2024-2025学年上海市闵行区高二上册9月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市闵行区高二上册9月月考数学学情检测试卷（含解析），共21页。
2. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．
3. 抛物线的焦点坐标是______.
4. 若直线和直线平行，则的值为_________．
5. 设两圆与圆的公共弦所在的直线方程是______
6. 直线关于点对称直线方程是______．
7. 直线与直线所成夹角的余弦值等于______
8. 直线与曲线有两个交点，则实数b的取值范围为________．
9. 双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为_______．
10. 已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是________.
11. 双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.
12. 已知点F是椭圆的右焦点，点到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. “”是直线与圆相交（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分也非必要
14. 已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ）
A. 4B. C. 8D. 16
15. 已知曲线，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 曲线关于直线成轴对称图形；
B. 经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；
C. 直线与曲线所围成的图形的面积为；
D. 设直线，当时，直线与曲线有两个公共点.
16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点，定义.对于下列两个命题：①设点P是直线上任意一点，则“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”；②设点P是椭圆上任意一点，则.则下列判断正确的是（ ）
A. ①真②真B. ①真②假C. ①假②真D. ①假②假
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知向量
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量求实数值.
18. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
（1）求边所在直线的方程;
（2）若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
19. 如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系.
（1）工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由；
（2）工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程.
20. 已知圆，点，为坐标原点.
（1）若，求圆过点的切线方程；
（2）若直线与圆交于，两点，且，求值；
（3）若圆上存在点，满足，求取值范围.
21. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切；
（3）设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方方程.
2024-2025学年上海市闵行区高二上学期9月月考数学学情检测试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1. 经过点、两点的直线的倾斜角为________.
【正确答案】
【分析】根据两点的坐标求得斜率，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案.
【详解】由题意可得直线的斜率，则，解得.
故答案为.
2. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据题意得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：因为方程表示一个圆
所以，，即，解得或.
所以，实数的取值范围是
故
3. 抛物线焦点坐标是______.
【正确答案】1,0
【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可.
【详解】因为抛物线标准方程为，
所以焦点坐标为，
故答案为.
4. 若直线和直线平行，则的值为_________．
【正确答案】
【分析】根据直线平行列方程来求得的值.
【详解】由于两直线平行，所以，
解得或，
当时，两直线方程为、，符合题意.
当时，两直线方程为、，
即、，两直线重合，不符合题意.
所以的值为.
故
5. 设两圆与圆公共弦所在的直线方程是______
【正确答案】
【分析】利用两圆的方程相减即可求解.
【详解】由题意，
因为圆，圆，
由得，，
所以两圆的公共弦所在的直线方程为.
故答案为.
6. 直线关于点对称的直线方程是______．
【正确答案】
【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.
【详解】设对称直线为，
则有，
解这个方程得（舍）或.
所以对称直线的方程中
故
7. 直线与直线所成夹角的余弦值等于______
【正确答案】
【分析】首先得到两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系，设直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，依题意可得，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切代入计算可得.
【详解】解：直线，即，则斜率，
直线，即，则斜率，
所以两直线关于轴对称，设直线的倾斜角为，
则两直线的夹角为，
所以，则
.
故
8. 直线与曲线有两个交点，则实数b的取值范围为________．
【正确答案】
【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系求解.
【详解】由的为如图所示的半圆，
当直线与半圆相切时，
解得或（舍），
要使直线与曲线有两个交点，
则，
故答案为: .
9. 双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为_______．
【正确答案】
【分析】根据直线与双曲线的位置关系求得的关系，结合离心率公式，即可容易求得离心率范围.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
若双曲线与直线无公共点，
等价为双曲线的渐近线的斜率，即，
即，即，即，则，则，
，离心率满足，
即双曲线离心率的取值范围是.
故答案为.
10. 已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是________.
【正确答案】
【分析】由圆的方程可得圆心与半径，整理直线方程为一般式，求得圆心到直线的距离，结合题意，可得答案.
【详解】由圆，则圆心，半径为，
由直线，则一般式为，
圆心到直线的距离，
由题意可知，解得.
故答案为.
11. 双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.
【正确答案】4
【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可.
【详解】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距，
由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，
令，则，由双曲线定义可知，
故有，即，即，，
中，由余弦定理，
，
即，得，
.
故4.
12. 已知点F是椭圆的右焦点，点到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于__________．
【正确答案】##
【分析】设，求得表达式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质、椭圆的定义来求得的最大值.
【详解】设，则，即且．
因为，
而，即，
所以，当，即时，
当时，取得最大值，．
又因为椭圆的离心率，因此当时，e最大．
设椭圆的左焦点为，则，因此，
所以当Q在的延长线上时，取得最大值，
，
因此的最大值为．
当，即时，
当时，取得最大值，，
由解得，即．
又因为椭圆的离心率，因此当时，e最大．
设椭圆的左焦点为，则，
因此，
所以当Q在的延长线上时，取得最大值，
，
因此的最大值为．
综上所述，的最大值为．
故
在椭圆有关线段和差的最值问题求解的过程中，可考虑利用椭圆的定义进行转换，从而求得最值.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. “”是直线与圆相交的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分也非必要
【正确答案】A
【分析】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可.
【详解】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交，
当直线与圆相交时，
圆心到直线的距离，
化简得，显然恒成立，故不能推出.
所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件.
故选：A.
14. 已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ）
A. 4B. C. 8D. 16
【正确答案】A
【分析】
由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得，代入可得选项.
【详解】因为为抛物线的焦点，所以，
设，由抛物线的性质得：，
∴，故到的距离为4.
故选：A．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，属于基础题.
15. 已知曲线，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 曲线关于直线成轴对称图形；
B. 经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；
C. 直线与曲线所围成的图形的面积为；
D. 设直线，当时，直线与曲线有两个公共点.
【正确答案】C
【分析】画出曲线图像即可判断A；分的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为时结合渐近线可判断B；由四分之一圆面积减去三角形面积可判断C；由图形可判断D.
【详解】，
因为当时，无意义，无此曲线，故舍去，
所以曲线表示为，作出曲线图象如图所示，
对于选项A，结合图象，显然不成立，故A错误；
对于选项B，令直线方程为：，代入曲线得，，无解，故B错误；
对于选项C，设直线与轴的交点分别为.
因为圆的半径为2.且点，
所以直线与曲线围成的图形的面积为，故C正确.
对于D选项，由于直线恒过点，
当时，直线与轴平行，与曲线有一个交点；
当时，直线与曲线的渐近线平行，此时与曲线有两个交点.
当时.结合斜率的范围可得直线与曲线有三个交点（如上图），故D错误；
故选：C
16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点，定义.对于下列两个命题：①设点P是直线上任意一点，则“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”；②设点P是椭圆上任意一点，则.则下列判断正确的是（ ）
A. ①真②真B. ①真②假C. ①假②真D. ①假②假
【正确答案】A
【分析】对于①，根据，把代入得到当最小时的点有无数个时，；而时，推导出最小的点有无数个，即可证明；
对于②，的坐标用参数形式表示，然后利用三角函数的辅助角公式化简可求得的最大值.
【详解】对于①，先证充分性：
由，当时，，满足题意；
又，当时，，满足题意.
再证必要性：
不难得到，当时，直线上使得最小的点P有无数个；
所以“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”，即①是真命题；
对于②，因为点P是椭圆上任意一点，则可设，
所以（，且），
则当时，，即②是真命题；
故选：A.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知向量
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量求实数的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）直接利用向量的数量积求解与的夹角的余弦值；
（2）表示出向量与的坐标，利用向量平行，列出方程，即可求解的值.
【小问1详解】
，，
所以，，，
所以.
【小问2详解】
，，∴，，
由与平行，所以，解得.
18. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
（1）求边所在直线的方程;
（2）若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；
（2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标.
【小问1详解】
因为B2,1、，
所以边所在直线的方程为，整理得；
【小问2详解】
点到直线的距离，
又，因为，
所以有，即，
又点的坐标满足，
因此有或，
解得或，
所以点的坐标为或．
19. 如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系.
（1）工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由；
（2）工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程.
【正确答案】（1）的长度最短，理由见解析
（2）
【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案；
（2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案.
【小问1详解】
由题意可得，，，
，，
路线的长度：，
路线的长度：，
因为，则路线的长度最短.
小问2详解】
设点，已知，
可得，
所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则，即，又因为，，
则点的轨迹方程为.
20. 已知圆，点，为坐标原点.
（1）若，求圆过点的切线方程；
（2）若直线与圆交于，两点，且，求的值；
（3）若圆上存在点，满足，求的取值范围.
【正确答案】（1）或；
（2）；
（3）.
【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得.
（2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的数量积计算即得.
（3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【小问1详解】
当时，圆的圆心，半径，
而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为，
则，解得或，
所以所求切线方程为或.
【小问2详解】
由消去得，，
设，则，
由，得，则，
整理得，则，即，解得，满足，
所以.
【小问3详解】
设点，由，得，
整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，
依题意，圆与圆有公共点，即，则，
整理得，解得，
所以的取值范围是.
21. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切；
（3）设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程.
【正确答案】（1）；
（2）证明见详解； （3）或.
【分析】（1）根据已知建立关于的方程组求解即可；
（2）联立直线方程和椭圆方程消去，结合点在椭圆上，代入化简即可得证；
（3）设，利用（2）中结论表示出两切线方程，结合切线过点可得直线方程，利用点到直线距离公式和弦长公式表示出面积，结合已知求出，然后可得直线方程.
【小问1详解】
由题知，，解得，
所以椭圆的标准方程.
【小问2详解】
因为点在椭圆上，所以，即，
联立消去整理得，
即，即，显然方程有唯一解，
所以直线与椭圆相切.
【小问3详解】
设，
将代入，解得，
因为点在椭圆外，所以或，所以，
由（2）可得，切线的方程分别为，
因为点在切线上，所以，
所以点在直线，即直线的方程为，
联立得，，
则，
所以
记点到直线的距离分别为，
则，
因为和的面积之和为1，
所以，
解得，所以的方程为或.
关键点点睛：本题第三问的关键是利用（2）中的结论和弦长公式以及点到直线距离公式从而得到三角形面积的表达式，则得到方程，解出即