上海市闵行区2024-2025学年高三上册期中联考数学检测试题（含解析）

这是一份上海市闵行区2024-2025学年高三上册期中联考数学检测试题（含解析），共21页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的定义域是__________.
2. 已知，，且是奇函数，则______．
3. 已知则______．
4. 函数的最小正周期为______．
5. 函数（且）图象恒过定点P，则点P的坐标为________
6. 函数在点处的切线方程为___________.
7. 已知平面向量夹角为，则___________
8. 设向量、满足，则在方向上的投影向量是__________.
9. 设， ，则不等式的解集为__________.
10. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．
11. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则__________.
12. 如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成.
已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到）
二、单选题
13. 给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
14. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ）
A. B. C. D.
15. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）
A. B.
C. D.
16. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增
B. 对于任意实数，若上单调递增，则在上单调递增
C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值
三、解答题
17. 已知函数，其中实数为常数.
（1）若，解关于方程；
（2）若函数是奇函数，求实数的值.
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值．
19. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．
（1）求的解析式；
（2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．
20. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明单调性；
（3）若存在实数，使得成立，求的取值范围．
21. 记y=f'x，分别为函数y=fx，y=gx的导函数.若存在，满足且，则称为函数y=fx与y=gx的一个“S点”.
（1）证明：函数与不存在“S点”；
（2）若函数与存在“S点”，求实数的值；
（3）已知，.若存在实数，使函数y=fx与y=gx在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.
上海市闵行区2024-2025学年高三上学期期中联考数学检测试题
一、填空题
1. 函数的定义域是__________.
【正确答案】
【分析】根据定义域求法解决即可.
【详解】由题知，，解得，
所以函数的定义域是，
故
2. 已知，，且是奇函数，则______．
【正确答案】
【分析】根据奇函数的性质可求参数.
【详解】因为是奇函数，故即，
故，
故答案为.
3. 已知则______．
【正确答案】
【分析】利用分段函数的形式可求.
【详解】因为故，
故答案为.
4. 函数最小正周期为______．
【正确答案】##
【分析】直接根据周期公式计算得到答案.
【详解】函数的最小正周期为.
故答案为.
5. 函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________
【正确答案】
【分析】令，计算即可求解.
【详解】由题意知，令，得，
将代入解析式中，得，
则函数的图象恒定点，即.
故
6. 函数在点处的切线方程为___________.
【正确答案】
【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果.
【详解】由题意可知，，则切点，因为，则，
所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即
故
7. 已知平面向量的夹角为，则___________
【正确答案】
【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案.
【详解】，
所以．
故答案为.
8. 设向量、满足，则在方向上的投影向量是__________.
【正确答案】或
【分析】利用投影向量的定义求解即得.
【详解】向量，则，
在方向上的投影向量为.
故或
9. 设， ，则不等式的解集为__________.
【正确答案】
【分析】先分别写出和时的表达式，再分别解这两种情况下的不等式，最后将解集合并.
【详解】当时,首先求出的表达式，
因为，根据，而，所以，则.
然后解不等式，即，移项得到.
对于二次函数，其判别式，
且二次项系数，所以恒成立，所以时不等式的解为.
当时,求出的表达式，因为，根据的定义.
解不等式，即，移项得到，
因式分解得.解为，又，所以此时不等式解为.
故答案为.
10. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．
【正确答案】
【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和.
【详解】奇函数y=fx，对于都有，
，则，即f4+x=fx，
则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称，
作出函数y=fx与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，
所以，，，，
则，故在内所有的零点之，
故答案为:．
11. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则__________.
【正确答案】##
【分析】由，推得f4+x=fx，得到的周期为4，奇函数性质得，且，即可求解.
【详解】因为，所以，
因为是奇函数，所以，
所以f4+x=fx，所以的周期为4，
所以，
且，
所以.
故答案为.
12. 如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成.
已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到）
【正确答案】
【分析】设，则，则利用面积公式可得，利用导数可求面积最大时对应的角.
【详解】因为，，
故，故，设，则，
又
，
设，
则，
，
记，，因为，故，
又当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，此时，
故，用度表示后约等于，
故答案为.
二、单选题
13. 给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【正确答案】C
【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】对A：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对B：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量，
且存在实数，使得，
故和共线，不可作基底；
对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.
故选：C.
14. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.
【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误；
对B，设，定义域为，且，则其为偶函数，
因为周期为，则的周期为，故B正确；
对C，是奇函数，周期为，故C错误；
对D，是奇函数，周期为，故D错误.
故选：B.
15. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】构造函数求导可得，利用已知条件可得在0,+∞单调递增，且是上的偶函数，等价于也即是，利用单调性即可求解.
【详解】令函数，则
对任意的正实数，，所以，
所以在0,+∞单调递增，
因为是上的偶函数，所以也是上的偶函数，
所以即，所以，可得，
解得：，
所以实数的集合为
故选：B
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.
16. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增
B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增
C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
D. 若函数满足：当时，，当时，，则为最小值
【正确答案】D
【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确.
【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率；所以
对于A：因为是定义在R上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在R上单调递增，
所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误；
对于B：设，
由图象可知，

当x∈R时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在R不是单调函数，故B错误；
对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设，
函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图

当点向点靠近时，割线的斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误；
对于D：因为函数满足：当时，，
即，
因为，，所以；
同理，当时，，
即，
因为，，所以；
所以为的最小值，故D正确；
故选：D.
关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.
三、解答题
17. 已知函数，其中实数为常数.
（1）若，解关于的方程；
（2）若函数是奇函数，求实数的值.
【正确答案】（1）x=1或；
（2）a=−1.
【分析】（1）根据，求得，再解方程即可；
（2）根据，求得参数，再验证即可.
【小问1详解】
因为，则，解得，则，即，
整理得，则，或，解得x=1或.
故方程的根为或.
【小问2详解】
函数是奇函数，又的定义域为，则，解得a=−1；
当a=−1时，，则，
满足为奇函数，故a=−1.
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的单调性，通过整体代入求解可得；
（2）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式展开后因式分解可解.
【小问1详解】
由题意得，，
由，解得：，
所以单调递增区间为；
【小问2详解】
由正弦定理边化角得，
因为在中，，则，
所以，即，
所以
当时，；
当，即时，．
因为，所以．
19. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．
（1）求的解析式；
（2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．
【正确答案】（1），
（2）元千克
【分析】（1）依题意可得当时，，当时，，即可得到关于、的方程组，解得即可；
（2）设每日销售该商品获利元，即可得到的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解.
小问1详解】
由题意可知，当时，，
当时，，
即，解得，
所以，，
【小问2详解】
设每日销售该商品获利元，则
，
则，
令，得或舍去，
所以时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以时，取得最大值，
，
所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大．
20. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若存在实数，使得成立，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）函数在R上单调递减，证明见解析
（3）
【分析】（1）根据定义域为R且为奇函数，所以，即可求解.
（2）利用函数单调性的定义法即可证明求解.
（3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解.
【小问1详解】
由函数为奇函数，其定义域为R，所以，
即，解得，此时，
满足，即为奇函数，
故的值为.
【小问2详解】
在R上单调递减，证明如下：
由（1）知，
，且，则，
因为，所以，，，
所以，即函数在R上单调递减.
【小问3详解】
由，则，
又因为为奇函数，所以，
又由（2）知函数在R上单调递减，
所以，因为存在实数，使得成立，
所以，解得.
所以的取值范围为.
21. 记y=f'x，分别为函数y=fx，y=gx的导函数.若存在，满足且，则称为函数y=fx与y=gx的一个“S点”.
（1）证明：函数与不存在“S点”；
（2）若函数与存在“S点”，求实数的值；
（3）已知，.若存在实数，使函数y=fx与y=gx在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）求导，假设存在“S点”，解方程组可得结论；
（2）求导，设“S点”为，解方程组得结论．
（3）设“S点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围.
【小问1详解】
因为，，则，，
假设存函数与存在“S点”
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“S点”.
【小问2详解】
因为与，则与，
设“S好点”为，满足，，
所以.
【小问3详解】
由已知，，
依题意可得：存在满足，代入得，
解得，
由，又，故解得，
令，则，在上增函数，
，时，，且当时，，
所以，即．
思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“S点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“S点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题．