第9章 轴对称、平移与旋转 单元整体教案- 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

这是一份第9章 轴对称、平移与旋转 单元整体教案- 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册，共35页。
第9章　轴对称、平移与旋转9．1　轴对称9．1.1　生活中的轴对称1．通过观察、分析现实生活实例和典型图形的过程，认识轴对称和轴对称图形．2．会找出简单的轴对称图形的对称轴，了解轴对称和轴对称图形的联系和区别．重点正确理解轴对称图形以及轴对称的概念．难点能正确区分轴对称图形和轴对称．一、创设情境，引入新课不论是在自然界还是在建筑中，不论是在艺术中还是科学中，甚至在最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见，如图．对称的形式被认为是和谐美丽的．通过观察图片．使学生能够形象直观地感受图形的对称．使学生明白对称在美学和自然界中的作用.二、探索问题，引入新知观察下面各个图形．你能发现这些图形有什么共同特征么？用自己的语言描述．你能不能在上面的每个图形中画一条线，在把这个图形沿你所画的线对折，使左右两旁的部分完全重合．结论： 如果图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形．这条直线叫做这个图形的对称轴．注意：(1)轴对称图形是一个图形；(2)对折；(3)重合．观察下面两组图形．请注意观察，当把这两个图案沿着一条直线折叠后，会发现什么样的现象？请同学再看图②，当沿着一条直线折叠后，这两个五边形会有什么现象？这就是说两个图形也可以是对称的．我们把这样的两个图形称为成轴对称．结论： 把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点．注意：(1)“轴对称”是两个图形．(2)对折．(3)重合．试一试：请同学标出第(2)个图中A，B，C三点的对称点A1，B1，C1.在图(2)中，如果把它看作两个五边形，那么它就是成轴对称的，如果我们把它看作是一个图形的两个部分，那么它就成了轴对称图形．从上图中我们可以发现，轴对称图形(或成轴对称的两个图形)沿对称轴对折后的两部分是完全重合的．结论：轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等．【例1】 如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，AB＝3 cm，EH＝4 cm.(1)试写出EF，AD的长度；(2)求∠G的度数．分析：(1)根据图形写出对应线段即可；(2)对称图形的对应角相等，据此求解；解：(1)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，AB＝3 cm，EH＝4 cm.∴EF＝AB＝3 cm，AD＝EH＝4 cm；(2)∵∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，∴∠C＝80°，∴∠G＝∠C＝80°.【例2】 如图，点P在∠AOB内，点M，N分别是P点关于OA，OB的对称点，且MN交OA，OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长.分析：根据轴对称的性质可知：EP＝EM，PF＝FN，所以线段MN的长＝△PEF的周长，再根据△PEF的周长为20，即可得出MN的长．解：∵点M是P点关于OA的对称点，∴EP＝EM，∵N是P点关于OB的对称点，∴PF＝FN，∴MN＝ME＋EF＋FN＝PE＋EF＋PF＝△PEF的周长，∵△PEF的周长为20，∴MN＝20.三、巩固练习1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是(　　)2．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，与对角线AB交与点Q，点P是直线MN上面一点，下列判断错误的是(　　)A.AQ＝BQB．AP＝BPC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠NMB3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝30°，∠C′＝60°，则∠B＝________. eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 4如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为________.5．数的计算中有一些有趣的对称形式，如：12×231＝132×21；仿照上面的形式填空，并判断等式是否成立：(1) 12×462＝______×______(________)；(2) 18×891＝______×______(________).6．如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第100页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．本节通过大量生动的生活中的实例引领学生进入图形中的对称世界，深刻体会对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．同时通过本节的学习与探索，使同学们对对称的认识由感性到理性，由浅到深，为后面抽象的对称图形的学习作好铺垫工作.9.1.2　轴对称的再认识1．掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”验证一个图形是不是轴对称图形．2．并请熟练画出轴对称图形的对称轴．3．通过动手操作探索轴对称的性质，运用轴对称性质解决实际问题．重点画轴对称图形的对称轴．难点画轴对称图形的对称轴．一、创设情境，问题引入在纸上画出线段AB和它的中点O，再过O点画与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折，观察线段OA和线段OB是否重合？二、探索问题，引入新知从上面的操作我们可以看出，线段OA和线段OB互相重合，因此，线段AB是轴对称图形．直线CD是线段AB的对称轴，它垂直于线段AB，又平分线段AB，我们把这样垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线．如上图中直线CD是线段AB的垂直平分线．线段的垂直平分线是直线．试一试：每位同学准备一张半透明的白纸，在纸上画一个角(∠AOB)，然后对折这个角，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OM.思考：从上面的实验中你能发现什么？角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线．如图所示的直线OM就是∠AOB的对称轴．有时我们感觉一个图形是轴对称的，那么如何来验证呢？这就需要我们去找到它的对称轴，看看沿着对称轴翻折以后两部分是否重合．试一试：如图，方格子内的两图形都是成轴对称的，请画出它们的对称轴． 由于图形在方格子内，我们可以凭直觉很准确地画出两个图形的对称轴，你能想想是什么原因吗？因为在方格子中我们比较容易看清楚图形的位置，也就比较容易确定图形的中间位置．如果没有方格子，而又不能折叠，你还能比较容易地画出图形的对称轴吗？请同学试试看．做一做：试着画出如下图形的对称轴．用折叠的方法可以检验自己画的对称轴是否正确．如果不能折叠又该如何判断对称轴的位置呢？做一做：如图点A和点A1关于某直线成轴对称，你能画出这条直线吗？如图，我们只要连结点A和点A1，画出线段AA1的垂直平分线MN，则直线MN就是所是点A和点A1的对称轴． 总结一下对称轴的画法．结论：1.找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点．2．画出对称点所在连线段的垂直平分线．则这条垂直平分线就是它的对称轴．通过以上的操作，我们可以有这样的结论：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．【例】 画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．　　根据上表，猜想正n边形有________条对称轴．分析：轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．解：如图，故填3，4，5，6，7，n.三、巩固练习1．下列说法错误的是(　　)A.等边三角形是轴对称图形B.轴对称图形的对应边相等，对应角相等C.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分2．设A，B两点关于直线MN轴对称，则________垂直平分________.3．下列图形中，哪些是图形的对称轴，哪些不是图形的对称轴？4．找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第110页“习题10.1”中第3，4，5 题．2．完成练习册中本课时练习．本节课应采用小组学习模式，在小组讨论之前，应该留给学生充分独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性．根据不同学生的不同特点应注意适当增减内容以保证课堂教学的顺利完成．9．1.3　作轴对称图形1．使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．2．通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感，培养审美情操．重点让学生识别轴对称图形与画轴对称图形的对称轴.难点画轴对称图形．一、创设情境，问题引入1．如图，作出它们的对称轴．2．如图，给出一个图形和一条直线，那么如何画出这个图形关于这条直线的对称图形呢？ 二、探索问题，引入新知如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形．思考下面两个问题：(1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确．(2)和其他同学比较一下，你的方法是最简单吗？在格点图中，很容易画出已知图形的轴对称图形，如果没有格点图，我们还能比较准确地画出已知图形的轴对称图形吗？你能画出点A关于直线L的对称点吗？画法：(1)过点A向直线L画垂线段AO，垂足点O；(2)延长AO至OA1，使OA1＝OA.则点A1就是点A关于直线L的对称点．做一做：你能画出线段AB关于直线L的对称线段吗？画法：(1)画点A，点B关于直线L的对称点A1，B1；(2)连结A1 ，B1.则线段A1 B1就是线段AB关于直线L的对称线段．做一做：你能画出三角形ABC关于直线L的对称图形吗？画法：(1)画出点A，点B和点C关于直线L的对称点A1，B1和C1；(2)连结A1 B1，B1 C1，A1 C1，则△A1 B1 C1就是△ABC关于直线L的对称三角形．从上面的例子可以知道，如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么只要画出图形中的特殊点的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．结论：先画点的对称点，再画线段的对称图形，最后画三角形的对称图形．由易到难，这样学生就很容易的知道了知识的形成过程．【例1】 如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1.分析：画出图形中的特殊点的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．解：如图所示，△A1B1C1即为所求【例2】 如图，请把△ABC和△A′B′C′图形补充完整，使得它们关于直线l对称．(保留作图痕迹)分析：过点C，点B′作关于直线l的对称点，连结AB，BC，B′C及A′C′即可．解：如图所示：三、巩固练习1．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是(　　)2．下列各图都是一个汉字的一半，你能想像出它的另一半并能确定它是什么字吗？(有几个字的笔划在对称轴上).3．如图，先画△ABC关于直线l1的对称△A1B1C1，(直线l1过点C)，再画出△A1B1C1，关于直线l2的对称△A2B2C2.4．如图，在网格中有两个大小、形状一样的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图中画出两种不同的拼法．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第110页“习题10.1”中第6 题．2．完成练习册中本课时练习．学生是学习的主体，要让学生成为真正的主人，就必须在数学活动中学习数学，也就是在创造中学习数学．本课从最基本的图形中，让学生自己动手画，体验探索成功的快乐；通过动手操作，小组讨论来解决自己提出的问题；通过有层次的练习，提高学生解决问题的能力，巩固所学知识．9．1.4　设计轴对称图案会设计简单的轴对称图案．重点能灵活运用轴对称进行简单的图案设计．难点能灵活运用轴对称进行简单的图案设计．一、创设情境，问题引入随着人们生活水平的不断提高，各种小汽车已经走进我们的家庭．道路交通也越来越堵塞，我们必须遵守交通规则，安全出行．下面是一些交通标志牌，仔细观察这些图案，发现其中有很多轴对称图形．生活中还有很多复杂的轴对称图形，那么我们如何设计轴对称图案呢？二、探索问题，引入新知如图，是一个轴对称图形．(1)有多少条对称轴呢？(2)可以利用轴对称性来画出它吗？准备一张正方形纸片，按以下五个步骤一起来画：(1)在正方形纸片上用虚线画出四条对称轴．(2)如图，在其中一个三角形中，画出图形形状的基本线条(可以自己设计线条).(3)按照其中一条斜的对称轴画出(2)中图形的对称图形．(4)按照其中一条斜的对称轴画出(3)中图形的对称图形．(5)按照水平(或垂直)对称轴画出(4)中图形的对称图形．画好后可以涂上自己喜欢的颜色，擦掉其它多余的线条，一幅对称的图案就完成了(如下图).【例】 把如图(实线部分)补成以虚线m为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．(不用写作法，保留作图痕迹).分析：作A，B，C，D关于直线m的对称点A′，B′，C′，D′即可解决问题．解：作A，B，C，D关于直线m的对称点A′，B′，C′，D′，图案如图所示．三、巩固练习1．长城是我国古代劳动人民创造的伟大奇迹，是中国悠久历史的见证，是中华民族的象征，被列为世界文化遗产．下列以长城为背景的标志设计中，不是轴对称图形的是(　　)2．如图，由4个小正方形组成的田字格，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出与△ABC成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有________个．3．如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．4．观察设计．(1)观察如图的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；(2)借助如图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答(1)中所写出的两个共同特征．(注意：新图案与如图的①～④的图案不能重合)四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第109页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．课前让学生充分收集生活中的利用轴对称设计的图案，使学生感受到轴对称在生活中的广泛存在和丰富的文化价值．课堂上各个环节为学生展示自己聪明才智提供机会，并在此过程中让学生去发现问题、分析问题、解决问题形成独到见解．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．9.2　平移9．2.1　图形的平移1．通过具体实例认识图形的平移变换，探索它的基本性质．2．能按要求画出简单的平面图形平移后的图形．3．培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.重点认识图形的平移变换．难点掌握两次连续平移的方法，正确判断平移的距离.一、创设情境，引入新课日常生活中经常可以看到的一些如图所示的现象：如滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔，火车在笔直的铁轨上飞驰而过等等．我们还可以看到如图所示的一幅幅美丽的图案，它们可以看成是由某一基本图形沿着一定的方向移动而产生的结果．二、探索问题，引入新知平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移．它由移动的方向和距离所决定．如图，当我们用直尺和三角板画平行线时，△ABC沿直尺PQ平移到△A′B′C′时，就可以画出AB的平行线A′B′了．我们把点A与A′叫作对应点，线段AB与A′B′叫作对应线段，∠A与∠A′叫作对应角．此时：(1)点B的对应点是________；(2)点C的对应点是________；(3)线段AC的对应边是________；(4)线段BC的对应边是________；(5)∠B的对应角是________.【例】 如图，四边形ABCD(图1)与四边形EFGH(图2)的形状、大小完全相同．(1)若图1经过一次平移后得到图2，请指出平移的方向和距离；(2)若图1经过一次轴对称后得到图2，请分别指出点A，B，C，D的对应点．分析：通过测量可知平移的距离；轴对称是沿着对称轴翻折后能够重合的位置关系，对应找到对应点即可．解：(1)图1向右平移5 cm即可得到图2；(2)A，B，C，D的对应点分别是G，F，E，H.　　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是(　　)2在以下现象中，①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移的是(　　)A.①，② B．①， ③ C．②，③ D．②，④3．如图所示的△ABC和△DEF中，一个三角形经过平移后成为另一个三角形，指出点A，B，C的对应点，并指出线段AB，BC，CA的对应线段，∠A，∠B，∠C的对应角．4．如图，△A′B′C′是由△ABC平移得到的，写出图中的对应角、对应线段、对应点．四、小结与作业小结组织学生总结这节课所学的内容，并作适当的补充．作业1．教材第113页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．本节课首先，通过创设大量的生活情境让学生形成直观上的初步认识．然后，让学生通过演示，使平移运动生动、形象地展现在学生面前，给学生更多的空间和机会．将静态的教学内容，设计成动态的过程，将传统的教学方法演变得更加生动有趣．引导学生在丰富、有趣的数学活动中，积极思考、充分探究、获取知识、发展能力．加深了学生对概念的理解，起到突破难点的作用．9．2.2　平移的特征1．能根据所给条件作简单的平面图形平移后图形．2理解平移时对应点所连线段平行(有时在同一条直线上)且相等，对应线段平行(有时在同一条直线上)且相等以及对应角相等的理论．重点平移的特征和平移的基本性质．难点准确理解平移的特征和平移的基本性质．一、创设情境，问题引入上一节课我们学习了图形的平移，那么平移后的图形与原来的图形的形状、大小有没有发生变化？ 每对对应线段有怎样的位置关系和数量关系？ 每对对应角之间又有怎样的关系？二、探索问题，引入新知如图△A′B′C′是由△ABC平移得到的．我们知道A′B′∥AB，A′B′＝AB，∠B′＝∠B，同时也有A′C′∥ ________，A′C′＝________， ∠C′＝________.结论： 平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等(也可能在同一条直线上)，对应角相等，图形的形状和大小不变．探索：△ABC沿着PQ的方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现有哪些线段平行且相等？我们可以看到，△ABC上的每一点都作了相同的平移：A→A′，B→B′，C→C′.不难发现，AA′∥________∥________；AA′＝________＝________.结论： 平移后对应点所连的线段平行并且相等．注意：若把△ABC沿着BC的方向平移到△A′B′C′的位置，在平移过程中，同学们发现了不同于所概括规律的特征吗？结论：在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上．试一试：将图中的△A′B′C′沿着RS的方向平移到△A″B″C″的位置，其平移的距离为线段RS的长度．【例1】 现要把方格纸上的小船沿图中箭头方向平移8个单位，请你在方格纸上画出小船的平移后图形．分析：分别作出△MNE和梯形ABCD向右平移8个单位的对应位置即可．解：如图所示：【例2】 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．(1)将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′；(2)若连结AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是________；(3)在图中画出△ABC的高CD.分析：(1)根据平移前后对应点连线互相平行且相等，即可找到A′，C′的位置，从而补全△A′B′C′；(2)根据平移的性质即可作出判断；(3)利用格点图形作出即可．解：(1)如图所示：(2)平行且相等；(3)如图所示：三、巩固练习1．如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　2．下面的四个图形中，能够通过基本图形平移得到的图形有(　　)A.1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在5×5的方格纸中，将如图①的三角形甲平移到如图②所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形．正确的平移方法，可以先将甲向下平移3格，再向________平移________格得到．4．如图，网格中的小正方形都是边长为1个单位长度的小正方形．(1)请画出将△ABC向右平移7个单位长度后的对应△DEF；(2)写出平行的线段；(3)写出相等的角．5．按要求画图：将下图中的阴影部分向右平移6个单位，再向下平移4个单位．6．如图，在方格中平移三角形ABC，使点A移动到点M，点B，C应移动到什么位置？再将A由点M移动到点N？分别画出两次平移后的三角形．如果直接把三角形ABC平移，使A点移到点N，它和前面先移到M后移到N的位置相同吗？四、小结与作业小结通过本节课，你学习了哪些知识？你掌握了哪些学习方法？作业1．教材第117页“习题10.2”中第1，2，3 题．2．完成练习册中本课时练习．该节课要注意关注学困生的学习状态，利用大量的动画展示平移的特征，其目的之一是加强直观性，目的之二是吸引学生的注意力，增强学习的效果．从上课的情况来看，收到了不错的效果，当然，对于学困生来说，在观察引导后，还需多加辅导，特别是画平移的图形．9．3　旋转9．3.1　图形的旋转1．通过具体实例认识旋转．2．了解旋转的定义，能说出旋转中心、旋转角．重点旋转的有关概念．难点会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角．一、创设情境，问题引入在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多物体的旋转现象，如图中的时钟，风车等等．思考：(1)图中，哪些零部件作转动？(2)在这些转动中有哪些共同特征？(3)钟上的秒针在不停地转动中，其形状、大小、位置是否发生改变？大风车在转动中其形状、大小、位置是否发生改变？这就是今天我们所研究的课题“图形的旋转”．二、探索问题，引入新知观察教材第118页图10.3.2，我们可以把它们看成：由一个或几个平面图形，在它所在的平面上转动而产生奇妙画面．这些图形有什么共同点呢？如图是单摆上小球的转动情形．(1)单摆上小球的转动由位置P转到P′，它是绕着哪一点？沿着什么方向？转动了多少角度？(2)单摆上小球转到P与P′中间时，它绕着的点、沿着的方向有没有变化？转动的角度有没有变化？结论： 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．试一试：任意画一个△ABC，把透明纸覆盖在△ABC上，并在透明纸上画出一个与△ABC重合的三角形．用一枚图钉将点A处固定．将透明纸绕着图钉(即点A)转动45°，透明纸上的三角形就旋转了新的位置，标上A′，B′，C′.我们可以认为△ABC绕着A点旋转45°后到△AB′C′.在这样的旋转中，你发现了什么？(1)B点旋转到哪一点？(点B′)(2)C点旋转到哪一点？(点C′)(3)∠BAC旋转到哪里？(∠B′AC′)(4)线段AB旋转到哪里？(线段AB′)(5)线段AC旋转到哪里？(线段AC′)(6)线段BC旋转到哪里？(线段B′C′)(7)∠B旋转到哪里？(∠B′)(8)∠C旋转到哪里？(∠C′)(9)它的旋转中心是什么？(点A)(10)它的旋转的角度是多少？(45°) 在旋转的过程中，(1)点B与点B′，点C和点C′是对应点；(2)线段AB与线段AB′，线段AC与线段AC′，线段BC与线段B′C′是对应线段；(3)∠BAC和∠B′AC′，∠B与B′，∠C与∠C′是对应角．想一想：△ABC的边AB的中点D的对应点在哪里？根据旋转的原理：图形上每一个点都绕着旋转中心，按同一方向，旋转同一角度而得到的，所以AB的中点D的对应点也应在它的对应线段AB′的中点位置．做一做：如果△ABC的外面一点O作为旋转中心，把△ABC绕着点O按逆时针方向旋转60°，将△ABC旋转到△A′B′C′位置，你会做吗？在学生动手操作下，不会的同学也可以互相交流．观察下图，回答问题．△ABC和△A′B′C′的顶点、边、角是如何对应的呢？(1)点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′是对应点．(2)线段AB与线段A′B′，线段BC与线段B′C′，线段AC与线段A′C′是对应线段(即对应边).(3)∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′是对应角. 【例1】 如图，△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C，问：(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转角是什么？(3)如果点M是BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？分析：根据旋转的性质和题意容易得出结果．解：(1)旋转中心是点C；(2)旋转角是∠ACA′或∠BCB′；(3)B′C的中点．【例2】 如图，△ABC的∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，△AEC按顺时针方向转动一个角后得到△AFB.(1)图中哪一点是旋转中心？(2)旋转了多少度？(3)指出图中的对应点、对应线段和对应角．分析：利用旋转的定义找旋转中心，旋转角及对应点、对应线段和对应角．解：(1)点A　(2)90°　(3)A的对应点是A，E的对应点为F，C的对应点是B，AC的对应线段AB，AE的对应线段是AF，EC的对应线段是FB，∠1的对应角为∠2，∠3的对应角为∠F，∠C的对应角为∠4.　　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其中，属于旋转的是(　　)A.①② B．②③ C．①④ D．③④2．如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案应该是(　　)3．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？(2)经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？4．如图所示，△DBE是等边△ABC绕着B点按逆时针方向旋转30°得到的，按图回答：(1)A，B，C的对应点是什么？(2)线段AB，AC，BC的对应线段是什么？(3) ∠A，∠C和∠ABC的对应角是什么？四、小结与作业小结本节课你学会了什么？还有哪些问题和不足之处？作业1．教材第121页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．课堂教学是一个动态过程，学生的思维又常常受到课堂气氛或突发事件的影响，为了达到最佳的教学效果，教师一方面采取多媒体辅助教学，旨在呈现更直观的印象，提高学生的积极性和主动性，并提高课堂效率．另一方面采取“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的学习模式展开，引导学生自己提出问题、解决问题、拓展问题，指导学生用观察、抽象、自主探究为主，合作交流为辅的方法进行学习．9.3.2　旋转的特征1．通过具体实例认识旋转．2．理解旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质．3．能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形.重点图形的旋转的基本性质及其应用．难点图形的旋转的基本性质及其应用．一、创设情境，问题引入 复习上节课的内容，什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？什么叫旋转的对应点？二、探索问题，引入新知如图，若旋转中心在△ABO的外面点O处，逆时针转动45°，将整个△ABO旋转到△A′B′O′的位置.观察上图，旋转中心是点O，点A，B都是绕着点O旋转45°角到对应点A′，B′，则OA＝______，OB＝________，AB＝________，∠AOB＝________，∠A＝________，∠B＝________.∠AOA′＝________＝45°.△ABO和△A′B′O′的形状、大小有何变化？你发现了什么？如图，若旋转中心在△ABC的外面点O处，逆时针转动60°，将整个△ABC旋转到△A′B′C′的位置．观察上图，旋转中心是点O，点A，B，C都是绕着点O旋转60°角到对应点A′，B′，C′，则OA＝________，OB＝________，OC＝________，AB＝________，BC＝______，CA＝______，∠CAB＝______，∠ABC＝________，∠BCA＝________.∠AOA′＝________＝________＝60°.△ABC和△A′B′C′的形状、大小有何变化？你发现了什么？结论：图中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样的角度；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段长度相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等；图形的形状与大小不变．【例1】 如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4 cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；(2)求出∠BAE的度数和AE的长．分析：(1)先利用三角形内角和计算出∠BAC＝140°，然后根据旋转的定义求解；(2)根据旋转的性质得∠EAD＝∠BAC＝140°，AE＝AC，AD＝AB＝4，则可利用周角定义可计算出∠BAE＝80°，然后计算出AC，从而得到AE的长．解：(1)∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝180°－15°－25°＝140°，即∠BAD＝140°，所以旋转中心为点A，旋转的度数为360°－140°＝220°；(2)∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，∴∠EAD＝∠BAC＝140°，AE＝AC，AD＝AB＝4，∴∠BAE＝360°－140°－140°＝80°，∵点C恰好成为AD的中点，∴AC＝ eq \f(1,2) AD＝2，∴AE＝2.点评：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形的形状与大小不变．【例2】 如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE(点A对应点为D)，线段AC交线段DE于点F，求∠EFC的度数．分析：由旋转性质可得∠A＝∠D，根据∠1＝∠2可得∠EFC＝∠DFA＝∠ABD＝60°.解：如图，∵△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，∴∠A＝∠D，又∵∠1＝∠2，∴∠DFA＝∠ABD＝60°，∴∠EFC＝∠DFA＝60°.点评：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形的形状与大小不变是解题的关键．　　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．在图形旋转中，下列说法错误的是(　　)A.图形上的每一点到旋转中心的距离相等B.图形上的每一点转动的角度相同C.图形上可能存在不动点D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等2．△ABC绕点A按顺时针方向旋转了60°得△AEF，则下列结论错误的是(　　)A.∠BAE＝60° B．AC＝AFC.EF＝BC D．∠BAF＝60°3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是________.4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C′，且点A在A′B′上，则旋转角为________.5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得△DEC，若BC∥DE，求∠B的度数．四、小结与作业小结引导学生从以下几个方面进行小结：(1)这节课你学到了什么？(2)对自己的学习情况进行评价．作业1．教材第122页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．在教学的全过程中，教师始终以提问、指导学生操作等方式引导学生发现规律；所有的特征都是通过让学生回顾自己的操作过程和观察自己的画图作品，体会、归纳得出．这样可以有效地培养学生的合作交流、独立思考问题、解决问题的能力. 在练习的设计上，遵循由浅入深的原则，循序渐进地让学生逐步熟练应用旋转特征，解决生活上的实际问题，从而体现数学的价值；同时，不同难度的习题可以满足不同层次学生的需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．9．3.3　旋转对称图形1．理解旋转对称图形和旋转对称的特征．2．通过探究图形之间的变换关系的过程，发展图形的分析能力，提高“化归”意识和综合运用变换解决实际问题的能力．重点认识旋转对称图形．难点合理运用变换解决有关问题．一、创设情境，问题引入在日常生活中，一些图形绕着某一定点转动一定的角度后能与自身重合．电扇的叶片转动120°能与自身重合；螺旋桨转动180°后，能与自身重合．你能再举出一些这样的实例吗？二、探索问题，引入新知试一试：用一张半透明的薄纸，覆盖在如图所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图所示的图形重合．然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度(小于周角)后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合．由上述操作可知，该图形绕圆心旋转60°后，能与自身重合，而且绕圆心旋转120°或180°后，都能与自身重合．结论：像这样图形围绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形．注意：这个旋转的角度并不是唯一的．用类似上述的操作方法对如图所示的图形进行旋转，它们是不是旋转对称图形？想一想：旋转中心在何处？该图形需要旋转多少度后，能与自身重合？该图形是轴对称图形吗？你能设计一个旋转30°后能与自身重合的图形吗？【例】 如图，下列各图形是否是旋转对称图形？若是， 则各绕哪一点最少要旋转多少度后，能与它自身重合？解：(1)是旋转对称图形，圆心，180°；(2)不是旋转对称图形；(3)是旋转对称图形，圆心，60°；(4)是旋转对称图形，正方形对角线的交点，90°.　　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．下列图形中，旋转对称图形有(　　)A.1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是(　　)A.150° B．120° C．90° D．60° eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 3．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为(　　)A.45 B．60 C．72 D．1444．如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合？四、小结与作业小结通过本节课的学习，你学会了什么？作业1．教材第124页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．本节课通过观察图形，分析图形，使学生掌握什么样的图形是旋转对称图形，会分析一个图形绕某个点旋转多少度后能够与原图形重合．从练习上可以看出学生掌握得较好．9.4　中心对称1．了解中心对称、对称中心和对称点的概念．2．理解中心对称的性质．3．掌握运用中心对称的性质作图的方法．重点1．中心对称的概念．2．中心对称的性质，利用中心对称的性质进行作图．难点中心对称与轴对称的区别与联系．一、创设情境，问题引入观察下列图形，哪些是轴对称图形？哪些是旋转对称图形？二、探索问题，引入新知上面的第一个图形，我们把这个图形绕着中心旋转180°后，仔细观察旋转后的图形与原图形有什么关系？我们发现旋转180°后能与原图形重合．结论：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，图中有哪些线段相等？由图形及旋转的性质可以得到：AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O.结论：在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分；反过来，如果两个图形的所有对应点连线都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称．中心对称与轴对称的联系与区别：　　【例1】 如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕点O旋转180°，因此，我们连AO，BO，CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．解：(1)连结AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.(3)顺次连结DE，EF，FD，则△DEF即为所求的三角形．【例2】 如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：(1)在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形(不能是中心对称图形)；(2)在图案②中添画1个正方形，使它成中心对称图形(不能是轴对称图形)；(3)在图案中改变1个正方形的位置，画成图案③，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．分析：(1)根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；(2)先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图；(3)根据中心对称和轴对称的性质画一个图形．注意此题有多种画法，答案不唯一．解：如图所示．(1)如图①，图②，图③所示；(2)如图④所示；(3)如图⑤，图⑥所示．三、巩固练习　　　　　　　　　　　　　　　　1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)2．下列说法中错误的是(　　)A．成中心对称的两个图形全等B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合3．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是(　　)A．AO＝BOB．BO＝EOC．点A关于点O的对称点是点DD．点D 在BO的延长线上4．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(　　)A．O1 B．O2 C．O3 D．O45．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∠ABC＝45°，∠B′C′A′＝80°，∠BAC＝________°.6．如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．(1)在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第132页“习题10.4”中第3，4 题．2．完成练习册中本课时练习．本节课还有许多可探讨之处，而且不少学生并没有真正理解．课堂上有一段时间，学生好像成了配合教师上课的配角，没有给足学生应有的思考空间，失去了学生的主体作用．教学过程中学生只是被动的回答问题，很少主动的提出问题；特别是教师一对多的问答，其实一问一答的机械形式，是一种无实质性交往的“假”对话，是一种变相的灌输式教学，后果是：看着热闹，实则沉闷．人的好奇心是天生的，初中学生的认知特点决定了他们拥有探求新异事物的本能需要．9.5　图形的全等1．借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程．2．了解图形全等的意义．3．了解图形全等的特征．重点全等图形的意义及特征．难点识别全等图形．一、创设情境，问题引入观察下面的图片，它们有什么特点？二、探索问题，引入新知我们已经认识了图形的轴对称、平移、旋转，这是图形的三种基本变换．它们的位置发生了变化，但它们的大小、形状没变．要想知道两个图形的大小、形状是否发生了变化，我们可以经过这三种变换，把它们重合在一起，观察它们是否完全重合．如果能够完全重合，那么它们的大小、形状没变．结论： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形．试一试：观察图中的平面图形，你能发现哪两个图形是全等图形吗？结论：图形的翻折、旋转、平移是图形的三种基本的运动. 图形经过这样的运动，位置虽然发生了变化，但形状、大小却没有改变，前后两个图形是全等的．反过来，两个全等的图形经过这样的运动一定能够重合．思考：观察下图中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的运动和另一个图形重合？上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．如下图中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′.(这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”．).点A与A′，B与B′，C与C′，D与D′，E与E′分别是对应顶点． 结论：全等多边形的对应边、对应角分别相等．这就是全等多边形的特征．实际上这也是我们识别全等多边形的方法，即边、角分别对应相等的两个多边形全等．三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等．同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等．如下图所示，△ABC≌△DEF.【例1】 图中所示的是两个全等的五边形，∠β＝115°，d＝5，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．分析：根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角可得对应顶点，对应边与对应角，进而可得a，b，c，e，α各字母所表示的值．解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H；对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；∵两个五边形全等，∴a＝12，c＝8，b＝10，e＝11，α＝90°.【例2】 将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF.(1)若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度数；(2)若BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm，求△ABC平移的距离．分析：(1)根据平移的性质求出∠2＝∠F，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；(2)先求出BE，再根据平移的性质可得BE即为平移距离.解：(1)由图形平移的特征可知△ABC和△DEF的形状与大小相同，即△ABC≌△DEF，∴∠2＝∠F＝26°，∵∠B＝74°，∴∠A＝180°－(∠2＋∠B)＝180°－(26°＋74°)＝80°；(2)∵BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm，∴BE＝BC－EC＝4.5－3.5＝1 cm，∴△ABC平移的距离为1 cm.　　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．下列各组的两个图形属于全等图形的是 (　　)2．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是(　　)A．BE＝EC B．BC＝EFC．AC＝DF D．△ABC≌△DEF4．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′＝________°，∠A＝________°，B′C′＝________，AD＝________.5．如图，△ABC≌△ADE，其中点B与点D，点C与点E对应．(1)写出对应边和对应角．(2)∠BAD与∠CAE相等吗？说明理由．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第136页“习题10.5”中第1，2，3题．2．完成练习册中本课时练习．通过这节课的教学实践，使教师认识到．教学必须紧密联系学生的生活和实际，使学生对所学的内容兴趣盎然，乐于探究．教师最精彩的表现应该是高明的引导者、组织者、合作者，而不是舞台的主人——演员．全面的培养学生的创新意识与实践能力.正多边形的边数34567…对称轴的条数…中心对称轴对称1有一个对称中心——点有一条对称轴——直线2图形绕中心旋转180°图形沿轴对折，即翻折180°3旋转后与另一个图形重合折叠后与另一个图形重合4平面内旋转变化空间内旋转变化…