重庆市2024-2025学年九年级下学期开学适应性模拟考 数学练习卷（含解析）

这是一份重庆市2024-2025学年九年级下学期开学适应性模拟考 数学练习卷（含解析），共33页。
A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1
C．x1＝0，x2＝0D．x1＝1，x2＝﹣1
2．（4分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）下列方程中有一个根为﹣1的方程是（ ）
A．x2+2x＝0B．x2+2x﹣3＝0C．x2﹣5x+4＝0D．x2﹣3x﹣4＝0
4．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（ ）
A．50°B．25°C．100°D．65°
5．（4分）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
6．（4分）如图，点D是⊙O的弦AB延长线上一点，CD切⊙O于点C，若OB∥CD，AB＝OB=3，则BD的长度为（ ）
A．5B．3+1C．23D．2
7．（4分）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上
B．明天太阳从西边升起
C．任意购买一张电影票，座位号是偶数
D．打开电视正在播出“新闻联播”
8．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≤0C．k≠1且k≠0D．k≤1且k≠0
9．（4分）某市2020年投入了教育专项经费7200万元，用于发展本市的教育，预计到2022年将投入教育专项经费三年共需23832万元，若每年增长率都为x，下列方程正确的是（ ）
A．7200（1+x）＝23832
B．7200（1+x）2＝23832
C．7200+7200（1+x）+7200（1+x）2＝23832
D．7200x2＝23832
10．（4分）已知关于x的分式方程nx(x−3)(x−4)=3x−3+2x−4的解为正整数，且关于y的不等式组n−y＞6y+5≤3(y+5)无解，则所有符合条件的整数n的和为（ ）
A．﹣7B．﹣16C．﹣17D．﹣18
11．（4分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象分别与x轴、y轴交于A点、B点和C点，已知OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
①abc＞0；
②4ac＜b2；
③（a+c）2＞b2；
④ac+b+1＝0．
其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
12．（4分）如图，点A的坐标为（6，0），点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以OB，AB为直角边分别在第三、第四象限内作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．解答题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）解方程：
（Ⅰ）x2+x﹣12＝0；
（Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
14．（4分）从3名男生、2名女生中随机抽选两人参加植树节活动，则刚好选到一名男生、一名女生的概率为 ．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，∠ABC＝60°，AD＝4，以点C为圆心，CD为半径作弧，交AD于点E，交AC于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（4分）现有1角、5角、1元三种硬币共16枚，总面值是7元4角，其中1元硬币有 枚．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）（1）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+6x+1的顶点坐标．
18．（8分）计算：
（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）
（2）(a+4−3aa−1)÷a2−4a−1
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分线BE，交AD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）所作的图中，过点E作EF∥AB，交BC于点F，求证：四边形ABFE为菱形．
20．（10分）为了加快推进农村电子商务发展，积极助力脱贫攻坚工作，A，B两村的村民把特产“小土豆”在某电商平台进行销售（每箱小土豆规格一致），该电商平台从A，B两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的土豆箱数（用x表示）进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，49，42，42，43
B村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，43，48，46
平均数、中位数、众数如表所示
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ ；b＝ ；m＝ ；
（2）你认为A，B两村中哪个村的小土豆卖得更好？请选择一个方面说明理由；
（3）在该电商平台进行销售的A，B两村村民各有225户，若该电商平台把每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？
21．（10分）如图，抛物线y=12x2+bx+c交x轴于A（﹣2，0），B两点，交y轴于点C（0，﹣4），直线y＝ax+m经过点B，C．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）直接写出不等式12x2+bx+c＞ax+m的解集；
（3）将抛物线位于第二象限的图象沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．直线y＝ax+m的平行线y＝ax+n与新图象只有1个公共点时，求n的取值范围．
22．（10分）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．
（1）求该商店11，12两个月的月均增长率；
（2）调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．
23．（10分）阅读下面材料，解决后面的问题．
一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a+b＝c+d，那么我们把这个四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数2947，因为2+9＝4+7，所以2947叫做“对头数”．
（1）判断8127和3456是不是“对头数”，并说明理由；
（2）已知一个四位正整数的个位上的数字是5，百位上的数字是3，若这个正整数是“对头数”，且这个正整数能被7整除，求这个正整数．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线位于第二象限的图象上一点，且使△APC的面积最大，求此时△APC的面积的最大值和P点的坐标．
（3）设点Q是y轴上一点，且使△ADQ为直角三角形，求出满足此条件的点Q的坐标．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一点，且∠BAD＝∠ACB，DE⊥AC于点F，交BC的平行线AE于点E．
（1）求证：AD＝DE．
（2）若BD=153，CD=15．
①求AC的长．
②过点E作EG⊥AD于点G，在射线AC上取一点M与△AEG某一边的两端点，构成以M为顶点的角等于∠ACB，求所有满足条件的AM的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）方程x（x+1）＝0的两个根是（ ）
A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1
C．x1＝0，x2＝0D．x1＝1，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程x（x+1）＝0，
所以x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．（4分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3．（4分）下列方程中有一个根为﹣1的方程是（ ）
A．x2+2x＝0B．x2+2x﹣3＝0C．x2﹣5x+4＝0D．x2﹣3x﹣4＝0
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．
【解答】解：A、当x＝﹣1时，x2+2x＝1﹣2＝﹣1，所以x＝﹣1不是方程x2+2x＝0的解；
B、当x＝﹣1时，x2+2x﹣3＝1﹣2﹣3＝﹣4，所以x＝﹣1不是方程x2+2x﹣3＝0的解；
C、当x＝﹣1时，x2﹣5x+4＝1+5+4＝10，所以x＝﹣1不是方程x2﹣5x+4＝0的解；
D、当x＝﹣1时，x2﹣3x﹣4＝1+3﹣4＝0，所以x＝﹣1是方程x2﹣3x﹣4＝0的解．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（ ）
A．50°B．25°C．100°D．65°
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】A
【分析】连接OA，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，从而求出AC的度数，然后再利用垂径定理可得AC=CD，即可解答．
【解答】解：连接OA，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝50°，
∴AC的度数为50°，
∴BC是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴AC=CD，
∴弧CD的度数为50°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
5．（4分）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意；
B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意；
D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．
6．（4分）如图，点D是⊙O的弦AB延长线上一点，CD切⊙O于点C，若OB∥CD，AB＝OB=3，则BD的长度为（ ）
A．5B．3+1C．23D．2
【考点】切线的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OC，过B作BH⊥CD于H，由切线的性质推出OC⊥CD，而OB∥CD，判定四边形OBHC是矩形，得到BH＝OC＝OB=3，判定△OAB是等边三角形，得到∠OBA＝60°，由平行线的性质推出∠D＝∠OBA＝60°，由sinD=BHBD=32，即可求出BD＝2．
【解答】解：连接OC，过B作BH⊥CD于H，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∵OB∥CD，
∴四边形OBHC是矩形，
∴BH＝OC＝OB=3，
∵AB＝OB＝OA，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，
∵OB∥CD，
∴∠D＝∠OBA＝60°，
∵sinD＝sin60°=BHBD=32，
∴BD＝2，
故选：D．
【点评】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，关键是由切线的性质，平行线的性质推出四边形OBHC是矩形，得到BH＝OC=3，由锐角的正弦即可求出OB的长．
7．（4分）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上
B．明天太阳从西边升起
C．任意购买一张电影票，座位号是偶数
D．打开电视正在播出“新闻联播”
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，判断即可．
【解答】解：A、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、明天太阳从西边升起，是不可能事件，故B符合题意；
C、任意购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视正在播出“新闻联播”，是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
8．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≤0C．k≠1且k≠0D．k≤1且k≠0
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据根的判别式结合一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：由题意：Δ＝22﹣4k≥0且k≠0，
∴k≤1且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，解题关键是掌握当Δ≥0时，方程才有实数根．
9．（4分）某市2020年投入了教育专项经费7200万元，用于发展本市的教育，预计到2022年将投入教育专项经费三年共需23832万元，若每年增长率都为x，下列方程正确的是（ ）
A．7200（1+x）＝23832
B．7200（1+x）2＝23832
C．7200+7200（1+x）+7200（1+x）2＝23832
D．7200x2＝23832
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据该市2020年及三年年投入教育专项经费的金额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：7200+7200（1+x）+7200（1+x）2＝23832，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（4分）已知关于x的分式方程nx(x−3)(x−4)=3x−3+2x−4的解为正整数，且关于y的不等式组n−y＞6y+5≤3(y+5)无解，则所有符合条件的整数n的和为（ ）
A．﹣7B．﹣16C．﹣17D．﹣18
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据分式方程有正整数解确定出n的值，再由不等式组无解确定出满足题意n的值，求出之和即可．
【解答】解：分式方程去分母得：nx＝3（x﹣4）+2（x﹣3），
整理得：（n﹣5）x＝﹣18，
解得：x=185−n，
由分式方程有正整数解，得到n＝﹣13，﹣4，﹣1，2，3，4，
当n＝﹣1时，x＝3，原分式方程无解，
所以n＝﹣13，﹣4，2，3，4，
不等式组整理得：y＜n−6y≥−5，
由不等式组无解，得n﹣6≤﹣5，
所以n≤1，
∴n＝﹣13，﹣4，
∴﹣13﹣4＝﹣17．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（4分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象分别与x轴、y轴交于A点、B点和C点，已知OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
①abc＞0；
②4ac＜b2；
③（a+c）2＞b2；
④ac+b+1＝0．
其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题意，根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断．
【解答】解：①观察图象可知，开口方向向上，
∴a＞0．
对称轴在右侧，
∴−b2a＞0．
∴b＜0．
又抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0．
∴abc＞0，故正确．
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0．
∴4ac＜b2，故正确．
③∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0；
x＝1时，y＝a+b+c＜0．
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0．
∴（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2，故错误．
④设C（0，c），则OC＝|c|，
∵OA＝OC＝|c|，
∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0．
又c≠0，
∴ac+b+1＝0，故正确．
故正确的结论有①②④三个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
12．（4分）如图，点A的坐标为（6，0），点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以OB，AB为直角边分别在第三、第四象限内作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】作EN⊥y轴于N，求出∠NBE＝∠BAO，证△ABO≌△BEN，求出∠OBF＝∠FBP＝∠BNE＝90°，证△BFP≌△NEP，推出BP＝NP，即可得出答案．
【解答】解：作EN⊥y轴于N，如图所示：
由等腰三角形的性质可知：OB＝BF，AB＝BE，∠ABE＝∠OBF＝90°，
∴∠ENB＝∠BOA＝∠ABE＝90°，
∴∠OBA+∠NBE＝90°，∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠NBE＝∠BAO，
∵∠AOB=∠BNE∠BAO=∠NBEAB=BE，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴OB＝NE＝BF．
∵∠FPB=∠EPN∠FBP=∠ENP=90°BF=NE，
∴△BFP≌△NEP（AAS），
∴BP＝NP，
又∵点A的坐标为（6，0），
∴OA＝BN＝6，
∴BP＝NP＝3，
故选：C．
【点评】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，关键是根据全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等解答．
二．解答题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）解方程：
（Ⅰ）x2+x﹣12＝0；
（Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（Ⅰ）x1＝﹣4，x2＝3；
（Ⅱ）x1＝1，x2=25．
【分析】（Ⅰ）利用因式分解法解方程；
（Ⅱ）先移项得5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3；
（Ⅱ）5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（5x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或5x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2=25．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
14．（4分）从3名男生、2名女生中随机抽选两人参加植树节活动，则刚好选到一名男生、一名女生的概率为 35 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】35．
【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：作出树状图如图所示：
抽取的等可能结果有20种，每种结果出现的可能性相同．其中刚好选到一名男生、一名女生的有12种，
∴刚好选到一名男生、一名女生的概率为1220=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，∠ABC＝60°，AD＝4，以点C为圆心，CD为半径作弧，交AD于点E，交AC于点F，则阴影部分的面积为 3−π3 ．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；正多边形与圆；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】3−π3．
【分析】根据平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系求出CD的长，扇形圆心角度数，根据扇形面积的计算方法，依据S阴影部分＝S△ACE﹣S扇形CEF进行计算即可
【解答】解：如图，连接CE，过点C作CG⊥AD于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，
∵AB⊥AC，
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°＝∠CAD，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝4，
∴CD=12AD＝2，
又∵CD＝CE，
∴△CDE是正三角形，
∴CG=32CD=3，
∴S阴影部分＝S△ACE﹣S扇形CEF
=12×（4﹣2）×3−30π×22360
=3−π3．
故答案为：3−π3．
【点评】本题考查平行四边形的性质，扇形面积的计算，掌握平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算方法是掌握解答的关键．
16．（4分）现有1角、5角、1元三种硬币共16枚，总面值是7元4角，其中1元硬币有 2或6 枚．
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2或6．
【分析】根据1×1元硬币的枚数+0.5×5角硬币的枚数+0.1×1角硬币的枚数＝7.4元列出方程解答即可．
【解答】解：设1元硬币有x枚，5角硬币有y枚，则1角硬币有（16﹣x﹣y）枚，由题意得
x+0.5y+0.1（16﹣x﹣y）＝7.4，
整理得y=58−9x4，
因为x≥0，y=58−9x4≥0，
∴0≤x≤589．
∵x、y为整数，
∴x＝2或6，
∴1元硬币有2枚或6枚．
故答案为：2或6．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是关键．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）（1）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+6x+1的顶点坐标．
【考点】二次函数的性质；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）x1=23，x2＝3．
（2）（32，112）．
【分析】（1）通过因式分解法求解．
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（2﹣3x）（x﹣3）＝0，
解得x1=23，x2＝3．
（2）∵y＝﹣2x2+6x+1＝﹣2（x2﹣3x）+1＝﹣2（x−32）2+112，
∴抛物线顶点坐标为（32，112）．
【点评】本题考查二次函数的性质及解一元二次方程，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握解一元二次方程的方法．
18．（8分）计算：
（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）
（2）(a+4−3aa−1)÷a2−4a−1
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）
＝x2﹣2xy+y2﹣y2+2xy
＝x2；
（2）(a+4−3aa−1)÷a2−4a−1
=a(a−1)+(4−3a)a−1⋅a−1(a+2)(a−2)
=a2−a+4−3a(a+2)(a−2)
=(a−2)2(a+2)(a−2)
=a−2a+2．
【点评】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分线BE，交AD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）所作的图中，过点E作EF∥AB，交BC于点F，求证：四边形ABFE为菱形．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）结合角平分线的定义、平行四边形的性质以及菱形的判定证明即可．
【解答】（1）解：如图，BE即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF．
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴四边形ABFE是菱形．
【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定是解答本题的关键．
20．（10分）为了加快推进农村电子商务发展，积极助力脱贫攻坚工作，A，B两村的村民把特产“小土豆”在某电商平台进行销售（每箱小土豆规格一致），该电商平台从A，B两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的土豆箱数（用x表示）进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，49，42，42，43
B村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，43，48，46
平均数、中位数、众数如表所示
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ 4 ；b＝ 1 ；m＝ 48 ；
（2）你认为A，B两村中哪个村的小土豆卖得更好？请选择一个方面说明理由；
（3）在该电商平台进行销售的A，B两村村民各有225户，若该电商平台把每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？
【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）4，1，49；
（2）A，B两村中A村的小土豆卖得更好，理由见解答；
（3）估计两村共有195户村民会被列为重点培养对象．
【分析】（1）由题意以及中位数的定义即可得出答案；
（2）①A村的平均数比B村大；②A村的中位数比B村大；③A村的众数比B村大；
（3）求出A，B两村中抽取的15户中每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民分别有6户、7户，即可得出答案．
【解答】解：（1）由B村的中位数为46，
即中间第8个为46，
∴1+5+b＝7，
∴b＝1，
∴a＝15﹣1﹣4﹣5﹣1＝4，
A村的中位数为第8个数49，即m＝49；
故答案为：4，1，49；
（2）A，B两村中A村的小土豆卖得更好，理由如下：
①A村的中位数比B村大；
②A村的众数比B村大；
（3）A，B两村抽取的15户中每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民有8﹣2＝6（户），
450×6+715+15=195（户）；
答：估计两村共有91户村民会被列为重点培养对象．
【点评】本题也考查了平均数、中位数、众数、数据的整理、用样本估计总体等知识；熟练掌握平均数、中位数、众数的定义是解题的关键．
21．（10分）如图，抛物线y=12x2+bx+c交x轴于A（﹣2，0），B两点，交y轴于点C（0，﹣4），直线y＝ax+m经过点B，C．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）直接写出不等式12x2+bx+c＞ax+m的解集；
（3）将抛物线位于第二象限的图象沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．直线y＝ax+m的平行线y＝ax+n与新图象只有1个公共点时，求n的取值范围．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；二次函数图象及其性质；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=12x2−x−4，y＝x﹣4；
（2）x＜0或x＞4；
（3）n＞2或n＜﹣6．
【分析】（1）先用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B的坐标，再求直线BC的解析式；
（2）根据图象写出答案即可；
（3）求出直线y＝ax+n过点A时n的值和与抛物线相切时n的值即可求解．
【解答】解：把A（﹣2，0），C（0，﹣4）代入y=12x2+bx+c，
得2−2b+c=0c=−4，
解得b=−1c=−4，
∴y=12x2−x−4，
解12x2−x−4=0，
得x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0），
把B（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax+m，
得4a+m=0m=−4，
解得a=1m=−4，
∴y＝x﹣4；
（2）由图象可知，当x＜0或x＞4时，12x2+bx+c＞ax+m成立；
（3）∵直线y＝ax+m与y＝ax+n平行，
∴y＝x+n．
把A（﹣2，0）代入y＝x+n，
得0＝﹣2+n，
∴n＝2，
由图象可知，当n＞2时，y＝ax+n与新图象只有1个公共点．
联立y=12x2−x−4和y＝x+n，
得12x2−x−4=x+n，
∴x2﹣4x﹣2n﹣8＝0，
由Δ＝0，得16﹣4（﹣2n﹣8）＝0，
∴n＝﹣6，
由图象可知，当n＜﹣6时，y＝ax+n与新图象只有1个公共点．
综上可知，当n＞2或n＜﹣6时，y＝ax+n与新图象只有1个公共点．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，图象法解不等式，以及图象法判断方程的根，数形结合是解答本题的关键．
22．（10分）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．
（1）求该商店11，12两个月的月均增长率；
（2）调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50（1+x）台，12月份售出50（1+x）2台，根据该商店去年第四季度累计售出182台，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为（y﹣2500）元，平均每天可售出（8+4×2900−y50）台，利用总利润＝每台的销售利润×平均每天的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50（1+x）台，12月份售出50（1+x）2台，
根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182，
整理得：25x2+75x﹣16＝0，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）．
答：该商店11，12两个月的月均增长率为20%；
（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为（y﹣2500）元，平均每天可售出（8+4×2900−y50）台，
根据题意得：（y﹣2500）（8+4×2900−y50）＝5000，
整理得：y2﹣5500y+7562500＝0，
解得：y1＝y2＝2750．
答：每台冰箱的售价为2750元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）阅读下面材料，解决后面的问题．
一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a+b＝c+d，那么我们把这个四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数2947，因为2+9＝4+7，所以2947叫做“对头数”．
（1）判断8127和3456是不是“对头数”，并说明理由；
（2）已知一个四位正整数的个位上的数字是5，百位上的数字是3，若这个正整数是“对头数”，且这个正整数能被7整除，求这个正整数．
【考点】整式的加减；列代数式．
【专题】新定义；整式；运算能力．
【答案】（1）8127是“对头数”，3456不是“对头数”，理由见解答；
（2）8365．
【分析】（1）利用题中的新定义“对头数”判断即可；
（2）设这个正整数千位上数字为b，十位数字为a，利用7的倍数关系及“对头数”的定义，分类讨论即可得出答案．
【解答】解：（1）因为8+1＝2+7，所以8127是“对头数”；
因为3+4≠5+6，所以3456不是“对头数”；
（2）设这个正整数千位上数字为b，十位数字为a，0≤a≤9，0≤b≤9，
根据这个正整数是“对头数”，得：a+5＝b+3，即b＝a+2，
∴这个四位数为1000b+300+10a+5
＝1000（a+2）+300+10a+5
＝1010a+2305，
∵1010＝7×144……2，2305＝7×329……2，
∴1010a+2305
＝（7×144+2）a+7×329+2
＝7（144a+329）+2a+2，
∵这个四位数能被7整除，即这个四位数是7的倍数，
∴2a+2必须是7的倍数，
当2a+2＝0，即a＝﹣1时，不符合题意；
当2a+2＝7，即a＝2.5，不符合题意；
当2a+2＝7×2，即a＝6时，符合题意，此时b＝8，即四位数为8365；
当2a+2＝7×3，即a＝9.5，不符合题意；
综上所述，这个正整数为8365．
【点评】此题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线位于第二象限的图象上一点，且使△APC的面积最大，求此时△APC的面积的最大值和P点的坐标．
（3）设点Q是y轴上一点，且使△ADQ为直角三角形，求出满足此条件的点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；分类讨论；几何直观；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）278，P（−32，154）；
（3）Q的坐标为（0，72）或（0，−32）或（0，1）或（0，3）．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），可设交点式，再将C（0，3）代入求解；
（2）过点P作PF⊥x轴于F，交直线AC于E，设P（m，﹣m2﹣2m+3），利用待定系数法求直线AC解析式，用含m的代数式表示S△APC，再运用二次函数最值方法求解即可；
（3）先求出顶点坐标，设点Q（0，n），运用勾股定理或两点间距离公式表示出AD2，QD2，QA2，再根据△ADQ为直角三角形，分三种情况讨论：∠ADQ＝90°或∠DAQ＝90°或∠AQD＝90°．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），
∴设y＝a（x+3）（x﹣1），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点P作PF⊥x轴于F，交直线AC于E，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，
得−3k+b=0b=3，
解得：k=1b=3，
∴直线AC解析式为y＝x+3，
∴E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△APC＝S△APE+S△PEC=12•PE•（m+3）+12•PE•（﹣m）=32（﹣m2﹣3m）=−32（m+32）2+278，
∵−32＜0，﹣3＜m＜0，
∴当m=−32时，S△APC有最大值，且最大值为278，此时点P的坐标为（−32，154）；
（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，4），
设点Q（0，n），
AD2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+（4﹣0）2＝20，QA2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣n）2＝9+n2，QD2＝（﹣1﹣0）2+（4﹣n）2＝n2﹣8n+17，
∵△ADQ为直角三角形，
∴∠ADQ＝90°或∠DAQ＝90°或∠AQD＝90°，
①当∠ADQ＝90°时，AD2+QD2＝QA2，
∴20+n2﹣8n+17＝9+n2，
解得：n=72，
∴Q（0，72）；
②当∠DAQ＝90°时，AD2+QA2＝QD2，
∴20+9+n2＝n2﹣8n+17，
解得：n=−32，
∴Q（0，−32）；
③当∠AQD＝90°时，QA2+QD2＝AD2，
∴9+n2+n2﹣8n+17＝20，
解得：n1＝1，n2＝3，
∴Q（0，1）或（0，3）；
综上所述，Q的坐标为（0，72）或（0，−32）或（0，1）或（0，3）．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，一次函数性质，待定系数法求函数解析式，二次函数最值运用，直角三角形性质等知识，解题关键是熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等，灵活运用方程思想和分类讨论思想．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一点，且∠BAD＝∠ACB，DE⊥AC于点F，交BC的平行线AE于点E．
（1）求证：AD＝DE．
（2）若BD=153，CD=15．
①求AC的长．
②过点E作EG⊥AD于点G，在射线AC上取一点M与△AEG某一边的两端点，构成以M为顶点的角等于∠ACB，求所有满足条件的AM的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）①AC=1033；
②AM=1033或833或433．
【分析】（1）证明∠EAD＝∠ADB，∠AED＝∠CDE，∠ADB＝∠EDC，进而证明结论；
（2）①证明△ABD∽△CBA，得出比例式，求出AB，进一步求得结果；
②分为∠AME＝∠ACB，∠ECG＝∠ACB，∠AMG＝∠ACB．当∠AME∠ACB时，在CF上截取FM＝AF，求出AF的长，进而求得AM，当∠ECG＝∠ACB时，可证得M点和C点重合，此时AM＝AC，当∠AMG＝∠ACB，此时点M和点F重合，进一步求得结果．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CDF，∠DAE＝∠ADB，
∵∠B＝∠CFD＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠ACB+∠CDF＝90°，
∴∠ADB＝∠CDF，
∴∠E＝∠DAE，
∴AD＝DE；
（2）①BC＝BD+CD=4153，
∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠ACB，
∴△BAD∽△BCA，
∴ABBC=BDAB，
∴AB2＝BD•BC=153×4153=49×15，
∴AB=2153，
∴AC=AB2+BC2=(2315)2+(4315)2=1033；
②如图1，
当以EG的两个端点与M点组成的∠EMG＝∠ACB时，
作EH∥AB交AD的延长线于H，
∴△DOH∽△DBA，
∴ABOH=BDOD=ADDH，
∵AB⊥BC，
∴EH⊥BC，
∴∠DOE＝∠DOH＝90°，
∵∠ODH＝∠ADB，∠ABD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠ODH，
∴∠DEH＝∠H，
∴DH＝DE，
∵AD＝DE，
∴AD＝DH，
∴ABOH=BDOD=1，DE＝DH，
∴OD＝BD=153，OE＝OH，
∴OC＝CD﹣OD=2153，
∴OC＝OB＝OH＝AB=2153，
∵∠EGH＝90°，
∴OG＝OE＝OH=12EH=2153，
∴E、G、H、C在以O为圆心，OC为半径的圆上，
∴∠ECG＝∠H＝∠BAD＝∠ACB，
∴点M和点C重合，
∴此时AM＝AC=1033，
如图2，
当以AE的两个端点时，
在AC上截取FM＝AF，
∵DE⊥AC，
∴AE＝EM，
∴∠EAC＝∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠AME＝∠ACB，
DE＝AD=AB2+BD2=(153)2+(2153)2=533，
∵S△ADE=12AE⋅AB=12DE⋅AF，
∴AF=AE⋅ABDE=2153×2153533=833，
∴AM＝AF=833；
如图3，
当以AG的两个端点时，此时点M在F点处，
在△AGE和△EDA中，
∠AGE=∠AFE∠DAE=∠AEDAE=EA，
∴△AGE≌△EDA（AAS），
∴AG＝EF，
∵AD＝ED，
∴AD﹣AG＝ED﹣EF，
∴DG＝DF，
∴DGAD=DFDE，
∵∠ADE＝∠ADE，
∴△DFG∽△DEA，
∴∠DGE＝∠DAE，
∴GF∥AE，
∴∠AFG＝∠ACB，
∴点M在F处，
∴AM＝AF=433，
综上所述：AM=1033或833或433．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据条件确定点的位置的特殊性．土豆箱数
＜30
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
≥60
A村
0
3
5
5
2
B村
1
a
4
5
b
村名
平均数
中位数
众数
A村
48.8
m
59
B村
48.8
46
56
土豆箱数
＜30
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
≥60
A村
0
3
5
5
2
B村
1
a
4
5
b
村名
平均数
中位数
众数
A村
48.8
m
59
B村
48.8
46
56