第6章 一次方程组 单元整体教案- 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

这是一份第6章 一次方程组 单元整体教案- 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册，共18页。
第6章　一次方程组6．1　二元一次方程组和它的解1．理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义．2．会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解．3．能根据问题情境列二元一次方程组．重点二元一次方程组和它的解的概念．难点二元一次方程组的解的概念．一、创设情境，问题引入暑假里， 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛9场， 得17分. 比赛规定胜一场得3分， 平一场得1分， 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负了2场， 那么这个队胜了几场？ 又平了几场呢？二、探索问题，引入新知1．能否用我们已经学过的知识来解决这个问题？可以用一元一次方程来求解. 设勇士队胜了x场， 因为它共赛了9场， 并且负了2场， 所以它平了(9－x－2) 场. 根据得分规则和它的得分， 我们可以列出一元一次方程：3x＋(9－x－2)＝17. 解这个方程可得x＝5.所以勇士队胜了5场， 平了2场．2．由上面解答可知， 这个问题可以用一元一次方程来求解， 而我们很自然地会提出这样一个问题： 既然要求胜的场数和负的场数，而这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢？师生共同探讨： 不妨就设勇士队胜了x场， 负了y场．在下表的空格中填入数字或式子．　　根据填表的结果可知：x＋y＝7　　　①3x＋y＝17 ②观察这两个式子，和我们以前所学的一元一次方程有什么不同？它们有什么共同点？引导学生观察方程①，②的特点， 并与一元一次方程作比较， 可知： 这两个方程都含有两个未知数， 并且未知数的次数都是1.结论： 含有两个未知数， 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程．把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起， 就组成了一个二元一次方程组．3．什么是方程的解？答： 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．由算术法我们已得到答案， 勇士队胜了5场， 平了2场， 即x＝5，y＝2.x＝5与y＝2既满足方程①， 又满足方程②， 我们就说x＝5与y＝2是二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，,3x＋y＝17)) 的解， 并记作 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2)) .结论： 一般地， 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程组的解．注意： (1) 未知数的值必须同时满足两个方程时， 才是方程组的解. 若取x＝4, y＝3时， 它们能满足方程①， 但不满足方程②， 所以它们不是方程组的解．(2) 二元一次方程组的解是一对数， 而不是一个数， 所以必须把x＝5与y＝2合起来， 才是方程组的解．【例1】 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？(只要求列出二元一次方程组)分析：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组．解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝140，,（25－10）x＋（20－8）y＝1860.)) 点评：当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．【例2】 某校现有校舍20000 m2, 计划拆除部分旧校舍， 改建新校舍， 使校舍总面积增加30%，同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍. 若设应拆除旧校舍x m2 , 建造新校舍y m2, 请你根据题意列一个方程组．分析：由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍， 我们马上可得出方程y＝4x.拆除部分旧校舍， 改建新校舍后，校舍总面积增加30%, 其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值， 所以我们可列出另一方程y－x＝20000×30%.解：设应拆除旧校舍x m2 , 建造新校舍y m2，根据题意列出方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝20000×30%，,y＝4x.)) 　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　)A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝2))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,y＋z＝8)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＝2,y＝1))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0,x＋y＝3)) 2．解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2)) 的方程组是(　　)A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－1,3x＋y＝5))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝1,3x＋y＝－5)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3,3x－y＝1))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝3,3x＋y＝5)) 3．关于m，n的两个方程2m－n＝3与3m＋2n＝1的公共解是(　　)A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0,n＝－3))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝－1)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0,n＝\f(1,2)))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),n＝－2)) 4．由x＋2y＝4，得到用y表示x的式子为x＝________；得到用x表示y的式子为y＝________.5．若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2)) 是方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝m，,2x－y＝n)) 的解，则m－n＝________.6．已知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3)) 是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组．7．根据题意列出方程组：(1)将含铁72%和含铁58%的两种矿石，混合后配成含铁64%的矿石70吨，若设需含铁72%的矿石x吨，含铁58%的矿石y吨，列出方程组．(2)某人从学校出发骑自行车去县城，中途因为道路施工步行一段路，1.5小时后到达县城．他骑车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全长20千米，他骑车与步行各用多少时间？(3)某企业去年国内、国外销售共1000万元，因金融风暴，今年比去年降低10%，其国内销售收入下降了5%，国外销售收入下降了15%，求该企业去年国内、国外各销售多少万元？四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．作业1．教材第26页“习题7.1”中第1，2 题．2．完成练习册中本课时练习．本节从学生感兴趣的问题入手，意在让学生经历一个实际背景，激发学生自觉探究数学问题，体验发现问题的乐趣．学生通过自己去分析、探索、认识二元一次方程组，初步体会用二元一次方程组来刻画实际问题中的数量关系．在本节课的学习中让学生运用自主学习、观察猜想、合作交流、抽象概括、总结归纳等方法．学生的角色从学会转变为会学，本节课，学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是与老师一起站在探究者的角度深入其境，体验探究的氛围与真谛．6．2　二元一次方程组的解法第1课时　用代入消元法解二次元一次方程组1．会用代入消元法解简单的二元一次方程组．2．通过探索代入消元法解二元一次方程的过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法．重点用代入消元法解二元一次方程组．难点探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元”思想．一、创设情境、复习引入1．复习提问： 什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解？2．回顾上节课中的问题：设应拆除旧校舍x m2 , 建造新校舍y m2, 那么根据题意可列出方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝20000×30%　①,y＝4x ②)) 问：怎样求出这个二元一次方程组的解？二、探索问题，引入新知我们知道此题可以用一元一次方程来求解， 即设应拆除旧校舍x m2, 则建造新校舍4x m2, 根据题意可得到4x－x＝20000×30%. 对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的. 那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程， 我们的问题不就可以解决了吗？ 可是如何来转化呢？引导学生观察方程组和相应的一元一次方程间的联系．在方程组中的方程②y＝4x, 把它代入方程①中y的位置， 我们就可以得到一元一次方程4x－x＝20000×30%.通过“代入”， 我们消去了未知数y，得到了一元一次方程， 这样就可以求解了．解方程得：x＝2000, 把x＝2000代入②得y＝8000. 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2000，,y＝8000.)) 答：应拆除旧校舍2000 m2 , 建造新校舍8000 m2.【归纳结论】 由上面解法可看出， 我们是通过“代入”消去一个未知数， 方程转化为一元一次方程来解的. 这种解法叫做代入消元法， 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”．【例】 用代入消元法解方程组．(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1　①，,3x＋2y＝8　②；)) 分析：方程组利用代入消元法求出解即可．解：把①代入②得：3x＋2(x－1)＝8，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1)) (2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3　①，,3x－8y＝14　②.)) 分析：与(1)方程组不同， 这里的两个方程中， 没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式， 这时怎么办呢？可以将方程①变形成为用y来表示x的形式， 即x＝3＋y, 然后再将它代入方程②， 就能消去x, 得到一个关于y的一元一次方程．解：由①得：x＝3＋y③，把③代入②得：3(3＋y)－8y＝14，所以y＝－1.把y＝－1代入③得：x＝2，∴原方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1)) (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－7y＝8　①，,3x－8y－10＝0　②)) 分析：观察分析此方程组与2题中的方程组在形式上的差别. 易知2题的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程， 而此方程组中两个方程未知数的系数都不是1, 这时怎么办呢？ 能不能将其中一个方程适当变形， 用一个未知数来表示另一个未知数？显然， 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法， 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数， 使这个未知数的系数化1, 化成1题的形式；另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边， 其他各项移到另一边，再把这个未知数的系数化1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的．显然第二种方法更为直接， 因而考虑方程中各项的系数， 选择一个系数比较简单的方程. 易见方程①中x的系数比较简单， 所以将方程①中的x用y来表示．解：由①，得 x＝4＋ eq \f(7,2) y③.将③代入②， 得：3(4＋ eq \f(7,2) y)－8y－10＝0, 解得y＝－0.8.将y＝－0.8代入③， 得 x＝1.2，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1.2，,y＝－0.8.)) 【归纳结论】 代入法解二元一次方程组的方法：1．将方程组中的一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示．2．把得到的式子代入另一个方程，得到一元一次方程，并求解． 3.把求得的解代入方程，求另一未知数的解．　　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－m，,y＝1＋2m，)) 则y用只含x的代数式表示为(　　)A.y＝2x＋7 B．y＝7－2xC.y＝－2x－5 D．y＝2x－52．用代入法解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,3x－2y＝1)) 时，下列代入变形正确的是(　　)A.3x－4x－1＝1 B．3x－4x＋1＝1C.3x－4x－2＝－1 D．3x－4x＋2＝13．用代入法解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝8，,3x－5y＝5)) 有以下过程：(1)由①得x＝ eq \f(8－3y,2) 　③；(2)把③代入②得3× eq \f(8－3y,2) －5y＝5；(3)去分母得24－9y－10y＝5；(4)解之得y＝1，再由③得x＝2.5，其中错误的一步是(　　)A.(1) B．(2) C．(3) D．(4)4．把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式：(1) 3x＋4y－1＝0; (2)5x－2y＋9＝0.5．解下列方程组．(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,3x＋y＝15；))  (2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，,x－3y＝－2；)) (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4y＝6，,3x＋2y＝17；)) (4) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2（x＋2y）＝3，,11x＋4（x＋2y）＝45.)) 6．在解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝16　①，,bx＋ay＝19　②)) 时，小明把方程①抄错了，从而得到错解 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝7，)) 而小亮却把方程②抄错了，得到错解 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝4，)) 你能求出正确答案吗？原方程组到底是怎样的？四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．作业1．教材第30页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．本课按照“身边的数学问题引入——寻求一元一次方程的解法——探索二元一次方程组的代入消元法——典型例题——归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计．在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学．教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入(消元)解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的．第2课时　用加减消元法解二元一次方程组1．会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路．通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解； 2．会用加减法解简单的二元一次方程组．重点学会用加减法解简单的二元一次方程组．难点准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组．一、创设情境、复习引入用代入法解下面这个程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝5　①，,3x－4y＝23　②，)) 说说用代入法解方程组的关键是什么？你还能用别的方法解这个方程组吗？二、探索问题，引入新知观察方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝5　①，,3x－4y＝23　②)) (1)未知数x的系数有什么特点？(2)怎么样才能把这个未知数x消去？这样做的依据是什么？(3)把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减．你得到了什么结果？9y＝－18，(消去了未知数x，达到了消元的目的)，y＝－2.把y＝－2代入①，得3x＋5×(－2)＝5，x＝5.所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－2.)) 从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减消元法，简称加减法．【例1】 解方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋7y＝9　①，,4x－7y＝5　②)) 分析：看一看y的系数有什么特点？想一想先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？解：①＋②得，7x＝14，x＝2.把x＝2代入①得，6＋7y＝9，7y＝3，y＝ eq \f(3,7) .所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(3,7)．)) 讨论：用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法、什么条件下用减法？当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的．【例2】 解方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝10　①，,5x＋6y＝42　②)) 分析：能直接相加减消掉一个未知数吗？如何把同一未知数的系数变成一样呢？解：方法一：利用加减消元法消去未知数y.①×3，②×2得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9x－12y＝30　③，,10x＋12y＝84　④)) ③＋④得，19x＝114，x＝6.把x＝6代入②得，30＋6y＝42，y＝2.所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝2.)) 思考：能否先消去x再求解？方法二：利用加减消元法消去未知数x.解：①×5，②×3，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15x－20y＝50　③，,15x＋18y＝126　④，))  ④－③得38y＝76，y＝2把y＝2代入②得，5x＋12＝42，x＝6，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝2.)) 当同一未知数的系数即不相等也不互为相反数，该如何求解呢？ 一般步骤是：(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．　　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．若二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,3x－5y＝4)) 的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b，)) 则a－b＝(　　)A.1 B．3 C． eq \f(1,4)  D． eq \f(7,4) 2．已知关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ax＋by＝3，,ax－by＝1)) 的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，)) 则a－2b的值是(　　)A.－2 B．2 C．3 D．－33．解下列方程组：(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝4，,4x＋2y＝－1；))  (2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝－3.4，,6x－4y＝5.2；)) (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x－3y＝5，,－5x＋6y＝－6；))  (4) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋\f(y,3)＝7，,\f(x,3)＋\f(y,2)＝8.)) 四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．作业1．教材第34页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法，虽然消元的途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异曲同工”．第3课时　选择恰当的方法解二元一次方程组1．会根据方程组的具体情况选择适合的消元法．2．理解二元一次方程组的解的三种情况．重点会根据方程组的具体情况选择合适的消元法．难点在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想．一、创设情境、复习引入回顾代入法解二元一次方程组的步骤是什么？加减法解二元一次方程组的步骤是什么？代入法、加减法的基本思想是什么？我们在解二元一次方程组时，该选取何种方法呢？二、探索问题，引入新知【例1】 分别用代入法和加减消元法解下列方程组．(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝8　①，,3x＋2y＝5　②；)) (2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,3)＝2y，,2（x＋1）－y＝11.)) 解：(1)方法一：由①得y＝2x－8，代入②得：3x＋2(2x－8)＝5，解得x＝3，把x＝3代入①得：y＝－2，则方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2)) 方法二：①×2＋②得：7x＝21，即x＝3，把x＝3代入①得：y＝－2，则方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2；)) (2)方法一：方程组整理得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－6y＝－1　①，,2x－y＝9　②)) ，由①得x＝6y－1，代入②得：2(6y－1)－y＝9，解得y＝1，把y＝1代入①得：x＝5，则方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.)) 方法二：方程组整理得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－6y＝－1　①，,2x－y＝9　②，)) ②－①×2得：11y＝11，即y＝1，把y＝1代入①得：x＝5，则方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.)) 点评：观察上面的解题过程，回答下列问题：(1)代入法和加减法有什么共同点？(2)什么样的方程组用代入法简单？什么样的方程组用加减法简单？①关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”．②只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单．通过学生自学、对比、讨论、互帮互助，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中学会根据方程组的具体情况选择适合的消元法．【例2】 若关于x，y的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx＋2ny＝4，,x＋y＝1)) 与 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，,nx＋（m－1）y＝3)) 有相同的解．(1)求这个相同的解；(2)求m，n的值．分析：(1)联立两方程中不含m，n的方程求出相同的解即可；(2)把求出的解代入剩下的方程中求出m与n的值即可．解：(1)联立得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝3，)) 解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1；)) (2)把x＝2，y＝－1代入得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝2，,2n－m＝2，)) 解得：m＝6，n＝4.【例3】 甲、乙两人共同解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋5y＝15，,4x－by＝－2，)) 由于甲看错了方程中的a，得到方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，)) 乙看错了方程中的b，得到方程组的解 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4，)) 试计算a2020＋(－ eq \f(1,10) b)2021的值．分析：将x＝－3，y＝－1代入方程组的第二个方程，x＝5，y＝4代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值．解：将 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1)) 代入方程组中的4x－by＝－2得：－12＋b＝－2，即b＝10；将 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4)) 代入方程组中的ax＋5y＝15得：5a＋20＝15，即a＝－1，则原式＝1－1＝0.三、巩固练习1．用恰当方法解下列二元一次方程组：(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝13，,x＝6y－7；)) (2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,3x＋2y＝8；)) (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋\f(y,3)＝6，,4x－3y＝－4.)) 2．已知方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝7，,5x－7y＝m－1)) 的解能使等式4x－6y＝2成立，求m的值．3．已知甲、乙二人解关于x，y的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝2，,cx－7y＝8，)) 甲正确地解出 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2，)) 而乙把c抄错了，结果解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，)) 求a、b、c的值．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．作业1．教材第36页“习题7.2”中第1题．2．完成练习册中本课时练习．本节课是让学生学会根据方程组的具体情况选择合适的消元法．在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想．因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分析总结出在解二元一次方程组时，根据方程组的特点选择恰当的方法．第4课时　列二元一次方程组解应用题1．通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识；2．能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义．重点把应用问题转化为数学问题的过程，即对实际问题的数学模型的建立．难点在实践探索中寻找解题方案．一、创设情境，问题引入问题：某电脑公司有A，B两种型号的电脑，其中A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元．学校计划花费150000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台，问购买A型、B型电脑各多少台？学生讨论：可设购买A型电脑x台，B型电脑35－x台，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．设购买A型电脑x台，B型电脑(35－x)台，根据题意得：6000x＋4000(35－x)＝150000，解得x＝5，35－x＝30.即购买A型电脑5台，B型电脑30台.二、探索问题，引入新知我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．对于上面的问题我们也可以用二元一次方程组来求解：设购买A型电脑x台，B型电脑y台，根据题意得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝35，,6000x＋4000y＝150000，)) 解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝30.)) 购买A型电脑5台，B型电脑30台．【例1】 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？分析：问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数．我们不妨用列方程组的方法来解答．要列方程组就需要找出两个相等关系．第一个关系就是15天完成加工任务；第二个相等关系就是总加工140吨蔬菜．解：设应安排x天精加工，y天粗加工，根据题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝15，,6x＋16y＝140，)) 解这个方程组得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝5.)) 出售这些加工后的蔬菜一共可获得2000×6×10＋1000×16×5＝200000(元).答：应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元．根据上面的例题， 用二元一次方程组解实际问题的步骤： (1)审题，分析题目中的已知量与未知量； (2)找出数量关系； (3)设未知数列方程组； (4)求解方程组； (5)检验； (6)写出答案．处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：问题 eq \o(――→,\s\up7(分析),\s\do5(抽象)) 方程(组) eq \o(――→,\s\up7(求解),\s\do5(检验)) 解答【例2】 甲乙两个施工队在城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离．若设甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米．(1)依题意列出二元一次方程组；(2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？解：(1)∵甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝100，,5x＝6y；)) (2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝100，,5x＝6y，)) 解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝600，,y＝500.)) 答：甲队每天铺设600米，乙队每天铺设500米．　　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组(　　)A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋30y＝110,10x＋5y＝85))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋10y＝110,30x＋5y＝85)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋5y＝110,30x＋10y＝85))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋20y＝110,10x＋30y＝85)) 2．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组为________________.3．某专卖店有A，B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？4．学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．(1)求这两种魔方的单价；(2)结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个).某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．作业1．教材第36页“习题7.2”中第2、3、4题．2．完成练习册中本课时练习．列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题，是用两种不同的表达形式揭示问题中的相等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化为数学问题．学习各类实际问题，不仅要熟悉各类问题的基本数量关系，而且还要弄清各类问题之间的本质联系．*6.3　三元一次方程组及其解法1．了解三元一次方程组的概念．2．会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决．3．能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法．重点三元一次方程组的解法及“消元”思想．难点根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元．一、创设情境，问题引入前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法．有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，我们来看下面的问题：在足球比赛中，胜一场积3分，平一场积1分，负一场及0分，勇士队参加了10场比赛，共得18分．已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在比赛中胜、平、负的场次各是多少？对于这个问题，我们可以用二元一次方程组来解决．这个问题中有三个未知数，如果我们设三个未知数，你能列出几个方程？它们组成一个方程组，你能解出来吗？二、探索问题，引入新知对于上面的问题，设胜、负、平的场次分别为x，y，z，分别将已知条件直接“翻译”出来，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝10　①,3x＋y＝18　②,x＝y＋z　③)) 像这样的方程组称为三元一次方程组．怎样解三元一次方程组呢？回忆我们在解二元一次方程组时，其基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？对于三元一次方程组，我们能不能先消掉一个或两个未知数，转化为二元一次方程组或一元一次方程求解．将③代入①和②中得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＋2z＝10　①，,4y＋3z＝18　②，)) 解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3，,z＝2.)) 将 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3，,z＝2)) 代入方程③中，可得：x＝5.所以这个三元一次方程组的解是： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3，,z＝2)) 试一试：上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的y＋z？比较一下，哪种方法更简便？由此你能总结出解三元一次方程组的步骤吗？解三元一次方程组的步骤：1．利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组．2．解二元一次方程组．3．将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数．【例】 解三元一次方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－b＋c＝7　①，,2a＋3b＝－2　②，,a＋b＋c＝－1　③.)) 分析：利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组．由①－③得2a－2b＝8　④，④－②得b＝－2，代入②求得a＝2，再将a，b的值代入③求得c即可．解： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－b＋c＝7　①，,2a＋3b＝－2　②，,a＋b＋c＝－1　③.)) ①－③得：2a－2b＝8 ④，④－②得：－5b＝10，∴b＝－2，将b＝－2代入②得：a＝2，将a＝2，b＝－2代入③得：c＝－1，∴该方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－2,c＝－1)) 点评：熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．　　　　　　　　　　　　　　　　三、巩固练习1．利用加减消元法解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋z＝8　①，,2x－y－z＝－3　②，,3x＋y－2z＝－1　③，)) 下列做法正确的是(　　)A.要消去z，先将①＋②，再将①×2＋③B.要消去z，先将①＋②，再将①×3－③C.要消去y，先将①－③×2，再将②－③D.要消去y，先将①－②×2，再将②＋③2．已知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝27，,y＋z＝33，,x＋z＝20，)) 则x＋y＋z的值是(　　)A.80 B．40C.30 D．不能确定3．把方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝5，,3y－4z＝3，,4z＋5x＝7)) 消去未知数z，转化为只含x，y的方程组为____________.4．已知关于x，y的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5m，,x－y＝9m)) 的解满足2x－3y＝9，则m＝________.5．解下列方程组．(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，,y＋z＝8，,x＋z＝9；)) 　　　　(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋y＋z＝6，,x＋5y＋z＝－2，,x＋y＋5z＝10；)) (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4z＝12，,3x＋2y＋z＝1，,4x－z＝7.)) 6．一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数．四、小结与作业小结1．三元一次方程组的概念．2．三元一次方程组的解法．注意选好要消的“元”，选好要消的“法”．3．谈谈求解多元一次方程组的思路．作业1．教材第41页“习题7.3”中第1 ，2 题．2．完成练习册中本课时练习．通过本节课的学习能让学生在本节课上了解到三元一次方程组的概念，掌握用“代入法”、“加减法”对三元一次方程组进行消元，并逐步领会如何选择适合的方法，以提高解题效率．原来本环节的目的是让学生熟练掌握三元一次方程组的解法和调动学生学习的积极性，但因为计算结果比较复杂，学生不敢肯定自己动手计算结果，从而影响了效果．6．4　实践与探索1．通过对实际问题的探索与解决，逐步形成结合具体的事例发现并提出数学问题的能力．2．学会用二元一次方程组解决简单的实际问题．重点1．学生积极参与讨论和探究问题；2．抽象出数学模型．难点用二元一次方程组解决简单的实际问题．一、创设情境、复习引入通过前面的学习，你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？其中什么是关键？二、探索问题，引入新知问题1：要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做2个侧面，或者3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？请同学们独立思考，1.本题有哪些已知量？2．求什么？用几张白卡纸做盒身？几张白卡纸做盒底盖？3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖，那么可做盒身多少个？盒底盖多少个？(2x个盒身，3y个盒底盖)4．找出2个等量关系．(1)用做盒身的白卡纸张数＋用做盒底盖的白卡纸张数＝20；(2)由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身与盒底盖正好配套．根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,3y＝2×2x，)) 解这个方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8\f(4,7)，,y＝11\f(3,7)．)) 由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成16个包装盒，无法全部利用；如果允许剪开，则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用8张半做盒身，11张半做盒底盖，可以做成盒身17个，盒底盖34个，正好配套成17个包装盒，较充分地利用了材料．问题2：小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试”，结果小红拼成如下图所示的正方形，但中间还留有一个边长刚好为2 mm的小正方形，你能解释一下吗？你能求出这些长方形的长和宽吗？1．观察小明的拼图你能发现小长方形的长x mm与宽y mm之间的数量关系吗？2．再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长x mm与宽y mm之间的另一个关系式吗？这样得到方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＝5y，,x＋2＝2y，)) 解之得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝6.)) 8个小矩形的面积和＝8xy＝8×10×6＝480(mm2)；大正方形的面积＝(x＋2y)2＝(10＋2×6)2＝484(mm2)；484－480＝4(mm2)＝2×2(mm2)因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2 mm的小正方形．【例】 某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择： 　　已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．(1)求每台A型、B型污水处理器的价格；(2)为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？分析：(1)可设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器的价格是y万元，根据等量关系：①2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，②1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元，列出方程组求解即可；(2)由于求至少要支付的钱数，可知购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用最少，进而求解即可．解：(1)可设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器的价格是y万元，依题意有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝44，,x＋4y＝42，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝8，)) 答：每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元；(2)购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用最少，10×6＋8×3＝60＋24＝84(万元).答：他们至少要支付84万元钱．点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系．三、巩固练习1．有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112 cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6 cm，求这两个长方形的面积．2．甲、乙两家公司组织员工游览某景点门票售价如下：　　(1)若甲公司有50人游览，则共付门票费________元；若乙公司共付门票费12000元，则乙公司有________人游览；(2)若甲、乙两家公司共有120人游览，其中甲公司不超过50人，两家公司先后共付门票费12800元，求甲、乙两家公司游览的人数．3．如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？ 4.用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．作业1．教材第43页“习题7.4”中第1，2 题．2．完成练习册中本课时练习．本节课通过师生交流，对学生的解法给予鼓励，并引导学生比较用一元一次方程和用二元一次方程组来解的感受，从中体会到什么时候应用一元一次方程，什么时候应用二元一次方程组来解决实际问题比较方便．再通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型．教学效果较好．胜平合计场数xy批发价(元)零售价(元)黑色文化衫1025白色文化衫820污水处理器型号A型B型处理污水能力(吨/月)240180人数1～50人50～100人100人以上票价120元/人100元/人80元/人