2024-2025学年四川省遂宁市高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省遂宁市高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了 已知直线， 下列命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ）
A. 88分B. 84分C. 85分D. 90分
2. 已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，则
C. 若，且，则，是独立事件
D. 若，是独立事件，，则
6. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
8. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ）
A. B. C. D. 5
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 直线经过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C D.
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则
B. 直线l方向向量，平面的法向是，则
C. 两个不同平面，的法向量分别是，，则
D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
11. 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（ ）

A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面距离和为定值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，三个年级学生人数之比依次为.已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为___________人.
13. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______.
14. 已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取100名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组40,50，第2组50,60，第3组60,70，第4组，第5组80,90，第6组90,100，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）已知学生成绩评定等级有A、B两个等级，其中成绩不小于60分时为A级，若从第1组和第3组两组学生中，按照分层抽样方法抽取6人，再从这6随机抽取2人，求所抽取的2人中两人成绩均为A级的概率．
16. 根据下列条件，求直线的一般方程：
（1）过点且与直线平行的直线方程；
（2）若，的角平分线所在直线方程.
17. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
（1）若直线与都在平面内，求平面的方程；
（2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；
（3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值.
2024-2025学年四川省遂宁市高二上学期10月月考数学学情检测试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ）
A. 88分B. 84分C. 85分D. 90分
【正确答案】A
【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可.
【详解】8名学生成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，
因为，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，
即分．
故选：A.
2. 已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】先求出线段的中点坐标及直线的斜率，再通过垂直求出其垂直平分线的斜率，最后利用点斜式即可求出方程.
【详解】线段的中点为，，则线段垂直平分线的斜率为，
则线段垂直平分线方程为，即.
故选：B.
3. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据已知条件用，，表示，即可得答案.
【详解】由题设，
结合，得，
故选：C
4. 已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.
【详解】
，而，
故直线的取值范围为，
故选：A.
5. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，则
C. 若，且，则，是独立事件
D. 若，是独立事件，，则
【正确答案】C
【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D.
【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误；
对于B，若是互斥事件，，则，B错误；
对于C，，则，，
又，则是独立事件，C正确；
对于D，若是独立事件，则是独立事件，而，
则，D错误.
故选：C
6. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】依题意，：，：，
若两直线平行，则，
解得或.
当时，：，：，
此时两直线重合，不符合.
当时，：，：，符合题意.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
7. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
【正确答案】B
【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案.
【详解】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，
由正方体的特征可得其外接球半径为,
设外接球球心为，则，
则
,
由于点在正方体表面上运动，
故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长，
即为正方体棱长的一半，为，
所以的最小值为，
故选：B.
8. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ）
A. B. C. D. 5
【正确答案】D
【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值.
【详解】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
又，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为，
故选：D.
本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即．
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得或，
当时，可得直线的方程为，即；
若时，可得则直线的方程为，即．
故选：BCD.
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则
B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
【正确答案】AC
【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D.
【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确；
B选项：因为，所以
所以或，B错误；
C选项：因为，所以，C正确；
D选项：记直线l与平面所成角为，则，
因为，所以，D错误.
故选：AC
11. 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（ ）

A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
【正确答案】ABD
【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法逐一判断各个选项即可.
【详解】根据已知条件，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴
建立空间直角坐标系，设，则，，，
，，，；
由是棱上的动点，设，，
因为，，所以，
即，故A正确；
当为中点时，是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面，故B正确；
，，若存在点，
使直线与所成的角为，
则，
化简得，无解，故C错误；
由题意可知：点到平面的距离，
为平面的法向量，所以点到平面的距离为，
所以，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，三个年级学生人数之比依次为.已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为___________人.
【正确答案】360
【分析】根据高一年级学生所占的比例，求出，得到高三年级抽取的人数．
【详解】由已知高一年级抽取的比例为，所以，得，
故高三年级抽取的人数为．
故360
13. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______.
【正确答案】
【分析】借助线段和的几何意义求解即可.
【详解】设关于直线对称对称点坐标为，
则，解得，即，
，
所以的最小值为.
故答案为.
14. 已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差__________．
【正确答案】8
【分析】先求出剩余10个数的平均数，进而根据方差公式得出的值，即可得出答案.
【详解】由题意知，，，
所以，
所以剩余的10个数的平均数为．
根据方差公式得，
，，
即，，
所以，
所以剩余的10个数的方差为．
故8.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取100名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组40,50，第2组50,60，第3组60,70，第4组，第5组80,90，第6组90,100，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）已知学生成绩评定等级有A、B两个等级，其中成绩不小于60分时为A级，若从第1组和第3组两组学生中，按照分层抽样方法抽取6人，再从这6随机抽取2人，求所抽取的2人中两人成绩均为A级的概率．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由频率之和为1得到分数在内的频率，从而计算出估计本次考试成绩的平均数；
（2）利用分层抽样的概念计算出抽取的成绩在和内的人数，列举法求出相应的概率.
【小问1详解】
由图可得分数在内的频率为，
本次考试成绩的平均数约为
．
【小问2详解】
第1组人数为，第3组人数为，
按照分层抽样方法抽取6人，被抽取的成绩在内的人数为，分别记为，；
成绩在内的人数为，分别记为，
则从这6人中随机抽取2人的情况为：，，，，，
，，，，，，，，15种；
被抽到2人成绩均为A级的情况为：，，，，共6种．
故抽到2人成绩均为A级的概率为：．
16. 根据下列条件，求直线的一般方程：
（1）过点且与直线平行的直线方程；
（2）若，的角平分线所在直线方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）设与直线平行的直线方程为，把点代入，能求出所求直线方程.
（2）求出直线和直线的斜率，从而得到的角平分线所在直线的斜率，由此能求出的角平分线所在直线方程.
【小问1详解】
设与直线平行的直线方程为，
把点代入，得，解得，
∴所求直线方程为.
【小问2详解】
∵，
∴，，
设的角平分线所在直线的斜率为，则，
解得或，由图可知，所以.
∵的角平分线所在直线过点，
∴直线方程为，即，
∴的角平分线所在直线方程为.
17. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试概率.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【小问1详解】
甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
【小问2详解】
乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
【小问3详解】
丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见详解；
（2）
【分析】（1）结合已知易证四边形平行四边形，可证，进而得证；
（2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为为的中点，所以，
四边形为平行四边形，所以，又因为平面，
平面，所以平面；
【小问2详解】
如图所示，作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，，所以，
结合（1）为平行四边形，可得，又，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，
所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，
因为，所以，所以互相垂直，
以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
平面的法向量为n=x2,y2,z2，
则，即，令，得，即m=3,3,1，
则，即，令，得，
即，，则，
故二面角的正弦值为.
19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
（1）若直线与都在平面内，求平面的方程；
（2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；
（3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为
【分析】（1）求出直线、的方向向量，进而可求得平面的法向量，结合题意可得出平面的方程；
（2）根据题意，设点，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标；
（3）求出多面体与各坐标轴的交点坐标，利用锥体的体积公式可求出多面体的体积，化简多面体两个相邻平面的方程，可得出这两个平面的法向量，利用空间向量可求得多面体相邻两个平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
解：由题意可知，直线的一个方向向量为，
直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，则，
解得，取，则，
易知直线过点，所以，平面的方程为.
即.
【小问2详解】
解：根据题意，设点，则，
因为平面以为法向量，则，①
又因为点在平面内，则，②
联立①②可得，，故点的坐标为.
【小问3详解】
解：如下图所示：
易知多面体交各坐标轴于点、、、、
、，
正方形的边长为，
所以，正方形的面积为，
而正四棱锥的高为，则，
所以，多面体的体积为.
易知平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
所以，，，
因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为.
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.