2024年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二）（含解析）

这是一份2024年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
2．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放跳水比赛
B．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球
C．抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6
D．一个多边形的内角和为600°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x4B．x6÷x2＝x3
C．（x2y）2＝x4y2D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
5．（3分）正八边形的一个内角是（ ）
A．45°B．120°C．135°D．150°
6．（3分）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．8，9B．9，8C．8.5，9D．8.5，7
7．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠3＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
8．（3分）若，则满足条件的a可能是（ ）
A．8B．9C．15D．18
9．（3分）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D．如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝（ ）
A．12B．C．13D．16
10．（3分）某届世界杯的小组赛积分规则为：四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队参加比赛，下列对这个小组的积分情况描述不正确的是（ ）
A．丙队不可能获得8个积分
B．四支球队的积分不可能是四个连续的奇数
C．四支球队的积分不可能是四个连续的偶数
D．若四支球队的积分是四个连续的整数，则有两支球队没有取得一场胜利
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x3y﹣xy＝ ．
12．（3分）方程的解为 ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，6）关于x轴对称的点的坐标为 ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；分别以B，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E．若AE＝6，BF＝4，则AB的长为 ．
15．（3分）某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有 名．
16．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ODE＝30°，BE＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）某次台风来袭时，一棵大树（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D（如图所示），量得∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米．
（1）求大树的根部A到折断后的树干CD的距离；
（2）求这棵大树AB原来的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
20．（8分）为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，统计发现各班参加夏令营的学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校一共有 个班；在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法，求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率．
21．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连接CE．
（1）求证：△ABD≌ACE；
（2）若∠CED＝25°，求∠BAD的度数．
22．（9分）2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10元，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元；
（2）已知一共需购进600件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利10元，学校计划文化衫费用不超过19000元且A款文化衫不少于B款文化衫数量的一半，请你帮学校确定购买方案．
23．（9分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G，H，AG＝AH．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若△AGH是边长为2的等边三角形，求AB的长．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，DA＝DC．
（1）求∠C的度数；
（2）如图2，P是线段BC上的动点，过点P作AD的平行线，交⊙O于点E，F（PF≥PE），连接BE，BF，AB＝10．
①当tan∠FBA＝1时，求BE的长；
②当BP为何值时．
25．（10分）我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“共同体”函数．一次函数y＝px+q和反比例函数的交点称为二次函数y＝px2+qx+k的“共赢点”．
（1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且AB＝3MN，求a的值；
（3）若一次函数y＝ax+2b和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0．令，求L的取值范围．
2024年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．【分析】根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．
【解答】解：如图所示，该几何体的俯视图是一个三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
3．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、打开电视，正在播放跳水比赛，为随机事件，不符合题意；
B、一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球，是必然事件，符合题意；
C、抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6，是随机事件，不符合题意；
D、一个多边形的内角和为600°，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式分别计算判断即可．
【解答】解：A、x2+x2＝2x2，故此选项不符合题意；
B、x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意；
C、（x2y）2＝x4y2，故此选项符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
5．【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
每一个内角的度数为×1080°＝135°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．
6．【分析】利用中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是8和9，故中位数是＝8.5，
在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是9，．
故选：C．
【点评】本题考查了众数与中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
7．【分析】根据两直线平行，同位角相等进行判断和计算．
【解答】解：∵直线a∥b
∴∠1与其同位角相等，∠2与其同位角相等（两直线平行，同位角相等）
又∠1的同位角与∠3与∠2的同位角之和为180°，∠1＝60°，∠3＝80°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，题目难度不大，能正确运用定理进行推理是解答该题的关键．
8．【分析】先用二次根式表示出9、16，再确定a的范围，最后得结论．
【解答】解：∵3＝，4＝，，
∴＜＜．
∴9＜a＜16．
∴满足条件的数是15．
故选：C．
【点评】本题考查了实数大小的比较，掌握二次根式比较大小的方法是解决本题的关键．
9．【分析】根据垂径定理可得AD＝AB＝12，∠ADO＝90°，设OA＝x，则OC＝x，DO＝x﹣8，再利用勾股定理列出方程，解出x的值即可．
【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝AB＝12，∠ADO＝90°，
设OA＝x，则OC＝x，DO＝x﹣8，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，
∴x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13，
∴OA＝13．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
10．【分析】A．因为甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，所以共比赛6场，最多得18分，若丙队得8分，则丙队胜2场平2场，其余4场有10分；
B．若四支球队的积分是四个连续的奇数，则四支球队的积分分别为3，5，7，9，总和为24，超过18分；
C．若四支球队的积分是四个连续的偶数，则四支球队的积分分别为2，4，6，8，总和为20，超过18分；
D．若四支球队的积分是四个连续的整数，则四支球队的积分分别为1，2，3，4．
【解答】解：A．因为甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，所以共比赛6场，最多得18分，若丙队得8分，则丙队胜2场平2场，其余4场有10分，不可能，故A正确；
B．若四支球队的积分是四个连续的奇数，则四支球队的积分分别为3，5，7，9，总和为24，超过18分，不可能，故B正确；
C．若四支球队的积分是四个连续的偶数，则四支球队的积分分别为2，4，6，8，总和为20，超过18分，不可能，故C错误；
D．若四支球队的积分是四个连续的整数，则四支球队的积分分别为1，2，3，4，故D正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了推理和论证，题目难度不大，根据“四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分”是解答该题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】原式提取xy，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1），
故答案为：xy（x+1）（x﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．【分析】根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：，
方程可化为，
方程两边都乘以x﹣2得，1＝﹣2﹣（x﹣2），
解得x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠0，
所以原分式方程的解是x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意不要丢检验．
13．【分析】利用关于x轴对称点的性质分析得出即可．
【解答】解：点A（﹣4，6）关于x轴对称的点的坐标为：（﹣4，﹣6）．
故答案为：（﹣4，﹣6）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，注意：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
14．【分析】如图所示：连接EF，BF，AE交于BF于点O，首先证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出AB即可．
【解答】解：如图所示：连接EF，BF，AE交于BF于点O，
由题中作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
＝BE，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，AO＝OE＝AE＝3，BO＝OF＝BF＝2，
在Rt△AOB中，
∵AB2＝OB2+AO2，
∴AB＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．【分析】先求出选择羽毛球的百分比，再乘以3200即可作出估计．
【解答】解：选择羽毛球的百分比为：100%﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，
3200×40%＝1280（名），
故答案为：1280．
【点评】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取数据是解题的关键．
16．【分析】连接OC，设⊙O的半径为r．在Rt△DEO中，利用三角函数求出r的值；根据等腰三角形的性质，求出∠BOC的度数，从而表示出扇形BOC的面积和△BOC的面积，根据“阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积”计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，设⊙O的半径为r．
∵CD⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∵∠ODE＝30°，BE＝1，OE＝OB﹣BE＝r﹣1，
∴sin∠ODE＝，即＝，解得r＝2，
又∵OC＝OD，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠ODE＝60°，
∴S扇形BOC＝πr2＝r2，
∵OB＝r，CE＝DE＝OD•cs∠ODE＝r，
∴S△BOC＝OB•CE＝r2，
∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝r2﹣r2
＝（﹣）r2
＝（﹣）×4
≈0.36．
故答案为：0.36．
【点评】本题考查扇形面积的计算等，掌握等腰三角形的性质及扇形面积公式是本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】首先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝3﹣3×+（﹣1）﹣2
＝3﹣+﹣1﹣2
＝0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
当x＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，根据三角形的内角和定理得到∠DAC＝90°﹣15°＝75°，根据三角函数的定义得到DE＝2，AE＝2，求得DE＝AD＝×4＝2（米），根据特殊角的三角函数即可得到结论；
（2）由sin45°＝＝，得到C＝2米，于是得到结论．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAC＝15°，
∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ADC＝60°，
在Rt△AED中，
∵cs60°＝＝＝，
∴DE＝2，
∵sin60°＝＝＝，
∴AE＝2米，
∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝AD＝×4＝2（米），
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝CE＝2米，
∴CD＝DE+CE＝（2+2）米；
（2）∵sin45°＝＝，
∴AC＝2米，
∴AB＝2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10（米）．
答：这棵大树AB原来的高度是10米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．【分析】（1）由参加夏令营的学生人数为4名的班级个数除以所占百分比得出该校一共有的班级个数，即可解决问题；
（2）求出参加夏令营的学生人数为2名的班级个数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该校一共有的班级个数为：6÷30%＝20（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝90°，
故答案为：20，90°；
（2）参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：20﹣5﹣6﹣5﹣2＝2（个），
将条形统计图补充完整如下：
（3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
∴所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．【分析】（1）先证∠BAD＝∠CAE，进而可依据“SAS”判定△ABD和△ACE全等；
（2）先证∠B＝∠AED＝45°，则∠AEC＝∠AED+∠CED＝70°，根据△ABD≌△ACE得∠ADB＝∠AEC＝70°，再根据三角形内角和定理可得∠BAD的度数．
【解答】（1）证明：∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴△ABD和△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠AED＝45°，
∵∠CED＝25°，
∴∠AEC＝∠AED+∠CED＝45°+25°＝70°，
由（1）可知：△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣（∠ADB+∠B）＝180°﹣（70°+45°）＝65°．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
22．【分析】（1）设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元，根据每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10元，购进3件A款文化衫和4件B款文化衫共需要310元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A款文化衫m件，则购进B款文化衫（600﹣m）件，根据学校计划文化衫费用不超过19000元且A款文化衫不少于B款文化衫数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购进A款文化衫m件，则购进B款文化衫（600﹣m）件，
由题意得：，
解得：200≤m≤200，
∴m＝200，
∴600﹣m＝600﹣200＝400，
答：购进A款文化衫200件，B款文化衫400件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
23．【分析】（1）证明△ABG≌△ADH（ASA），得AB＝AD，再由菱形的判定即可得出结论；
根据平行四边形的对角相等，以及垂直的定义可得△ABE和△ADF的两角对应相等，证明△ABG≌△ADH，则AB＝AD，从而证得四边形是菱形；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，AB＝BC，AC⊥BD，再由等边三角形的性质得AG＝GH＝2，∠GAH＝60°，OG＝GH＝1，∠GAO＝∠GAH＝30°，进而由勾股定理得∴OA＝，则AC＝2OA＝2，然后证明△ABC是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAG＝90°﹣∠ABE，∠DAH＝90°﹣∠ADF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
∴∠BAG＝∠DAH，
∵AG＝AH，
∴∠AGH＝∠AHG，
∴∠AGB＝∠AHD，
∴△ABG≌△ADH（ASA），
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：如图，连接AC交BD于点O，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AB＝BC，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵△AGH是边长为2的等边三角形，AC⊥BD，
∴AG＝GH＝2，∠GAH＝60°，OG＝GH＝1，∠GAO＝∠GAH＝30°，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝2OA＝2，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠GAO＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．【分析】（1）连接OD，根据OA＝OD，得出∠COD＝2∠A，在根据AD＝CD，得出∠C＝∠A，最后根据△COD内角和为180°求出∠C即可；
（2）①连接AF，OF，根据三角函数的定义判断出△AFB为等腰直角三角形，从而求出AF，BF，OF的长，再根据AD∥PF，可以求得∠FPO＝30°，从而求出DP和PF的长，最后根据△PEB和△PAF相似求出BE即可；
②过点B作BG⊥FP于G，连接OE，过O作ON⊥EF于N，设BG＝x，根据平行线分线段成比例、含30°角直角三角形的边的关系以及勾股定理，分别表示出EF和BE、BF，根据等式列出方程求出x，即可求出BP的长．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠COD＝2∠A，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠C+∠COD＝90°，即∠C+2∠A＝90°，
又∵DA＝DC，
∴∠A＝∠C，
∴∠C＝30°；
（2）①连接AF，OF，如图：
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵tan∠FBA＝1，
∴∠FBA＝45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF＝BF＝5，OF⊥AB，
∵PF∥AD，
∴∠FPO＝∠DAC＝∠C＝30°，
∴PF＝2OF＝10，OP＝OF＝5，
∴BP＝OP﹣OB＝5﹣5，
∵∠FAB+∠FEB＝180°，∠PEB+∠FEB＝180°，
∴∠FAB＝∠PEB，
又∵∠EPB＝∠APF，
∴△AFP∽△EBP，
∴＝，
∴BE＝（﹣）；
②过点B作BG⊥FP于G，连接OE，过O作ON⊥EF于N，如图：
∴∠BGE＝∠BGP＝90°，
∴∠BGE＝∠AFB，
∵∠BEP＝∠FAP，
∴△PEB∽△PAF，
∴＝，
∴BP•AP＝PE•PF，
设BG＝x，
∵∠FPA＝∠DAC＝30°，
∴BP＝2x，PG＝x，
∴AP＝10+2x，OP＝5+2x，
∴ON＝OP＝+x，PN＝（5+2x），
在Rt△NOE中，EN2＝OE2﹣ON2＝25﹣（+x）2，
∵ON⊥EF，
∴FN＝EN，EF＝2EN，
在Rt△EBG中，BE2＝BG2+EG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+FG2，
∵FG＝PN+FN﹣PG，EG＝PN﹣PG﹣FN，
∴FG•EG＝（PN﹣PG）2﹣FN2＝﹣[25﹣（+x）2]＝x2+5x，FG+EG＝2（PN﹣PG）＝5，
∴BE2•BF2＝（BG2+EG2）（BG2+FG2）
＝BG4+（EG2+FG2）BG2+（EG•FG）2
＝BG4+[（EG+FG）2﹣2EG•FG]BG2+（EG•FG）2
＝x4+[75﹣2x2﹣10x]x2+（x2+5x）2
＝100x2，
∴BE•BF＝10x，
∵＝，
∴BE•BF＝EF2＝4EN2，
即10x＝4[25﹣（+x）2]，
解得：x＝（舍去）或，
∴BP＝2x＝．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握垂径定理、含30°角直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质是本题解题的关键．
25．【分析】（1）根据题干给出的定义，写出“共同体”函数以及其“共赢点”即可；
（2）根据题干给出的定义，写出“共同体”函数，然后根据韦达定理以及两点间距离公式求出AB和MN的长，代入已知条件，求出a的值即可；
（3）联立方程组，根据韦达定理求出L的值，在根据a，b，c的取值求出L的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据定义，二次函数y＝x2﹣3x﹣4中，p＝1，q＝﹣3，k＝4，
∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4是一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的“共同体”函数，
联立一次函数与反比例函数：，
解得：或，
经检验，两组解均是方程组的解，
∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4的“共赢点”是（﹣1，﹣4），（4，1）；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交点为M，N，
∴令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴xM+xN＝﹣，xMxN＝，
∴MN＝＝＝，
∵二次函数y＝ax2+bx+c是一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的“共同体”函数，
∴由得ax+b＝﹣，
∴ax2+bx+c＝0，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足：xA+xB＝﹣，xAxB＝，
纵坐标yA＝axA+b，yB＝axB+b，
∴yA+yB＝a（xA+xB）+2b＝b，yAyB＝（axA+b）（axB+b）＝ac，
∴AB＝
＝
＝
＝，
∵AB＝3MN，
∴＝3，
∴+b2﹣4ac＝9•，
∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴1+a2＝9，
∴a＝±2；
（3）∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，a+a+c＞0，a+c+c＜0，
∴﹣2＜＜﹣，
∵一次函数y＝ax+2b与反比例函数y＝﹣的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标是x1，x2，
∴x1，x2是方程ax+2b＝﹣，即ax2+2bx+c＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵L＝|﹣|
＝
＝
＝
＝2
＝2
＝2
＝2，
∵﹣2＜＜﹣，
∴＜2＜2，
即＜L＜2．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，根据题干所给定义结合韦达定理来求解是本题解题的关键，另外（2）可以采用数形结合的方法，根据直线斜率和其夹角正切值的关系直接求解a值．
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
2
5
3
6
4