2024-2025学年上海市闵行区高二上学期12月月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市闵行区高二上学期12月月考数学质量检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角是 ．
2．已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ．
3．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ．
4．双曲线的一个焦点的坐标是，一条渐近线的方程是，则双曲线的标准方程是 ．
5．已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ．
6．已知点在直线上，则的最小值为 .
7．已知圆与圆交于、两点，则所在的直线方程是 ．
8．若椭圆的方程为，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝ .
9．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ．
10．双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
11．反比例函数的图像都是双曲线，求双曲线的焦点坐标 ．
12．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14．设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若且，则
（2）若且，则
（3）若且，则
（4）若且，则
其中不正确的个数是（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
15．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
16．如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE；若D、E分别是AB、BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．已知直线与直线．
(1)若两条直线垂直，求实数a的值；
(2)若两条直线的夹角为，求实数a的值．
18．四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为.
(1)求点到平面的距离；
(2)求直线与平面所成的角.
19．已知动圆M（M为圆心）过定点，且与定直线相切．
(1)求动圆圆心M的轨迹方程；
(2)设过点P且斜率为的直线与（1）中的曲线交于A、B两点，求线段AB的长；
(3)设点是x轴上一定点，求M、N两点间距离的最小值．
20．某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为．机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）．在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
21．已知椭圆的长轴长为，且过点．记椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以线段PQ为直径的圆过点，求直线l的方程；
(3)若，求实数的取值范围．
1．##
【分析】将直线方程化成斜截式，求得其斜率，再求倾斜角.
【详解】由可得：，则得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，又，故得.
故答案为.
2．
【分析】根据圆的标准方程的形式，将圆心和半径代入整理即得.
【详解】因圆的圆心坐标为，圆的半径为，故圆的标准方程为.
故答案为.
3．
【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积.
【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故，
则.
故答案为.
4．
【分析】根据双曲线焦点坐标判断焦点位置，设出双曲线方程，由题设条件列出方程组，解之即得.
【详解】因双曲线的一个焦点的坐标是，则双曲线的焦点在轴上，
故设双曲线的标准方程为：，且，①
又由一条渐近线的方程是可得：②，
联立①②解得：，故双曲线的标准方程是.
故答案为.
5．
【分析】设出点，结合距离公式计算即可得.
【详解】设，由题意可得，
化简可得，即.
故答案为.
6．3
【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解.
【详解】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.
故
本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.
7．.
【分析】两圆方程作差，即可得到交线的方程.
【详解】联立方程，即，
两式作差得，，
整理可得，.
所以，所在的直线方程是.
故答案为.
8．4或8
【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可.
【详解】因为是椭圆的方程，所以且，所以,
由椭圆的方程可得，又，
所以，解得或.
故答案为4或8
本题主要考查椭圆的简单性质，由椭圆的长半轴、短半轴以及半焦距之间的关系即可求解，属于基础题型.
9．0或
【分析】由题意知，直线斜率存在，且经过定点，由图知，过点斜率存在且与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条与轴平行，一条与与抛物线相切,求之即得.
【详解】
如图，因直线的斜率为,且经过定点，又抛物线的对称轴为轴，
故当时，直线与抛物线有且只有一个公共点；
由消去，得：，
由，解得：，此时直线与抛物线相切.
综上，或.
故0或.
10．##
【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得的值，代入三角形的面积公式计算即得.
【详解】
由可得：，如图，设则①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②联立，解得.
则三角形的面积为.
故答案为.
11．，
【分析】结合双曲线性质，计算双曲线的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标.
【详解】由双曲线的渐近线为轴与轴，故其焦点在上，
联立，解得或，故其两顶点坐标分别为，，
故其半实轴长为，与轴、轴夹角都为，又，
故其半虚轴长为，故其半焦距为，
故其焦点坐标分别为，.
故，.
12．
【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解
【详解】设椭圆的半焦距为，
如图，延长，与椭圆交于点L，连接，
由，所以根据对称性可知，，
设，则，，
从而，故，
在中，，所以，
在中，，即，
所以，所以，所以离心率，
故
13．B
【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，直线，直线，
因为，可得,，即，解得，
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
14．D
【分析】根据直线与直线平行、直线与平面平行的性质分别判断命题真假即可得解.
【详解】若且，则或，故命题错误；
若且，则或为异面直线，故命题错误；
若且，则或，故命题错误；
若且，则或相交或异面，故命题错误.
故选：D
15．B
【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
16．A
【分析】根据线面平行和面面平行得到线线平行，得到几何体为棱柱，另外，根据柱体和台体体积公式求出答案.
【详解】平面与棱平行，平面平面，平面平面，
所以，，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
故几何体为棱柱，设棱柱的高为，
故，
又D、E分别是AB、BC的中点，则，
由台体体积公式得，
故
故选：A
17．(1)
(2)或
【分析】（1）就参数分类讨论，利用两直线垂直的充要条件即可求得；
（2）结合图象分类讨论验证，得出时符合题意，再运用到角公式计算即得另一值.
【详解】（1）当时，直线与直线显然不垂直，
由可得：，即直线斜率为：，
由知直线斜率为，因两条直线垂直，
则得，即.
（2）
设两直线的夹角为，依题意，，
①当时，直线，
如图，设直线的倾斜角为，则，即，
因是锐角，故，即有，符合题意；
②当时，由可得其斜率为：，
又直线的斜率为，
由可得：，
由到角公式：，即：，解得.
综上，或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法及二面角的大小求出的值，再求平面的法向量，根据点到平面的距离求解即可；
（2）先求出平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
【详解】（1）因为四边形是正方形，平面，平面，
所以两两垂直，
以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，
设，，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，取，
取平面的法向量，
因为二面角的大小为，
所以，解得，即，
所以，，，
设平面的法向量，
则，取，
所以点到平面的距离.
（2）由（1）得，
设平面的法向量，
则，取，
设直线与平面所成的角为，，
所以，
所以直线与平面所成的角为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的定义即得动圆圆心M的轨迹方程；
（2）将直线方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，即可求得弦长；
（3）根据题设先求出的解析式，可将距离最小值问题转化为二次函数最小值问题，分类讨论即得.
【详解】（1）因为动圆M过定点，且与定直线相切，所以由抛物线定义知：
圆心M的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，抛物线方程形如：，又焦准距为，故圆心M的轨迹方程为．
（2）
如图，由题知，直线AB的方程为，
所以，解得：，则得：．
（3）设，则，（），因，
则，
因二次函数的图象对称轴为：，
故当时，，此时；
当时，，此时.
故：
20．(1)
(2)没有“被抓”风险
【分析】（1）根据题意和双曲线定义，可得机器鼠所在的点的轨迹方程，利用与其联立，计算即得点的坐标；
（2）依题考虑与直线平行且距离不超过的直线，判断机器鼠是否有“被抓”风险，就可以转化为与是否有交点问题，而这可以通过方程联立，计算方程根的判别式的符号得到.
【详解】（1）
如图，设机器鼠在点处，则由题意，得，
所以，P为以A、B为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，
该双曲线的方程为，
由，即：，将其与双曲线方程联立，解得：，故得，
即在时刻时，机器鼠所在位置的坐标为．
（2）因为与直线l平行且距离不超过1.5的直线方程为，则由可得：．
考虑与是否有交点，
联立，得，
故，
因为，所以，
所以，与没有交点，
即机器鼠保持目前的运动轨迹不变，没有“被抓”风险．
思路点睛：本题主要考查动点的轨迹方程和直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，属于较难题.
解题思路包括：① 求动点轨迹，一般将其与圆锥曲线的定义进行比较，符合定义则可以用其标准方程得到轨迹方程；
② 对于此题中的“机器鼠是否有“被抓”风险”，要将其理解为直线与是否有交点问题即可迎刃而解.
21．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据长轴长与点求椭圆方程；
（2）根据求直线方程；
（3）设直线，，，由得，结合韦达定理求得的范围，进而得到的范围.
【详解】（1）由长轴长为得，将点代入得，
所以椭圆方程为.
（2）当直线l斜率不存在时，直线，此时，，，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线，，，
联立直线与椭圆，有，
此时，，
，，，
，
，
即，解得．
直线l的方程为或.
（3）①若直线l斜率不存在时，直线，
若，，则，，，此时；
若，，则，，，此时；
②当直线l斜率存在时，设直线，，，
又，即，故，
又，即，
因为，故，，，
显然，
由得，
综上．
关键点点睛：由得，转化为韦达定理.