高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性课时练习

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知识点01 奇、偶函数的定义
注：利用定义法判断函数奇偶性的步骤
(1)一看定义域．定义域D要具有对称性，即对∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数．
(2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系：
①f(－x)f(x)⇔f(x)是偶函数；
②f(－x)－f(x)⇔f(x)是奇函数；
③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数；
④f(－x)±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)0，x∈D，且D关于原点对称．
【即学即练1】（山东省潍坊市国开中学、日照市莒县某高中校级联考2023-2024学年高三上学期春季高考阶段性检测数学试题）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】（2024·云南昆明·高一校考期中）已知函数，点，是图象上的两点．
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
知识点02奇、偶函数的图像特征(几何意义)
（1）奇函数的图像特征(几何意义)
奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也不成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数．
（2）偶函数的图像特征(几何意义)
偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也不成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数．
注：(1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上．
(2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上．
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，.
(1)现已画出函数在轴及轴左侧的图象，如图所示，请把函数的图象补充完整，并根据图象写出函数的单调递增区间；

(2)写出函数的值域．
易错 判断奇偶性时忽略定义域致错
1．判断函数f(x)(1＋x) eq \r(\f(1－x,1＋x)) 的奇偶性．
【题型1：函数奇偶性的判断】
例1.（2024·青海西宁·高一校考阶段练习）下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
变式2．（2023·全国·高一专题练习）函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
变式3．．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数
B．是偶函数
C．是奇函数
D．是奇函数
变式4．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用定义法证明：在上单调递增；
变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，且．
(1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．
(2)证明函数在上是增函数．
(3)画出在上的图象，并求在上值域．
【方法技巧与总结】
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
(3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
(4)分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
【题型2：函数奇偶性的图像特征】
例2．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．【多选】（2024·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考期中）已知定义在上的函数，对任意实数满足，且时，，则下列说法中，正确的是（ ）
A．2是的周期B．不是图象的对称轴
C．D．是图象的对称中心
变式2．（2024·湖北黄冈·高一校考期中）已知定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的表达式；
(2)画出函数的大致图象；
(3)直接写出函数的值域和单调区间．
(4)若方程a有两个实数根，直接写出a的取值范围．
【方法技巧与总结】
函数奇偶性的图像特征
根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．
【题型3：利用函数奇偶性求参数】
例3．（2024·福建泉州·高一校考期中）若是偶函数，则（ ）
A．2B．1C．1D．3
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）已知函数是偶函数，求实数a的值．
变式2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则 ．
变式3．（2023·四川绵阳·高一期中）若函数为奇函数，则 .
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
变式5．（2024·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．1B．C．0D．2
变式6．（2023秋·上海松江·高一校考期末）若函数是定义在上的奇函数，则 .
变式7．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数是偶函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式8．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）若是奇函数，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
变式9．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且．
(1)求的值；
(2)求使不成立的实数的取值集合．
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求参数的解题思路
奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型．
(1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解．
(2)解析式含参，需根据f(x)f(－x)或f(x)－f(－x)列式，比较各项的系数求解．
【题型4：利用函数奇偶性求值】
例4．（2024·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则 .
变式1．（2024·广东·高三学业考试）函数是定义在上的偶函数，当时，，则 .
变式2．（2023秋·全国·高一专题练习）设为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．12 B． C．13 D．
变式3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 .
变式4．（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知，其中为常数，若，则 ．
变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
变式6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式7．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）设函数，若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。
【题型5：利用函数奇偶性求解析式】
例5．（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数为奇函数，且当时，则当时， ．
变式1．（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 .
变式2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为 .
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.
变式4．（2024·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式．
变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知函数（）是偶函数．当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式．
变式6．（2024·全国·高一专题练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；
（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
变式7．（2023·全国·高一专课时练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ．
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求函数解析式的方法
已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：
(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；
(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；
(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)0.
【题型6：函数单调性与奇偶性的综合应用】
例6．（2024·全国·高一专题练习）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 .
变式1．（2024·江苏常州·高三常州市第三中学校联考阶段练习）已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 ．
变式2．（2024·广东深圳·高三校考阶段练习）已知是奇函数，且在上是增函数．又，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2024·北京东城·高一校考期中）若定义在R上的奇函数在上是增函数，又，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2024·天津·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒不成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
变式7．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 ．
变式8．（2024·河南郑州·高三校考阶段练习）设函数，则使得不成立的x的取值范围是 .
变式9．（2023春·云南迪庆·高一统考期末）设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是 .
变式10．（2023秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式11．（2023·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
变式12．（2023秋·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒不成立，设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1、函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2、利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)f(x2)或f(x1)2
【分析】（1）奇函数关于原点对称，据此补全图象即可；
（2）（3）由图象写出单调递增区间和写出使的x的取值集合即可；
【详解】（1）由题意作出函数图象如图所示.
（2）由图可知，单调递增区间为.
（3）由图可知，使的x的取值集合为或.
22．（2024高一上·江苏·专题练习）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上是减函数；
(3)当时，求函数的解析式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义可求；
（2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
（3）先设时，，根据已知函数式及奇函数定义可求.
【详解】（1）因为时，函数的式为，
所以，
因为为上的奇函数，
所以；
（2）证明：设，则，
所以，
因为时，，
则，
所以，
所以在上是减函数；
（3）当时，，
则，
所以.
23．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数，其中.
(1)当函数的图象关于点成中心对称时，求的值；
(2)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(3)若，求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的图象关于点成中心对称，是奇函数，求出的值；
（2）化简函数，根据在上的单调性，求出的取值范围；
（3）根据时的单调性，求出在区间上的值域.
【详解】（1） “函数的图象关于点成中心对称”的充要条件为：
“函数是奇函数”，
当的图象关于点成中心对称时，
是奇函数，
，解得；
（2）函数
，
当在上单调递减时，
，
解得，
的取值范围是；
（3）当时，，
函数在区间上是单调增函数，
，
即，
函数的值域是.
24．（23-24高一上·浙江宁波·期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．
(1)请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)为大于1的正整数
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得，则关于对称，即，则为偶函数，即可得解.
【详解】（1）依题意，，
当时，，则方程无解，
当为内的无理数时，，则方程无解，
当(为既约真分数)时，则，为大于1的正整数，
则由方程，解得，为大于1的正整数，
综上，方程的解集为为大于1的正整数.
（2）若或或为内无理数时，，
而，此时，
若(为既约真分数)，则，为大于1的正整数，
由，得，解得，
又因为(为既约真分数)，所以，
综上，不等式的解为.
（3）存在非零实数，使得为偶函数，即为偶函数，证明如下：
当或时，有不成立，满足，
当为内的无理数时，也为内的无理数，所以，满足，
当(为既约真分数)，则为既约真分数，
所以，满足，
综上，对任意，都有，
所以关于对称，即，则为偶函数，
所以，存在非零实数，使得为偶函数.
25．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；
(1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3).
【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间；
（2）根据奇函数定义求解析式；
（3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值．
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称，
则函数图象如图所示．
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）根据题意，
令，则，则，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
即，
所以.
（3）当时，，
则，
其对称轴为，
当时，即，则，
当时，即，则，
故.
26．（23-24高二下·河南安阳·期末）世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.
【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），
在上的最大值为，与图象不符，A错误；
对于B，当时，，与图象不符，B错误；
对于C，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：与图象相符，C正确；
对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.
.
课程标准
学习目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的生质；学会判断函数的奇偶性；
2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结合的数学思想.
3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力.
1.奇函数、偶函数的定义；
2.判断函数奇偶性的步骤；
3.奇函数、偶函数图象的对称性；
偶函数
奇函数
条件
一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且
f(－x)f(x)
f(－x)－f(x)
结论
则称yf(x)为偶函数
则称yf(x)为奇函数
定义域特征
定义域关于原点对称
等价形式
若f(x)≠0，则 eq \f(f（－x）,f（x）) －1⇔f(x)为奇函数， eq \f(f（－x）,f（x）) 1⇔f(x)为偶函数