华东师大版（2024）第6章 一次方程组6.3 三元一次方程组及其解法学案及答案

这是一份华东师大版（2024）第6章 一次方程组6.3 三元一次方程组及其解法学案及答案，共3页。学案主要包含了学习要求，学习重难点，学习过程，情景导入，初步认识，思考探究，获取新知，运用新知，深化理解等内容，欢迎下载使用。
知识与技能
1.了解三元一次方程组的概念.
2.会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.
3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
过程与方法
认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.
【学习重难点】
重点：三元一次方程组的解法及“消元”思想.
难点：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.
【学习过程】
【情景导入，初步认识】
前面学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，来看下面的问题：
在足球比赛中，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，勇士队参加了10场比赛，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在比赛中胜、平、负的场次各是多少？
对于这个问题，我们可以用二元一次方程组来解决.这个问题中有三个未知数，如果我们设三个未知数，你能列出几个方程？它们组成一个方程组，你能解出来吗？
【思考探究，获取新知】
对于上面的问题，设胜、负、平的场次分别为x，y，z，分别将已知条件直接“翻译”出来，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝10， ①,3x＋y＝18， ②,x＝y＋z. ③))
像这样的方程组称为三元一次方程组.
怎样解三元一次方程组呢？
在解二元一次方程组时，其基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？
对于三元一次方程组，能不能先消掉一个或两个未知数，转化为二元一次方程组或一元一次方程求解.
将③代入①和②中得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y＋2z＝10， ④,4y＋3z＝18， ⑤))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3，,z＝2.))
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3，,z＝2))代入方程③中，可得x＝5.
所以这个三元一次方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3，,z＝2.))
思考：上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的y＋z？比较一下，哪种方法更简便？由此能总结出解三元一次方程组的步骤吗？
归纳结论
解三元一次方程组的步骤：
1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.
2.解二元一次方程组.
3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.
【运用新知，深化理解】
1.解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＋2z＝3，,2x＋y－4z＝11，,7x＋y－5z＝1，))若要使运算简便，消元的方法应选取( B )

A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上说法都不对
2.若方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝1，,2kx＋（k－1）y＝3))的解x和y的值互为相反数，则k的值为( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知x，y，z满足方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋z＝0，,7x＋4y－5z＝0，))则x∶y∶z的值为( C )
A.1∶1∶1 B.1∶1∶2
C.1∶2∶3 D.1∶3∶2
4.解下列方程组.
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋4y－5z＝5，,x－2y＋4z＝－2，,2x＋2y－3z＝3；)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＝2y，,7x＝2z，,2x－8y＋3z＝1.))
解：(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(1,4)，,z＝－\f(1,2).)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，,z＝7.))
5.已知关于x，y，z的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＋z＝6，,6x＋y－2z＝－2，,6x＋2y＋5z＝3))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋by＋2cz＝2，,2ax－3by＋4cz＝－1，,3ax－3by＋5cz＝1))的解相同，求a的值.
解：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＋z＝6，,6x＋y－2z＝－2，,6x＋2y＋5z＝3，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－2，,z＝1.))
把eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－2，,z＝1))代入eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋by＋2cz＝2，,2ax－3by＋4cz＝－1，,3ax－3by＋5cz＝1))中得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－2b＋2c＝2，,\f(2,3)a＋6b＋4c＝－1，,a＋6b＋5c＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝9，,b＝－\f(1,2)，,c＝－1.))
6.有一个三位数，个位数字是百位数字的3倍，十位数字比百位数字大5，若将此数的个位数与百位数互相对调，所得新数比原数的2倍多35，求原数.
解：设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，
根据题意得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3z，,y－z＝5，,（100x＋10y＋z）－2（100z＋10y＋x）＝35，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝6，,z＝1.))所以原数为163.
7.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷，y公顷，z公顷，
根据题意得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝51，,4x＋8y＋5z＝300，,x＋y＋2z＝67，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝15，,y＝20，,z＝16，))
答：种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷，20公顷，16公顷.
农作物品种
每公顷需
劳动力
每公顷需
投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元