2024-2025学年上海市徐汇区高二上册9月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市徐汇区高二上册9月月考数学学情检测试卷（含解析），共24页。
2. 已知数列的前项和，第项满足，则______．
3. 已知满足且，则_________
4. 取值范围为______.
5. 有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是____________.
6. 在中，分别为内角的对边，若，，且，则______.
7. 如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为_________.
8. 等比数列的公比为q，是数列的前n项和，若，则公比q的取值范围是______.
9. 在中，，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是______．
10. 已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为____________.
11. 若，平面内一点满足，则的最大值为_________.
12. 如图，已知矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，而积为，周长为，则下列说法不正确的是（ ）
A 若，确定，则唯一确定B. 若，确定，则，唯一确定
C. 若确定，则唯一确定D. 若确定，则唯一确定
14. 已知，，虚数是方程的根，则（ ）
A. B. C. 2D.
15. 如图、用斜二测画法作△的直观图得△，其中，是边上的中线，由图形可知，在△（是的中点）中，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
16. 设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的图像关于直线对称
C. 在上单调递增D. 过点直线与函数的图像必有公共点
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列有，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的最大项的值.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，．
（1）求函数最小值；
（2）若，，，求的面积．
19. 甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多．
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由．
20. 若函数，，，的最大值为1.
（1）求的值；
（2）若函数在内没有对称轴，求的取值范围；
（3）若函数满足恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求的最小值.
21. 定义的“倒平均数”为．已知数列前项的“倒平均数”为，记．
（1）比较与的大小；
（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．
（3）设数列满足，且，且，且是周期为3的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．
2024-2025学年上海市徐汇区高二上学期9月月考数学学情检测试卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1. 已知等比数列满足，，则的值为__________．
【正确答案】
【分析】设等比数列的公比为，则，由已知条件求出的值，即可得出的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，
因为，，则，即，所以，，
因此，.
故答案为.
2. 已知数列的前项和，第项满足，则______．
【正确答案】
【分析】利用之间关系可得数列的通项公式，然后解不等式即可.
【详解】当时，；
当时，，
，
当时，符合上式，
所以an的通项公式为，
所以，
由解得，
因为为正整数，所以，
故答案为.
3. 已知满足且，则_________
【正确答案】
【分析】将条件中平方，得到的值，再将所求的目标平方，得到答案.
【详解】因为
所以
因为
所以，即
所以.
故答案为.
本题考查向量的模长计算，向量的数量积运算，属于简单题.
4. 的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】利用辅助角公式及同角三角函数的平方关系、三角函数的性质计算即可.
【详解】由题意可得
，
又，所以，
所以.
故答案为.
5. 有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是____________.
【正确答案】①②③
【分析】根据空间中平面的性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于①，过不共线的三点确定一个平面；故①错误，
对于②,有三个角为直角的四边形可能是空间四边形，故②错误，
对于③，若三条直线相交于一点，则可以确定3个平面；故③错误，
对于④,两个相交平面把空间分成四个区域, ④正确，
故①②③
6. 在中，分别为内角的对边，若，，且，则______.
【正确答案】4
【分析】根据正弦定理角化边，三角形面积公式及余弦定理，即可求解．
【详解】因为，所以，
所以，即，
由题干及正弦定理得，①，
由余弦定理得，②，
由①②得，，即，
故4．
7. 如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为_________.
【正确答案】
【分析】设在时，距离地面的高度为，其中，根据题中条件求出、的值，可得出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，即可得解.
【详解】因为摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，
设在时，距离地面的高度为，其中，
则，可得，则，
由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，可得，所以，
即，
当时，可得，即，
因为，解得，
所以，
令，可得.
所以，游客进舱时他距离地面的高度为.
故答案为.
8. 等比数列的公比为q，是数列的前n项和，若，则公比q的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】分别计算，然后得到，计算即可.
【详解】由题可知：数列为等比数列，
当时
所以
所以，由
则，所以，故或
所以
当时，符合题意，所以
所以
故
9. 在中，，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是______．
【正确答案】
【分析】利用正弦定理和余弦定理求出外接圆的半径，再利用等面积法求三角形内切圆的半径，即可求解.
【详解】设外接圆的半径为，内切圆的半径为，内切圆的圆心为，
因为，
所以由正弦定理可得，，
不妨设，
有余弦定理可得，，
因为，所以,
由正弦定理得，
又因为,，
所以，
所以，
所以该三角形外接圆与内切圆的面积之比为.
故答案为: .
10. 已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为____________.
【正确答案】
【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可.
【详解】因为，
所以向量、、分别看作以为起点，以为终点，
且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，

又因为，
所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点，
因为，当时，的值为，
故答案为.
11. 若，平面内一点满足，则的最大值为_________.
【正确答案】
【分析】由，结合数量积的计算可得，即是角平分线，由角平分线的性质可得，设，则，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，从而可求的最大值.
详解】由可得.
因为，即，
所以，即是角平分线，
由角平分线的性质可得，
设，则，由可得.
因为，
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，
所以的最大值是.
故

12. 如图，已知矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则的最小值为________．
【正确答案】
【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设,进而写出的坐标，运用向量的数量积可得，再分离常数，进行配凑，运用基本不等式即可求得最小值.
【详解】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)．
设,则.
因为
,
当且仅当时，“＝”成立，所以的最小值为.
故
本题主要考查了平面向量的数量积和利用基本不等式求最小值，其中根据题意建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的运算公式，建立函数的解析式，利用利用基本不等式求最小值是解答本题的关键，试题综合性强，有一定难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，而积为，周长为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若，确定，则唯一确定B. 若，确定，则，唯一确定
C. 若确定，则唯一确定D. 若确定，则唯一确定
【正确答案】C
【分析】利用，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】因为，
对于选项A，若，确定，则唯一确定，所以选项A正确，
对于选项B，若，确定，由知，确定，则，唯一确定，所以选项B正确，
对于选项C，若确定，由，消得到，
又，当时，有两个值，当时，有1个值，当时，无解，所以选项C错误，
对于选项D，若确定，由知，确定，又，所以确定，故选项D正确，
故选：C.
14. 已知，，虚数是方程的根，则（ ）
A. B. C. 2D.
【正确答案】B
【分析】将虚数z代入方程，利用复数相等解方程组即可得出答案.
【详解】因为虚数（）是方程的根，
则，即，
由复数相等得出，解得或，
因为虚数中，所以，
所以.
故选：B
15. 如图、用斜二测画法作△的直观图得△，其中，是边上的中线，由图形可知，在△（是的中点）中，下列结论中正确的是（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】还原，可知且，进而通过图形可判断出结果.
【详解】由直观图画出如图所示
其中，A错误；，B错误；
，C正确，D错误
故选：C
16. 设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的图像关于直线对称
C. 在上单调递增D. 过点的直线与函数的图像必有公共点
【正确答案】D
【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.
【详解】由题意，，，而函数在处取得最大值，所以，所以，，则.
对A，因为，即，A错误；
对B，因为，所以B错误；
对C，因为，所以函数在上单调递减，所以C错误；
对D，因为的最大值为，而，所以过点的直线与函数的图象必有公共点，D正确.
故选：D.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 已知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列有，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的最大项的值.
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式可以求出an的通项公式，再结合等差数列的通项公式，通过解方程组求出bn的通项公式；
（2）利用作差比较法判断数列的单调性，再利用单调性进行求解即可.
【小问1详解】
因为数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
设等差数列bn的公差为，
因为，，
所以，
即，.
【小问2详解】
由上可知，.
所以令，
则有，
当时，，
即数列从第一项起一直增加到第10项，
当时，，
即数列从第10项开始递减，
因此为数列的最大项，，
所以数列的最大项的值为.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，．
（1）求函数的最小值；
（2）若，，，求的面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据数量积的坐标运算公式，二倍角公式，辅助角公式化简，结合正弦函数性质求其最小值；
（2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根据三角形面积公式求结论.
【小问1详解】
．
因为，所以，
所以当，即时，有最小值．
【小问2详解】
因为，所以，所以，，
因为，所以．
由正弦定理，，
所以，．
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，所以．
所以．
19. 甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多．
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由．
【正确答案】（1）；
（2）第2029年时，乙企业被甲企业收购，理由见详解
【分析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，根据前n项和与通项之间的关系求，利用累加法求；
（2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令，整理可得，分析求解即可.
【小问1详解】
设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，数列an的前n项和为，
则，
当时，则，
且不满足上式，则；
又因为当时，，
则
，
且满足上式，所以.
【小问2详解】
因为，即时不合题意；
当时，可知，
即恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购，
令，即，
显然，整理可得，
因为，则，
可知：当时，不等式不成立；
当时，，即不等式不成立；
当时，，即不等式不成立；
当时，不等式成立；
综上所述：当时，等式成立，
所以第2029年时，乙企业被甲企业收购.
20. 若函数，，，的最大值为1.
（1）求的值；
（2）若函数在内没有对称轴，求的取值范围；
（3）若函数满足恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求的最小值.
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）先化简，再求最大值，最后根据最大值为1得结果，（2）根据函数单调性列式求解，（3）根据条件解得，再根据零点确定最小值.
【详解】（1）,
因，，所以2
因为的最大值为1，所以
因为；
（2）因为函数在内没有对称轴，所以,在上单调，
所以,,，即，
因为，所以当时; 当时;
即的取值范围为
（3）因为，所以，
或
因为恒成立，所以
由得，,
又因为在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，
所以，的最小值为.
本题考查三角函数最值、对称轴、零点等性质，考查综合转化与求解能力，属较难题.
21. 定义的“倒平均数”为．已知数列前项的“倒平均数”为，记．
（1）比较与的大小；
（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．
（3）设数列满足，且，且，且是周期为3的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．
【正确答案】（1）；（2）1；（3）．
【分析】（1）根据求出，得到，进而求出，作出比较大小即可；
（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，由(1)的结果，即可求出实数；
（3）由得，分类讨论和，根据是周期为3的周期数列，即可求出数列的前项和，进而得到，即可求出结果.
【详解】（1）设数列前项和为Sn，
由题意得，所以，
当时，，
当时，，而也满足此式.
所以，因此，
所以，故；
(2) 假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
由（1）知数列是递增数列，所以只要，
即，解得或，
所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立；
(3)由得；
①若，则，，，
因为是周期为3的周期数列，
所以，即，解得，
此时，符合题意；
②若，则，，
因为是周期为3的周期数列，
所以，即，解得或，不符合题意，
设数列的前项和为，则对，有，
即，
又为前项的“倒平均数”
因此，
故.
本题主要考查数列与函数的综合以及数列的极限，熟记数列的性质等即可，属于常考题型.