安徽省合肥市2024-2025学年九年级下学期开学适应性测试 数学练习卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市2024-2025学年九年级下学期开学适应性测试 数学练习卷（含解析），共26页。试卷主要包含了此时△BEG∽△BAC等内容，欢迎下载使用。
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinB的值是（ ）
A．54B．53C．45D．35
3．（4分）在函数y＝2x、y=2x、y＝2x2的图象中，具有沿某条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合的性质的图象有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（4分）抛物线y=-12x2向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y=-12(x-2)2+1B．y=-12(x+2)2-1
C．y=-12(x+1)2+2D．y=-12(x+2)2+1
5．（4分）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为（结果保留两位小数）（ ）
A．1.23mB．1.24mC．1.25mD．1.236m
6．（4分）若反比例函数y=-1+a2x的图象上有两点A（﹣1，m），B（2，n），则m，n的关系是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m≥nD．m≤n
7．（4分）已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y=kx在第二象限内的图象如图所示，则二次函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）等腰三角形腰上的高与腰的比为1：2，则顶角为（ ）
A．30°B．45°C．45°或135°D．30°或150°
9．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），B（5，6），将△ABO向右平移到△CDE位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数y=kx(x＞0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是（ ）
A．6B．12C．15D．30
10．（4分）如图，在△ABC中，过点C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，点E为AC的中点，连结DE交BC于点F．若AB＝5，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）如果4x＝5y，那么3x-yy= ．
12．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段BE的长度等于 ．
13．（4分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cs∠ABC＝ ．
14．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数图象上，求n的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分64分）
15．（6分）2cs60°﹣sin245°+（﹣tan45°）2022．
16．（6分）如图所示是按一定比例缩放的两个图形．
（1）图②可以看成是由图①按 ： 缩小后得到的．
（2）请你按2：1在网格内画出图②放大后的图形．
17．（8分）（2014•淮阴区校级模拟）把二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1配成的形式y＝a（x+m）2+h，并求出其图象的顶点坐标．
18．（10分）（2022秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC．
（1）过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，△ADE与△ABD相似吗？为什么？
19．（10分）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB＝17cm，支撑板长CD＝16cm，底座长DE＝14cm，托板AB联结在支撑板顶端点C处，且CB＝7cm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕D点转动．如图2，若∠DCB＝70°，∠CDE＝60°．（参考数值sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73）
（1）求点C到直线DE的距离（精确到0.1cm）；
（2）求点A到直线DE的距离（精确到0.1cm）．
20．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上A，D之间的一点．过点P作PE⊥x轴于点E．PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时．求点P的横坐标；
（3）如图2，连接AD，BD，作DH⊥x轴于点H．把△BHD沿着射线AD方向平移，点D在射线AD上移动的距离为m个单位，如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，请直接写出m的取值范围．
21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点
同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识；应用意识．
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，1），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinB的值是（ ）
A．54B．53C．45D．35
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC=AB2-BC2=52-42=3，
∴sinB=ACAB=35．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
3．（4分）在函数y＝2x、y=2x、y＝2x2的图象中，具有沿某条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合的性质的图象有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】二次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．
【答案】D
【分析】先分别判断函数y＝2x、y=2x、y＝2x2的图象形状，然后沿某条直线翻折，看直线两旁的部分能够互相重合．
【解答】解：函数y＝2x是正比例函数，其图象是一条直线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合；
函数y=2x是反比例函数，其图象是双曲线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合；
函数y＝2x2是二次函数，其图象是抛物线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合．
故选：D．
【点评】本题主要考查正比例函数、反比例函数和二次函数所具有的性质及其图象的特点．
4．（4分）抛物线y=-12x2向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y=-12(x-2)2+1B．y=-12(x+2)2-1
C．y=-12(x+1)2+2D．y=-12(x+2)2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【解答】解：抛物线y=-12x2向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为：y=-12（x+2）2+1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5．（4分）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为（结果保留两位小数）（ ）
A．1.23mB．1.24mC．1.25mD．1.236m
【考点】黄金分割；近似数和有效数字；勾股定理．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】把雕像的高2m乘以0.618，然后进行近似计算．
【解答】解：∵雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，
∴雕像的下部（腰以下）的长＝0.618×2≈1.24（m）．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
6．（4分）若反比例函数y=-1+a2x的图象上有两点A（﹣1，m），B（2，n），则m，n的关系是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m≥nD．m≤n
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】根据反比例函数解析式可得，反比例函数图象在二、四象限，据此即可判断m，n的符号，即可求解．
【解答】解：∵﹣（1+a2）＜0，
∴反比例函数图象在二、四象限，
∵点A（﹣1，m），B（2，n）在反比例函数y=-1+a2x的图象上，
∴m＞0，n＜0，
∴m＞n．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据题意判断出反比例函数的图象所在的象限是解题的关键．
7．（4分）已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y=kx在第二象限内的图象如图所示，则二次函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】依据题意，由一次函数y＝x+b的图象与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，则k＜0，从而函数二次函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x=b2＞0，k﹣1＜0，从而排除A、C，又由题意，反比例函数y＝与一次函数y＝x+b的图象有两个交点中一个交点横坐标为﹣1，即可得出k+b＝1，从而可得函数y＝x2﹣bx+k﹣1过点（﹣1，1），故可得解．
【解答】解：∵一次函数y＝x+b的图象与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，则k＜0，
∴二次函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x=b2＞0，k﹣1＜0，
∴A、C不合题意；
又由题意，反比例函数y=kx与一次函数y＝x+b的图象有两个交点，其中一个交点横坐标为﹣1，
∴﹣1+b＝﹣k．
∴b+k＝1．
∵x＝﹣1时，y＝x2﹣bx+k﹣1＝b+k，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1过点（﹣1，1），
综上，可得D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
8．（4分）等腰三角形腰上的高与腰的比为1：2，则顶角为（ ）
A．30°B．45°C．45°或135°D．30°或150°
【考点】特殊角的三角函数值；等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形腰上的高与腰的比为1：2，可得高所对的角等于45°，然后分①高在三角形内部与②在三角形外部两种情况进行讨论求解．
【解答】解：∵高与腰长之比为1：2，
∴高所对的角等于45°，
①当高在三角形内部时，
顶角为30°；
②在三角形外部时，
顶角为180°﹣45°＝135°，
综上所述，顶角为45°或135°．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据题意得出高所对的角等于45°．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），B（5，6），将△ABO向右平移到△CDE位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数y=kx(x＞0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是（ ）
A．6B．12C．15D．30
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】设AC＝EO＝BD＝a，则E（a，0），再求出C（a，6），D（5+a，6），由F是DE的中点，得到F(2a+52，3)，再由函数y=kx(x＞0)的图象经过点C和点F，得到k=6a=6a+152，由此即可求出答案．
【解答】解：由平移的性质可知 AC＝EO＝BD，
设AC＝EO＝BD＝a，则E（a，0），
∵A（0，6），B（5，6），
∴OA＝6，AB＝5，AB∥x轴，C（a，6），
∴AD＝AB+BD＝5+a，
∴D（5+a，6）．
∵F是DE的中点，
∴F(2a+52，3)，
∵函数y=kx(x＞0)的图象经过点C和点F，
∴k=6a=6a+152，
解得k＝6a＝15．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是求反比例函数图象上点的坐标特点及平移的性质，熟知正确用a表示出点C和点F的坐标是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，过点C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，点E为AC的中点，连结DE交BC于点F．若AB＝5，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】如图，分别延长AB、CD交于G，然后利用已知条件可以证明△AGD≌△ACD，然后利用中位线的性质即可求解．
【解答】解：如图，分别延长AB、CD交于G，
∵过点C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，
∴∠GAD＝∠CAD，∠ADG＝∠ADC＝90°，而AD＝AD，
∴△AGD≌△ACD（ASA），
∴AG＝AC，GD＝CD，
而AB＝5，AC＝8，
∴BG＝AG﹣AB＝AC﹣AB＝3，
∵点E为AC的中点，
∴DE∥AG，
∴DF为△BGC的中位线，
∴DF=12BG＝1.5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了中位线的性质及角平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）如果4x＝5y，那么3x-yy= 114 ．
【考点】比例的性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】114．
【分析】根据4x＝5y，得出xy=54，再把要求的式子化成3x-yy=3xy-1，然后代值计算即可．
【解答】解：∵4x＝5y，
∴xy=54，
∴3x-yy=3xy-1=3×54-1=114．
故答案为：114．
【点评】此题考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项．
12．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段BE的长度等于 10.5 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】10.5．
【分析】由平行可得到ADDF=BCCE，代入可求得CE，再根据线段的和可求得BE．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ADDF=BCCE，即63=7CE，
解得CE=216，
∴BE=BC+CE=7+216=10.5，
故答案为：10.5．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
13．（4分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cs∠ABC＝ 255 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∴AD＝2，BD＝4，
∴AB=22+42=25．
∴cs∠ABC=425=255．
故答案为：255．
【点评】此题考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数图象上，求n的值为 4 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】4．
【分析】根据题意得出b＝﹣2（m+1），c＝（m+1）2，即可得出y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A的坐标代入即可求得n的值．
【解答】解：∵点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
∴-b2=m-1+m+32，
∴b＝﹣2（m+1），
∵二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，
∴b2﹣4c＝0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣4c＝0，
∴c＝（m+1）2，
∴y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，
把A的坐标代入得，n＝（m﹣1）2﹣2（m+1）（m﹣1）+（m+1）2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出b、c的值是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分64分）
15．（6分）2cs60°﹣sin245°+（﹣tan45°）2022．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】32．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2×12-（22）2+（﹣1）2022
＝1-12+1
=32．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）如图所示是按一定比例缩放的两个图形．
（1）图②可以看成是由图①按 3 ： 1 缩小后得到的．
（2）请你按2：1在网格内画出图②放大后的图形．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观；应用意识．
【答案】（1）3，1；
（2）见解析．
【分析】（1）根据两图形的相似比即可得到结论；
（2）根据位似比画出图形即可．
【解答】解：（1）∵AB：DE＝6：2＝3：1，
∴图②可以看成是由图①按3：1缩小后得到的，
故答案为：3，1．
（2）如图所示，图③为按2：1在网格内画出图②放大后的图形．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换，正确地作出图形是解题的关键．
17．（8分）（2014•淮阴区校级模拟）把二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1配成的形式y＝a（x+m）2+h，并求出其图象的顶点坐标．
【考点】二次函数的三种形式．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用配方法将原抛物线解析式化为顶点坐标式，然后可得其顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x2+2x+1）+1+2＝﹣2（x+1）2+3，
∴函数图象的顶点坐标（﹣1，3）．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
18．（10分）（2022秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC．
（1）过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，△ADE与△ABD相似吗？为什么？
【考点】相似三角形的判定；圆周角定理；切线的判定与性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）△ADE∽△ABD，理由见解析．
【分析】（1）过点D作DE⊥AC，交AC于点E，则DE即为所求；
（2）根据AB是⊙O的直径，得出∠ADB＝90°，根据ED⊥AC，得出∠AED＝90°，则∠AED＝∠ADB，根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，即可证明△ADE∽△ABD．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求，
理由如下，连接OD，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）△ADE∽△ABD，理由如下，
连接BD，如图，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
∴△ADE∽△ABD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质与判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（10分）（2024•历下区校级模拟）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB＝17cm，支撑板长CD＝16cm，底座长DE＝14cm，托板AB联结在支撑板顶端点C处，且CB＝7cm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕D点转动．如图2，若∠DCB＝70°，∠CDE＝60°．（参考数值sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73）
（1）求点C到直线DE的距离（精确到0.1cm）；
（2）求点A到直线DE的距离（精确到0.1cm）．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）13.8cm；
（2）21.5cm．
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CH；
（2）在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，即可求∠A，进而求出AF，即可求出点A到直线DE的距离．
【解答】解：（1）如图2，延长ED，过A作AG⊥DE的延长线于G，过点C作CH⊥DE于H，过点C作CF⊥AG，垂足为F，则四边形CFGH为矩形，
∴CH＝FG，CH∥FG，
在Rt△CDH中，sin∠CDH=CHCD，
∴CH＝CD•sin∠CDH＝16×32=83≈13.8（cm）；
∴点C到直线DE的距离为13.8cm；
（2）在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，∠A＝∠BCH＝70°﹣30°＝40°，
AC＝AB﹣BC＝17﹣7＝10（cm），
∴AF＝AC•cs40°≈10×0.77≈7.7（cm），
∴AG＝AF+FG＝7.7+13.84＝21.54≈21.5（cm）．
答：点A到直线DE的距离约为21.5cm．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．
20．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上A，D之间的一点．过点P作PE⊥x轴于点E．PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时．求点P的横坐标；
（3）如图2，连接AD，BD，作DH⊥x轴于点H．把△BHD沿着射线AD方向平移，点D在射线AD上移动的距离为m个单位，如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，请直接写出m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；配方法；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=-49x2-169x+209，顶点D（﹣2，4）；
（2）点P的横坐标为-174；
（3）m的取值范围为：54＜m＜-5+552．
【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）设P（m，-49m2-169m+209），﹣5＜m＜﹣2，利用矩形和抛物线的对称性求得线段EF，利用点坐标表示出线段PE，进而求得矩形的周长，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
（3）由题意得：OH＝2，OB＝1，DH＝4，BH＝OB+OH＝3，利用勾股定理求得斜边BD，利用点的坐标的特征求得①当平移后的三角形的顶点H恰好在抛物线上时，和②当平移后的三角形的D′H′边与抛物线只有一个公共点时，m的两个临界值，结合图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=-49x2+bx+c 经过点A（﹣5，0）和点B（1，0），
∴-1009-5b+c=0-49+b+c=0，
解得：b=-169c=209．
∴抛物线的解析式为y=-49x2-169x+209．
∵y=-49x2-169x+209=-49（x+2）2+4，
∴顶点D（﹣2，4）；
（2）设P（m，-49m2-169m+209），﹣5＜m＜﹣2，
则PE=-49m2-169m+209，OE＝﹣m，
设抛物线的对称轴交x轴于点H，如图，
则OH＝2，
∴EH＝OE＝OH＝﹣m﹣2，
由题意：直线DH为矩形PEFG的对称轴，
∴EH＝FH＝﹣m﹣2，
∴EF＝2EH＝﹣2m﹣4，
∵四边形PEFG为矩形，
∴PE＝GF=-49m2-169m+209，PG＝EF＝﹣2m﹣4，
∴矩形PEFG的周长＝2（PE+EF）
＝2[-49m2-169m+209+（﹣2m﹣4）]
=-89m2-689m-329
=-89(m+174)2+22518，
∵-89＜0，
∴当m=-174时，矩形PEFG的周长取得最大值为22518，
∴点P的横坐标为-174；
（3）由题意得：OH＝2，OB＝1，DH＝4，
∴BH＝OB+OH＝3，
∴BD=DH2+BH2=42+32=5．
设直线BD的解析式为y＝kx+n，
∴k+n=0-2k+n=4，
解得：k=-43n=43，
∴直线BD的解析式为y=-43x+43．
①当平移后的三角形的顶点H恰好在抛物线上时，如图，
设平移后的D，H，B的对应顶点为D′，H′，B′，延长D′H′交x轴于点M，则H′M⊥OB，HH′∥AD，
∴△H′HM∽△DBH，
∴HH'BD=HMOB，
∴m5=HM3，
∴HM=35m，
∴OM＝HM﹣OH=35m﹣2，
∴M（35m﹣2，0），
∴MH′=-49(35m-2)2-169（35m﹣2）+209=-425m2+4．
设直线AD的解析式为y＝ax+d，
∴-5a+d=0-2a+d=4，
∴a=43d=203，
∴直线AD的解析式为y=43x+203，
∴D′M=43（35m﹣2）+203=45m+4，
∴D′H′＝D′M﹣H′M=425m2+45m．
∵D′H′＝DH＝4，
∴425m2+45m＝4，
解得：m=-5+552或m=-5-552（负数不合题意，舍去），
②当平移后的三角形的D′H′边与抛物线只有一个公共点时，如图，
设平移后的D，H，B的对应顶点为D′，H′，B′，延长D′H′交x轴于点M，则H′M⊥OB，
∴△H′HM∽△DBH，
∴H'MHH'=DHBD．
设直线D′B′的解析式为y=-43x+e，
∴y=-43x+ey=-49x2-169x+209，
∴-49x2-169x+209=-43x+e．
∴4x2+4x+9e﹣20＝0．
∴Δ＝42﹣4×4（9e﹣20）＝0，
∴e=73，
∴直线D′B′的解析式为y=-43x+73，
∴△BHD沿着y轴方向平移了73-43=1个单位，
∴MH′＝1，
∴1HH'=45，
∴m＝HH′=54．
∴如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，m的取值范围为：54＜m＜-5+552．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，矩形的性质，二次函数的极值，图形平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点
同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
【考点】相似形综合题．
【专题】综合题；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平行线判断出∠BAC＝∠DCA，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AC＝8，由（1）知，△ACD∽△BAC，得出DCAC=ACBA，即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）解：在Rt△ABC中，AC=AB2-BC2=8，
由（1）知，△ACD∽△BAC，
∴DCAC=ACBA，
即 DC8=810
解得：DC＝6.4；
（3）能．由运动知，BF＝10﹣2t，BE＝t，
△EFB若为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当 BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得t=103秒．
②当EF＝EB时，如图，过点E作AB的垂线，垂足为G，
则BG=12BF=12(10-2t)．此时△BEG∽△BAC
∴BEAB=BGBC，即 t10=12(10-2t)6，
解得：t=258；
③当FB＝FE时，如图2，过点F作BC的垂线，垂足为H
则BH=12BE=12t．此时△BFH∽△BAC
∴BFAB=BHBC，即 10-2t10=12t6，
解得：t=6017
综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为103秒或258秒或6017秒．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键．