上海市闵行区2024-2025学年高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份上海市闵行区2024-2025学年高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了填空题，选择，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若两直线a、b与平面所成角相等，则a与b的位置关系是________．
2. 设为长方体，为直平行六面体，为正四棱柱，为正六面体，则集合A，B，C，D之间的包含关系为________．
3. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________．
4. 在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）．

5. 若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______.
6. 正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为_______
7. 如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．
8. 如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________.
9. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________.
10. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大.
11. 如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________．
12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为__.
二、选择（4共16）
13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ ）
A. 若直线与平面内一条直线垂直，则直线与平面垂直
B. 若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直
C. 若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直
D. 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直
15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体为“鳖臑”
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
16. 设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题，则（ ）.
①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形；
②若不是平行四边形，则可能是平行四边形.
A. ①真②真B. ①真②假C. ①假②真D. ①假②假
三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分）
17. 已知正方体．
求证：（1）面面．
（2）面．
18. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，AB为圆的直径，圆柱的表面积为，.
（1）由点拉一根细绳绕圆柱侧面到达，求绳长的最小值.
（2）求异面直线与AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
19. 如图，在多面体中，四边形是边长为2菱形，，四边形是正方形，平面丄平面.
（1）证明：平面丄平面；
（2）若点M是线段的一点，且满足丄平面，求二面角的大小
20. 已知正方体的棱长为1，P是对角面（包含边界）内一点，且.

（1）求PC长度；
（2）是否存在点P，使得平面平面PCD？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由；
（3）过点P作平面α与直线PC垂直，求平面α与平面ABCD所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体所得截面图形的面积.
上海市闵行区2024-2025学年高二上学期10月月考数学学情检测试卷
一、填空题（ 3 共 36 ）
1. 若两直线a、b与平面所成的角相等，则a与b的位置关系是________．
【正确答案】平行、相交或异面
【分析】根据线面角的定义可分析得出.
【详解】若，显然a、b与平面所成的角相等；
若a、b为圆锥的两条母线所在的直线，显然a、b与平面所成的角相等，此时a、b为相交直线；
若a、b为异面直线，若满足，此时a、b与平面所成的角相等，均为0，
故a与b的位置关系是平行、相交或异面.
故平行、相交或异面.
2. 设为长方体，为直平行六面体，为正四棱柱，为正六面体，则集合A，B，C，D之间的包含关系为________．
【正确答案】
【分析】先判断出四个集合中的元素关系，再根据集合包含关系定义判断即可.
【详解】在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，再其次是正四棱柱（上下底面是正方形的长方体），最少元素的是正六面体.
故答案为:
3. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________．
【正确答案】1
【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.
【详解】由直观图可还原，如图：
其中，又，
因此，
所以.
故
4. 在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）．

【正确答案】②④
【分析】根据异面直线的定义分别判断即可.
【详解】对①，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故①错误；

对②，、、三点共面，但面，因此直线与异面，故②正确；
对③，如图，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故③错误；

对④，、、共面，但面，与异面．故④正确.
故②④.
5. 若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______.
【正确答案】4
【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解.
【详解】在空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，如图，

当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角，
因为直线，所成的角为，得所成锐角等于，
当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是.
这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，
当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是.
这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是，
综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条.
故4
6. 正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为_______
【正确答案】##
【分析】作出辅助线，得到即为点A到平面的距离，为等边三角形的中心，结合勾股定理求出答案.
【详解】取的中点，连接，则⊥，
过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离，
则点在上，且为等边三角形的中心，
因为正四面体的棱长为1，则，
由勾股定理得，则，
因为，由勾股定理得，
则点A到平面的距离为.
故
7. 如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【正确答案】##
【分析】建立空间直角坐标系，设出相关点及向量的坐标，求出必要参数，利用向量的夹角公式求解即可，或作合适辅助线，利用线线角定义求解也可.
【详解】．
解法一
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，
所以，则，解得，
所以，所以，设线线角为
则，
因此异面直线与所成角的余弦值为．
故
解法二
设，因为，所以，得．如图，取线段上靠近点的三等分点，靠近点的三等分点，连接，易知， 又，
所以，故为异面直线与所成的角或其补角．
，
所以，因此异面直线与所成角的余弦值为．
故
8. 如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________.
【正确答案】
【分析】过点作，且，在利用余弦定理可得，再在中利用勾股定理求解.
【详解】
过点作，且，
则四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
即为二面角的平面角，即，
在中，，
即，
又，，平面，
平面，
平面,
，，
在中，，
即，
故答案为.
9. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________.
【正确答案】##
【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解.
【详解】取中点为，连接,
由于是等边三角形，所以
因为平面平面，其交线为,平面,
所以平面，是直线与平面所成角．
不妨设，
在等边中，，，所以，
故
故直线与平面所成角的正弦值为．
故
10. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大.
【正确答案】##
【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．
【详解】如图，过点C作交AB于D，连接，由题可知
因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为，所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知，
设，，根据正弦定理
当时遮阴影面面积最大，此时
故
11. 如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________．
【正确答案】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设，并求出的坐标，再结合线面角的向量求法求解.
【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由P的运动速度是的2倍，得，即，
则，显然平面的法向量，
于是，
，因此，
显然当时，，当时，，
所以的取值范围是.
故
关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦．
12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为__.
【正确答案】
【分析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在上，在平面上，设E关于的对称点为N，关于的对称点为M，求出MN，即可得出结论.
【详解】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在上，
在平面上，设E关于的对称点为N，关于的对称点为M，连接，交于点，交于点，则即为周长的最小值，
则，
由勾股定理得.
故答案.
二、选择（4共16）
13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断.
【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件，
设，，显然，从而有成立，但此时不平行.
故选：A.
14. 下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ ）
A. 若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直
B. 若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直
C. 若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直
D. 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直
【正确答案】C
【分析】由线面垂直的判定定理逐项判断即可.
【详解】对于A，直线与平面内一条直线垂直，则直线与平面的位置关系无法确定，故A错误；
对于B，若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面的位置关系无法确定，故B错误；
对于C，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，故C正确；
对于D，若直线与平面内的无数条直线垂直，当这无数条直线平行时，
直线与平面的位置关系无法确定，故D错误.
故选：C.
15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体“鳖臑”
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
【正确答案】C
【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵中，，侧棱平面，
A选项，∴，又，且，则平面，
∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确；
B选项，由，即，又且，
∴平面，∴，则为直角三角形，
又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确；
C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，
，最大值为，故C错误；
D选项，因为，，，所以平面，故D正确；
故选：C
16. 设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题，则（ ）.
①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形；
②若不是平行四边形，则可能是平行四边形.
A. ①真②真B. ①真②假C. ①假②真D. ①假②假
【正确答案】C
【分析】对于②，可以考虑构造一个正四棱锥来说明，对于①可以考虑利用反证法证伪.
【详解】对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形，
具体做法是：取，则四棱锥为正四棱锥，
然后令，
那么
此时是梯形，但不是平行四边形，
对于①，如图，四边形为平行四边形，也为平行四边形，
若平面与平面不平行，
则四边形中必有一边与底交，
不妨设直线与底交， 则直线也与底交，
在平面中过做的平行线，交与，则，
因平面，平面，故平面，即平面，
而平面平面，故，而，
故相交，这与为平行四边形矛盾.
故平面平面，故，
若四边形为菱形，则，则，
故四边形为菱形，故①错误.
故选：C.
关键点睛：空间中满足条件的几何体的存在性，可以通过常见几何体来构造，或者通过反证法结合空间中点线面的判断与性质导出矛盾.
三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分）
17. 已知正方体．
求证：（1）面面．
（2）面．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可得：，由线面平行的判定定理可得：平面，同理可得平面，从而根据面面平行的判定定理可得结论；（2）由三垂线定理得，同理，在根据线面垂直的判定定理可得结论.
【详解】（）由正方的性质可知：且
可得：是平行四边形
可得：
又平面，平面
可得：平面
同理可得：平面
故平面平面
（），且为在面内的射影，且
由三垂线定理得：
同理可得：
故平面
18. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，AB为圆的直径，圆柱的表面积为，.
（1）由点拉一根细绳绕圆柱侧面到达，求绳长的最小值.
（2）求异面直线与AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）将圆柱展开，即可得到矩形，因此点到达的最小值即为展开举行的对角线长度，直接求解即可.
（2）由已知，延长交圆于，连接，从而得到四边形为平行四边形，根据，将异面直线与所成角转化为与所成角，然后利用余弦定理可知接求解；
【小问1详解】
将圆柱的侧面沿母线剪开，并展开在一个平面上，
求得绳长的最小值为圆柱展开图所成矩形的对角线，
即.
【小问2详解】
已知圆柱表面积为，则圆柱的高为3，
延长交圆于，连接，
因为四边形的对角线互相平行，所以为平行四边形，
则，异面直线与所成角即与所成角.
在中，，，；
，
所以
即异面直线与所成角为.
19. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面丄平面.
（1）证明：平面丄平面；
（2）若点M是线段的一点，且满足丄平面，求二面角的大小
【正确答案】（1）证明见解析
（2）arctan
【分析】（1）根据菱形、正方形的性质有、，结合面面垂直的性质可得面，根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论；
（2）是、的交点，连接交于，由线面垂直的性质及射影的性质可得，进而可确定二面角的平面角，根据已知求其正切值，即可得二面角的大小.
【小问1详解】
∵四边形是菱形，∴，
由四边形是正方形有，
又面面，面面，面，
∴面，面，即，
又，且面，
∴面，由面，
∴平面平面；
【小问2详解】
若是、的交点，连接交于，
由面，面，即，
由（1）知：是在面上的射影，故，连接，
∴是二面角的平面角，
由射影定理知：，，，则，.
∴，故.
∴二面角的大小为.
20. 已知正方体的棱长为1，P是对角面（包含边界）内一点，且.

（1）求PC的长度；
（2）是否存在点P，使得平面平面PCD？若存在，求出点P位置；若不存在，说明理由；
（3）过点P作平面α与直线PC垂直，求平面α与平面ABCD所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体所得截面图形的面积.
【正确答案】（1）1 （2）不存在，理由见解析
（3），
【分析】（1）根据依题意利用线面垂直的判定定理可得，点的轨迹是在平面内以为直径的半圆，即可求得；
（2）利用空间向量求出当平面平面时点的位置与点重合，显然不合题意，可知不存在满足题意的点；
（3）利用线面角的定义可得当直线与平面所成的角取到最大值时，平面与平面所成锐二面角最小，即可求得结果，做出平面截正方体所得截面图形为五边形，分别算的边长，然后即可求得面积.
【小问1详解】
连接交于点，连接，如下图所示：

易知，利用正方体性质可得，
又，平面，所以平面；
又P是对角面（包含边界）内一点，，即可得平面；
所以，
又因为，所以可得，
又，利用勾股定理可得，
由正方体的棱长为1，因此，
因此点的轨迹是在平面内以为直径的半圆；
可得.
【小问2详解】
以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：

由（1）可知，假设存在点，使得平面平面；
易知；
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，可得；
设平面的一个法向量为，
则，令，则，可得；
由平面平面可得，解得，
即可知；
又点的轨迹是在平面内以为直径的半圆，可知此时点与点重合，不合题意；
因此可得不存在点，使得平面平面；
【小问3详解】
过点作平面与直线垂直，
设直线与平面所成的角为，
易知和平面与平面所成锐二面角互余，
所以当取到最大值时平面与平面所成锐二面角最小，
由（2）可知，又，因此当点竖坐标取到最大值时，
即平面时满足题意，
此时，所以，
因此平面与平面所成锐二面角的最小值为
延长，交的延长线与点，交于点，如下图所示：

易知，由可得，所以；
由可知，可得，
过点作分别交于点，则；
显然由正方体性质可得平面，所以平面，
又平面，所以；
由，，平面，
所以平面，即平面即为平面，
设平面截正方体交于点，于点，连接；
所以平面截正方体所得截面图形即为五边形；
设，易知，则；
由可得，解得；
即，所以，
而，所以；
由对称性可知，，；

分别做，
则，则，
所以，
且，
则，
则梯形的面积为，
所以截面的面积为