题等知识点，熟练掌握轴对称图形的作法及轴对称的性质是解题的关键．（1）按照画轴对称图形的方法画出关于直线l成轴对称的即可；（2）利用割补法求解即可；（3）连接，交直线l于点，即可得解．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：由图可知：的面积，故答案为：；（3）解：如图，连接，交直线l于点，则点即为所求．18．(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；（1）根据直接证明，根据全等三角形的性质，即可得证；（2）根据等腰三角形的性质得出，进而根据（1）的结论，即可求解．【详解】（1）证明：在中，∴，∴；（2）解：∵，，∴，又∵，，∴．19．(1)12(2)【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．（1）运用线段垂直平分线的性质解答即可；（2）证明，即可得出结论．【详解】（1）解：分别是边的垂直平分线，，，的周长，的周长为12．（2）解：，．由（1）可得，，，，的度数为．20．作图见解析；①；②；③;④相等【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．作平分交与点，根据得到，根据角平分线定义得到，，因此，即可证明，得到，因此等腰三角形两腰上的高线的长度相等．【详解】解：如图，作平分交于点在中，，又平分，平分，，，，又．小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题：等腰三角形两腰上的高线的长度相等．故答案为：①；②；③；④相等 ．21．(1)(2)见解析(3)【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积．【详解】（1）解：，，，，，，；（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，∵，，∴，由（1）可知，，∴，平分，，，，平分，，，，，，，平分； （3）解：，，，，，．22．(1)见解析(2)(3)或或【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质：（1）证明，即可得证；（2）全等三角形的性质，得到，周角的定义，求出的度数，利用四边形的内角和为360度，求出的度数即可；（3）分，，三种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）证明：，，，是等腰直角三角形，，在和中，，；（2）∵，∴，，，．（3）是等腰直角三角形，．当时，是等腰三角形，此时，，．当时，是等腰三角形，，，．当时，是等腰三角形，，．综上所述，当的度数为或或时，是等腰三角形．23．教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）30；（2）．【分析】教材呈现：证明即可得证；（1）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解；（2）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可．【详解】证明：在和中，∴，∴；定理应用：（1）解：∵、的垂直平分线分别交于点、，∴，∴，∵，∴，即的周长为20．故答案为：30；（2）解：在上取点F，使，过点B作于H，在和中，∴，∴，，在和中，∴，∴，∴，当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，∵，的面积为30，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．