湖南省长沙市2024-2025学年九年级下学期开学适应性模拟考 数学练习卷（含解析）

这是一份湖南省长沙市2024-2025学年九年级下学期开学适应性模拟考 数学练习卷（含解析），共25页。试卷主要包含了的图象如图，给出下列五个结论等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）某学校兴趣小组设计了几个环保图形标志，下列图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（ ）
A．0B．﹣2C．0 或-12D．﹣2或0
3．（3分）若函数y=(m+1)xm2-2是反比例函数，则m的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1或1D．-3或3
4．（3分）（2011•黑龙江模拟）抛物线y＝﹣2（x﹣4）2+6的顶点坐标是（ ）
A．（4，6）B．（﹣4，6）C．（4，﹣6）D．（﹣4，﹣6）
5．（3分）如图，△ADE旋转到△CDB，点A与点C是对应点，下列说法错误的是（ ）
A．AE∥BDB．AD＝DC
C．DE平分∠ADBD．AE＝BC
6．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°，则∠AOB的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
7．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．概率很小的事件不可能发生
B．随机事件发生的概率为12
C．必然事件发生的概率是1
D．投掷一枚普通硬币10次，正面朝上的次数一定为5次
8．（3分）已知反比例函数y=bx（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的解是（ ）
A．0B．0或﹣2
C．﹣2D．没有实数根
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列五个结论：
①abc＜0；②a+b+c＜0；③4a﹣2b+c＜0；④2a﹣b＝0；⑤ab＜0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知抛物线y＝ax2过P（﹣2，4），Q（﹣3，b），则a＝ ，b＝ ．
12．（3分）如果点A（a+1，2）与点B（2﹣2a，b）关于原点对称，那么a+b＝ ．
13．（3分）将抛物线y＝x2+x向下平移3个单位再向右平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
14．（3分）以点A（0，2）为圆心，以4为半径的圆与x轴的交点坐标为 ．
15．（3分）反比例函数y=kx的图象如图，在△ABC中，∠B＝90°，边BC⊥y轴，边AB⊥x轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且AE：BE＝1：2，S△ACE＝2，则k的值为 ．
16．（3分）有8张卡片，标号为1，2，3，4，5，6，7，8从中任意抽取一张，P（抽到大于3）＝ ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）解方程
（1）x2+4x﹣1＝0．
（4）x2+2x﹣3＝0．
18．（6分）如图，画出四边形绕点O顺时针旋转180°后的四边形．
19．（6分）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）
（1）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上？
（2）求点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
20．（8分）小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）大于或等于2，小明胜，否则小亮胜，你认为游戏是否公平？请说明理由．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=12x+10与反比例函数y2=kx（x＜0）的图象交于A（﹣4，8），B两点，连接OA，OB．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABO的面积．
22．（9分）随着天气的逐渐变冷，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，原价1000元的服装经过两次降价后现销售价为810元，若两次降价的百分率均相同．
（1）问每次降价的百分率是多少？
（2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？
23．（9分）已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC=12OB
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若半径OC为2，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）试写出m的一个数值，使关于未知数x的方程x2﹣4x﹣2m+8＝0的两根中一个大于1，另一个小于1．
25．（10分）如图，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点B，与二次函数y=12ax2﹣ax图象的对称轴交于C、D，直线BD、OC交于点A，若BD：AD＝1：2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若二次函数图象的顶点为E，且△ABE是等腰三角形．求二次函数的表达式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）某学校兴趣小组设计了几个环保图形标志，下列图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题关键．
2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（ ）
A．0B．﹣2C．0 或-12D．﹣2或0
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据韦达定理得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣1，将其代入到（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，解之可得答案．
【解答】解：∵方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣1，
∵x12+x22＝3，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，
∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m﹣1）＝3，
解得m＝0或m=-12，
∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣1）＝4m2+5＞0，
∴m为任意实数，方程均有实数根，
∴m＝0或m=-12均符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
3．（3分）若函数y=(m+1)xm2-2是反比例函数，则m的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1或1D．-3或3
【考点】反比例函数的定义．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义解答即可．
【解答】解：∵函数y=(m+1)xm2-2是反比例函数，
∴m2﹣2＝﹣1，且m+1≠0，
∴m＝±1且m≠﹣1，
∴m＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟悉y＝kx﹣1（k≠0）的形式的反比例函数是解题的关键．
4．（3分）（2011•黑龙江模拟）抛物线y＝﹣2（x﹣4）2+6的顶点坐标是（ ）
A．（4，6）B．（﹣4，6）C．（4，﹣6）D．（﹣4，﹣6）
【考点】二次函数的性质．
【专题】探究型．
【答案】A
【分析】直接根据函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣4）2+6，
∴此抛物线的顶点坐标为：（4，6）．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
5．（3分）如图，△ADE旋转到△CDB，点A与点C是对应点，下列说法错误的是（ ）
A．AE∥BDB．AD＝DC
C．DE平分∠ADBD．AE＝BC
【考点】旋转的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得AD＝CD，AE＝BC，∠E＝∠B，∠ADE＝∠EDB，可得DE平分∠ADB，利用排除法可求解．
【解答】解：∵△ADE旋转到△CDB，
∴AD＝CD，AE＝BC，∠E＝∠B，∠ADE＝∠EDB，故选项B和D不合题意，
∴DE平分∠ADB，故选C不合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，掌握旋转的性质是本题的关键．
6．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°，则∠AOB的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据垂径定理得出AC=AB，然后根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵OA⊥BC，∠CDA＝22.5°，
∴AC=AB，
∴∠AOB＝2∠ADC＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握以上定理是解题的关键．
7．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．概率很小的事件不可能发生
B．随机事件发生的概率为12
C．必然事件发生的概率是1
D．投掷一枚普通硬币10次，正面朝上的次数一定为5次
【考点】概率的意义．
【专题】常规题型；概率及其应用．
【答案】C
【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）＝1、不可能发生事件的概率P（A）＝0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．
【解答】解：A、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，此选项错误；
B、随机事件发生的概率在0与1之间，此选项错误；
C、必然事件发生的概率是1，此选项正确；
D、投掷一枚普通硬币10次，正面朝上的次数可能为5次，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
8．（3分）已知反比例函数y=bx（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】数形结合；推理能力．
【答案】D
【分析】本题形数结合，根据反比例函数y=bx（b≠0）的图象位置，可判断b＞0；再由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，排除A，B，再根据一次函数y＝cx﹣a（c≠0）的图象和性质，排除C．
【解答】解：∵反比例函数y=bx（b≠0）的图象位于一、三象限，
∴b＞0；
∵A、B的抛物线都是开口向下，
∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，
故A、B都是错误的．
∵C、D的抛物线都是开口向上，
∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0
由a＞0，c＜0，排除C．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数，二次函数及反比例函数中的图象和性质，因此，掌握函数的图象和性质是解题的关键．
9．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的解是（ ）
A．0B．0或﹣2
C．﹣2D．没有实数根
【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】方程思想．
【答案】B
【分析】根据方程的特点，用因式分解法解此方程，就可以确定选B．
【解答】解：方程x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，用因式分解法解更方便．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列五个结论：
①abc＜0；②a+b+c＜0；③4a﹣2b+c＜0；④2a﹣b＝0；⑤ab＜0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】C
【分析】由图可知，二次函数开口向下，a＜0，与x轴两个交点Δ＞0，对称轴x＝﹣1，2a﹣b＝0，当x＝1时，y＜0，从而得出结论．
【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，图象与y轴正半轴相交，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故①不正确；
由图象可知当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故②正确；
∵对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴与x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
故③不正确；
∵对称轴为x=-b2a=-1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，
故④正确；
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
故⑤不正确．
∴正确的个数有2个，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知抛物线y＝ax2过P（﹣2，4），Q（﹣3，b），则a＝ 1 ，b＝ 9 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】1，9．
【分析】根据待定系数法即可求得a，然后把Q（﹣3，b）代入解析式即可求得b．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2过P（﹣2.4），
∴4a＝4，
解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2，
∵抛物线y＝x2过点Q（﹣3，b），
∴b＝9，
故答案为：1，9．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟知函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
12．（3分）如果点A（a+1，2）与点B（2﹣2a，b）关于原点对称，那么a+b＝ 1 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】1．
【分析】关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数．
【解答】解：由题意得：
a+1=2a-2b=-2，
解得a=3b=-2．
∴a+b＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了关于原点的对称点的坐标的特点，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
13．（3分）将抛物线y＝x2+x向下平移3个单位再向右平移2个单位，所得抛物线的表达式是 y＝（x-32）2-134 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】y＝（x-32）2-134．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：∵y＝x2+x＝（x+12）2-14，
∴将抛物线y＝x2+x向下平移3个单位再向右平移2个单位，所得抛物线的表达式是y＝（x+12-2）2-14-3，即y＝（x-32）2-134，
故答案为：y＝（x-32）2-134．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
14．（3分）以点A（0，2）为圆心，以4为半径的圆与x轴的交点坐标为 （23，0），（-23，0） ．
【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
【专题】探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求出点B、C的坐标即可．
【解答】解：如图所示：连接AB，AC，
∵A（2，0），AB＝4，
∴OB=AB2-OA2=42-22=23，
∴B（﹣23，0）；
同理可得，C（23，0）．
故答案为：23，0），（-23，0）．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
15．（3分）反比例函数y=kx的图象如图，在△ABC中，∠B＝90°，边BC⊥y轴，边AB⊥x轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且AE：BE＝1：2，S△ACE＝2，则k的值为 ﹣6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】设点A的坐标为（m，0）则E（m，km），B（m，3km），C（13m，3km），AE=km，BC=13m-m=-2m3，根据S△ACE＝2列方程12×km×(-2m3)=2解出k值即可．
【解答】解：设点A的坐标为（m，0）则E（m，km），B（m，3km），C（13m，3km），
∴AE=km，BC=13m-m=-2m3，
∵S△ACE＝2，
∴12×AE⋅BC=2，
∴12×km×(-2m3)=2，
解得k＝﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，巧设点的坐标是解答本题的关键．
16．（3分）有8张卡片，标号为1，2，3，4，5，6，7，8从中任意抽取一张，P（抽到大于3）＝ 58 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】58．
【分析】用大于3的卡片张数除以卡片总数即可求得答案．
【解答】解：标号为1，2，3，4，5，6，7，8的卡片中大于3的有5张，
∴P（抽到大于3）=58，
故答案为：58．
【点评】考查了概率的公式，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）解方程
（1）x2+4x﹣1＝0．
（4）x2+2x﹣3＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±5，
所以x1＝﹣2+5，x2＝﹣2-5；
（2）（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
18．（6分）如图，画出四边形绕点O顺时针旋转180°后的四边形．
【考点】作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】画图见解析．
【分析】作这个四边形关于点O中心对称的图形即可．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，掌握画图的方法和图形的特点是关键．
19．（6分）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）
（1）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上？
（2）求点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y＝ax2求出a的值，再将x＝﹣1代入抛物线的解析式，求出对应的y值即可判断；
（2）将P（m，﹣6）代入抛物线的解析式，求出m的值，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y＝ax2，
可得4a＝﹣8，即a＝﹣2，
则y＝﹣2x2，
当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2＝﹣2≠﹣4，
所以点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上；
（2）将P（m，﹣6）代入y＝﹣2x2，
得﹣6＝﹣2m2，
解得m＝±3，
则点P的坐标为（3，﹣6）或（-3，﹣6）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，即点的坐标满足函数解析式．
20．（8分）小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）大于或等于2，小明胜，否则小亮胜，你认为游戏是否公平？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【专题】常规题型；概率及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先画树状图，然后根据树状图求得小明获胜与小亮获胜的概率，再求得他们的概率，比较即可得出结论．
【解答】解：不公平．
画树状图得：
∴一共有16种等可能的结果，两次数字之差（大数减小数）大于或等于2的有6种情况，
∴P（小明胜）=616=38，P（小亮胜）=1016=58，
∵38≠58，
∴游戏对双方不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，然后根据概率相等就公平，否则就不公平．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=12x+10与反比例函数y2=kx（x＜0）的图象交于A（﹣4，8），B两点，连接OA，OB．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABO的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）y2=-32x(x＜0)；（2）60．
【分析】（1）把A（﹣4，8）代入y2=kx(x＜0)，从而可得答案；
（2）先求解两个函数的交点坐标，再求解一次函数与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积之差可得答案．
【解答】解：（1）∵把A（﹣4，8）代入y2=kx(x＜0)，
∴k＝﹣4×8＝﹣32，
∴y2=-32x(x＜0)；
（2）由题意可得：y1=12x+10y2=-32x，
∴12x+10=-32x，
整理得：x2+20x+64＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝﹣16，
∴方程组的解为：x=-4y=8或x=-16y=2，经检验符合题意；
∴B（﹣16，2），
如图，记AB与坐标轴的交点为C，D，
由y1=12x+10可得：当12x+10=0可得x＝﹣20，
∴C（﹣20，0），
∴S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO=12×20×8-12×20×2=60．
【点评】本题考查的是求解反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，图形面积的计算，一元二次方程的解法，熟练的求解两个函数的交点坐标是解本题的关键．
22．（9分）随着天气的逐渐变冷，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，原价1000元的服装经过两次降价后现销售价为810元，若两次降价的百分率均相同．
（1）问每次降价的百分率是多少？
（2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】方程思想；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据该服装的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）利用第一次降价金额﹣第二次降价金额，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，
根据题意得：1000（1﹣x）2＝810，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
答：每次降价的百分率是10%．
（2）1000×10%﹣[1000×（1﹣10%）﹣810]＝10（元）．
答：第一次降价金额比第二次降价金额多10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
23．（9分）已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC=12OB
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若半径OC为2，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定；扇形面积的计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用题中的边的关系可求出△OAC是正三角形，然后利用角边关系又可求出∠CAB＝30°，从而求出∠OAB＝90°，所以判断出直线AB与⊙O相切；
（2）扇形OAC的面积与等边△OAC的面积的差就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）解：（1）直线AB是⊙O的切线，理由如下：
连接OA．
∵OC＝BC，AC=12OB，
∴OC＝BC＝AC＝OA，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠O＝∠OCA＝60°，
又∵∠B＝∠CAB，
∴∠B＝30°，
∴∠OAB＝90°．
∴AB是⊙O的切线．
（2）∵∠AOC＝60°，OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形．
则S扇形OAC=60π×22360=23π，
S△OAC=3×224=3，
则S阴影＝S扇形OAC﹣S△OAC=23π-3．
【点评】本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．
24．（10分）试写出m的一个数值，使关于未知数x的方程x2﹣4x﹣2m+8＝0的两根中一个大于1，另一个小于1．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设方程两根分别为x1，x2，根据题意有Δ＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，（其中x1+x2＝4，x1•x2＝8﹣2m），解不等式组即可得到m的取值范围，然后在此范围内任取一值即可．
【解答】解：设x1，x2是方程的两根，
则x1+x2＝4，x1•x2＝8﹣2m，
依题意，△=(-4)2-4×(-2m+8)＞0(x1-1)(x2-1)＜0，解得m＞2m＞52
解得：m＞52．
∴取m＝3时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．
25．（10分）如图，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点B，与二次函数y=12ax2﹣ax图象的对称轴交于C、D，直线BD、OC交于点A，若BD：AD＝1：2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若二次函数图象的顶点为E，且△ABE是等腰三角形．求二次函数的表达式．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）y＝（﹣82-63）（x﹣1）2+（63+82）或y＝（82-63）（x﹣1）2+（63-82）或y＝235（x﹣1）2﹣235或y＝﹣235（x﹣1）2+235或y=-3539（x﹣1）2+3539．
【分析】（1）作AE∥OB，交CD的延长线于E，可得△AED∽△BFD，从而AEBF=DEDF=ADBD=21，同理可得CFCE=OFAE，可求得OF＝1，进一步得出结果；
（2）可求得A（﹣3，63），设E（1，m），已知B（3，0），从而AB2＝（﹣3﹣3）2+（63）2＝144，AE2＝16+（m﹣63）2，BE2＝4+m2，根据AB＝BE，AB＝AE，BE＝AE分别求出m的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）如图1，
作AE∥OB，交CD的延长线于E，
∴△AED∽△BFD，
∴AEBF=DEDF=ADBD=21，
同理可得，
∴△COF∽△CAE，
∴CFCE=OFAE，
∵CF＝DF，抛物线的对称轴为直线x=--a2×12a=1，
∴1AE=CF4CF，
∴AE＝4，
∴BF=12AE＝2，
∴OB＝OF+BF＝3，
∴⊙O的半径为3；
（2）y=12ax2-ax=12a（x﹣1）2-12a，
∵∠COF＝90°，OF＝1，OC＝3，
∴CF=OC2-OF2=22，
∴EF＝3CF＝63，
∴A（﹣3，63），
设E（1，m），
∵B（3，0），
∴AB2＝（﹣3﹣3）2+（63）2＝144，AE2＝16+（m﹣63）2，BE2＝4+m2，
当AE＝AB时，
16+（m﹣63）2＝144，
∴m＝63±82，
∴-12a=63±82，
∴y＝（﹣82-63）（x﹣1）2+（63+82）或y＝（82-63）（x﹣1）2+（63-82），
当BE＝AB时，
4+m2＝144，
∴m=±235，
∴-12a=±235，
∴y＝235（x﹣1）2﹣235或y＝﹣235（x﹣1）2+235，
当AE＝BE时，
16+（m﹣63）2＝4+m2，
∴m=3539，
∴-12a=3539，
∴y=-3539（x﹣1）2+3539，
综上所述：y＝（﹣82-63）（x﹣1）2+（63+82）或y＝（82-63）（x﹣1）2+（63-82）或y＝235（x﹣1）2﹣235或y＝﹣235（x﹣1）2+235或
y=-3539（x﹣1）2+3539．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．