广东省深圳市2024-2025学年九年级下学期开学适应性模拟考 数学练习卷（含解析）

这是一份广东省深圳市2024-2025学年九年级下学期开学适应性模拟考 数学练习卷（含解析），共33页。

A．主视图和俯视图B．主视图和左视图
C．左视图和俯视图D．三个视图均相同
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≥0C．k＜0D．k≤0
3．（3分）（2021秋•资阳区校级期中）对反比例函数y=3x的叙述中，错误的是（ ）
A．图象经过（1，3）
B．在每个象限内y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．图象经过二、四象限
4．（3分）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是（ ）
A．AD⊥CDB．AD＝CDC．AC⊥BDD．AC＝BD
5．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则盒子中大约有白球（ ）个．
A．10B．12C．15D．18
6．（3分）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（ ）
A．增长了1mB．缩短了1m
C．增长了1.2mD．缩短了1.2m
7．（3分）某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（ ）
A．100（x+1）2＝331
B．100（x+1）+100（x+1）2＝331
C．100+100（x+1）2＝331
D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝331
8．（3分）如图，已知点M在反比例函数y=kx（k＜0）位于第二象限的图象上，点N在x轴的负半轴上，连接MN交该图象于点P，若△OPM恰好是以OM为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：①∠PON的度数随着k的值的变化而变化；②△POM的面积随着k的值的变化而变化；③tan∠PON=5-12；④△POM的面积为98k．其中，正确的有（ ）
A．①B．①②C．②③D．②④
9．（3分）某钢铁厂一月份的产量为5000t，三月份上升到7200t，则这两个月平均增长的百分率为（ ）
A．12%B．2%C．1.2%D．20%
10．（3分）如图．在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，DG⊥AC于G，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②AF=12AG；③DF＝DC；④S四边形CDEF=52S△ABF．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知a，b，c是非零实数，且b+ca=a+cb=a+bc=k，则k的值为 ．
12．（3分）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则αβ+βα的值是 ．
13．（3分）如图，若DE∥BC，AB＝7，AD＝3，AE＝25，则EC＝ ；若AD＝3，DB＝7，AC＝8，则EC＝ ；若AD：DB＝2：3，EC﹣AE＝2，则AE＝ ，EC＝ ．
14．（3分）我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等（即每个“E”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得l1＝14cm，l2＝7cm，他选择了一张面积为4cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么能够刚好剪得第①个大“E”形图的是面积为 cm2的正方形卡纸．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝3，∠C＝90°，点D在边BC上（不与点B，点C重合），联结AD，点E在边AB上，∠EDB＝∠ADC．已知点H在射线AC上，联结EH交线段AD于点G，当CH＝1，且∠AEH＝∠BED时，则BEAB= .
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣3）2＝3（x﹣3）．
17．（8分）某中学对全校九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是 度；
（3）学校九年级共有600人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩类别可以达到“中”（不包括“中”）以上？
（4）学校准备从成绩进步最大的3名同学（1名男生、2名女生）中随机选取2名同学介绍学习经验，则选出的同学恰好是2名女生的概率是 ．
18．（6分）图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求△ABC与△A'B'C'的相似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于1.5．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝5，AB＝6，求菱形ADCF的面积．
20．（8分）（2023•封开县三模）如图，反比例函数y=kx与一次函数y＝ax+b交于A（3，1）和B（﹣1，m）两点．
（1）根据题中所给的条件，求出一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合函数图象，指出当kx＞ax+b时，x的取值范围．
21．（9分）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题．
（1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下：
①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35；
②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；
③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5．
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 ．
（2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．
（3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝ ，b＝ ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 ．
22．（10分）如图，反比例函数y1=k1x(k1≠0)与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A（1，m）和点B（﹣2，﹣2），以AB为边作正方形ABCD（点A、B、C、D逆时针排列）．
（1）求m的值和一次函数y2的解析式．
（2）求点C的坐标．
（3）将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数y1的图象上（点M与点A不重合），当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的一个几何体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ）
A．主视图和俯视图B．主视图和左视图
C．左视图和俯视图D．三个视图均相同
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为两列，小正方形的个数分别为3、1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≥0C．k＜0D．k≤0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程有实数根，可知b2﹣4ac≥0，求出解即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣（k﹣1）＝0有实数根，
∴b2﹣4ac≥0，
即22﹣4[﹣（k﹣1）]≥0，
解得k≥0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握b2﹣4ac与一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的关系是解题的关键．即当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根．
3．（3分）（2021秋•资阳区校级期中）对反比例函数y=3x的叙述中，错误的是（ ）
A．图象经过（1，3）
B．在每个象限内y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．图象经过二、四象限
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、当x＝1时，y＝3，图象经过点（1，3），故不符合题意；
B、∵k＝3＞0，∴图象位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故不符合题意；
C、图象与坐标轴无交点，故不符合题意；
D、k＝3＞0，图象位于一、三象限，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=kx，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
4．（3分）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是（ ）
A．AD⊥CDB．AD＝CDC．AC⊥BDD．AC＝BD
【考点】矩形的判定；平行线的性质．
【答案】C
【分析】根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出∠E＝90°即可．
【解答】解：添加的条件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出平行四边形EFHGH和∠E＝90°是解此题的关键．
5．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则盒子中大约有白球（ ）个．
A．10B．12C．15D．18
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据共摸球40次，其中10次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：3；即可计算出白球数．
【解答】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，
∴有30次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，
∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3，
∴4÷13=12（个）．
故选：B．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式．
6．（3分）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（ ）
A．增长了1mB．缩短了1m
C．增长了1.2mD．缩短了1.2m
【考点】相似三角形的应用；中心投影．
【专题】图形的相似；投影与视图；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，证△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，得BCAC=BGAP，DEAE=DHAP，解得BC＝1.2（m），DE＝2.4（m），即可解决问题．
【解答】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，
则AB＝AD﹣BD＝4.8﹣2.4＝2.4（m），BG＝DH＝1.6m，BG∥AP∥DH，
∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，
∴BCAC=BGAP，DEAE=DHAP，
即BC2.4+BC=1.64.8，DE4.8+DE=1.64.8，
解得：BC＝1.2，DE＝2.4，
∴DE﹣BC＝2.4﹣1.2＝1.2（m），
即此时小明影子的长度缩短了1.2m，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及中心投影等知识；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
7．（3分）某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（ ）
A．100（x+1）2＝331
B．100（x+1）+100（x+1）2＝331
C．100+100（x+1）2＝331
D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝331
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】由该棉签生产工厂2022年十月棉签产值及月平均增长率，可得出该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达100（x+1）万元，十二月棉签产值达100（x+1）2万元，结合该棉签生产工厂2022年第四季度总产值达331万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，且月平均增长率的百分数是x，
∴该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达100（x+1）万元，十二月棉签产值达100（x+1）2万元．
根据题意得：100+100（x+1）+100（x+1）2＝331．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，已知点M在反比例函数y=kx（k＜0）位于第二象限的图象上，点N在x轴的负半轴上，连接MN交该图象于点P，若△OPM恰好是以OM为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：①∠PON的度数随着k的值的变化而变化；②△POM的面积随着k的值的变化而变化；③tan∠PON=5-12；④△POM的面积为98k．其中，正确的有（ ）
A．①B．①②C．②③D．②④
【考点】黄金分割；解直角三角形；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用；图形的全等；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】过P作PH⊥x轴于H，过M作MG⊥PH于G，过M作ML⊥x轴于L，设P（t，kt），由△OPM是以OM为斜边的等腰直角三角形，证明△POH≌△MPG（AAS），可得M（t+kt，﹣t+kt），而M在反比例函数y=kx（k＜0）位于第二象限的图象上，有（t+kt）（﹣t+kt）＝k，可得t2=-1-52k，故tan∠PON=PHOH=kt-t=-kt2=5-12，③正确，①错误；求出PM2=k2t2+t2=k2-1-52k+-1-52k=-5k，可得△POM的面积为PM22=-52k，④错误；②正确．
【解答】解：过P作PH⊥x轴于H，过M作MG⊥PH于G，过M作ML⊥x轴于L，如图：
设P（t，kt），则OH＝﹣t，PH=kt，
∵△OPM是以OM为斜边的等腰直角三角形，
∴∠MPO＝90°，PM＝OP，
∴∠OPH＝90°﹣∠GPM＝∠PMG，
∵∠PHO＝∠G＝90°，
∴△POH≌△MPG（AAS），
∴OH＝PG＝﹣t，PH＝GM=kt，
∴OL＝OH﹣GM＝﹣t-kt，GH＝PG+PH＝﹣t+kt，
∴M（t+kt，﹣t+kt），
∵M在反比例函数y=kx（k＜0）位于第二象限的图象上，
∴（t+kt）（﹣t+kt）＝k，
∴k2t2-t2＝k，即（t2）2+kt2﹣k2＝0；
解得t2=-1±52k，
∵t2＞0，k＜0，
∴t2=-1-52k，
∴tan∠PON=PHOH=kt-t=-kt2=-k-1-52k=5-12，故③正确，
∴∠PON的度数不会随着k的值的变化而变化，故①错误；
∵P（t，kt），M（t+kt，﹣t+kt），
∴PM2=k2t2+t2=k2-1-52k+-1-52k=-5k，
∴△POM的面积为PM22=-52k，故④错误；
∴△POM 的面积随着k的值的变化而变化，故②正确；
∴正确的有②③，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，涉及全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，证明△POH≌△MPG，从而表达出M的坐标．
9．（3分）某钢铁厂一月份的产量为5000t，三月份上升到7200t，则这两个月平均增长的百分率为（ ）
A．12%B．2%C．1.2%D．20%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以求得这两个月平均每月增长的百分率．
【解答】解：设两个月平均每月增长的百分率为x，
5000（1+x）2＝7200，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
即两个月平均每月增长的百分率为20%，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长的百分率是正值．
10．（3分）如图．在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，DG⊥AC于G，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②AF=12AG；③DF＝DC；④S四边形CDEF=52S△ABF．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90°，利用∠AFE＝∠CBA，∠EAF＝∠BCA可判断△AEF∽△CAB，则可对①进行判断；通过证明EF∥DG，则利用平行线分线段成比例得到AFAG=AEAD=12，则可对②进行判断；利用△AEF∽△CAB得到AFCF=AEBC=12，所以AF＝FG＝CG，于是得到DG垂直平分CF，则可对③进行判断；设△AEF的面积为S，利用三角形面积公式得到S△DEF＝S，S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S，然后利用△AEF∽△CFB得到EFBF=AEBC=12，所以S△ABF＝2S，则S四边形CDEF：S△ABF＝（S+2S+2S）：2S，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∵∠AFE＝∠CBA，∠EAF＝∠BCA，
∴△AEF∽△CAB，所以①正确；
∵BE⊥AC，DG⊥AC，
∴EF∥DG，
∴AFAG=AEAD，
而E是AD边的中点，
∴AE=12AD，
∴AF=12AG，所以②正确；
∵AE=12AD，AD＝BC，
∴AE=12BC，
∵△AEF∽△CFB，
∴AFCF=AEBC=12，
∵AF＝FG，
∴AF＝FG＝CG，
∴DG垂直平分CF，
∴DC＝DF，所以③正确；
设△AEF的面积为S，则S△DEF＝S，
∴S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S，
∵△AEF∽△CFB，
∴EFBF=AEBC=12，
∴S△ABF：S△AEF＝1：2，
即S△ABF＝2S，
∴S四边形CDEF：S△ABF＝（S+2S+2S）：2S，
∴S四边形CDEF=52S△ABF．所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．运用相似三角形的性质可证明线段之间的关系，也可进行几何计算．也考查了矩形的性质．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知a，b，c是非零实数，且b+ca=a+cb=a+bc=k，则k的值为 2或﹣1 ．
【考点】比例的性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】2或﹣1．
【分析】分为两种情况：①当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，求出k=-aa=-1，②当a+b+c≠0时，求出k=2(a+b+c)a+b+c=2，再得出答案即可．
【解答】解：分为两种情况：①当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，
所以k=b+ca=-aa=-1，
②当a+b+c≠0时，
∵b+ca=a+cb=a+bc=k，
∴k=b+c+a+c+a+ba+b+c
=2a+2b+2ca+b+c
=2(a+b+c)a+b+c
＝2，
所以k＝2或﹣1，
故答案为：2或﹣1
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
12．（3分）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则αβ+βα的值是 -2910 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】-2910．
【分析】根据根与系数的关系可得α+β=-32，αβ=-52，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可求出代数式的值．
【解答】解：∵α+β=-32，αβ=-52，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ=294，
∴αβ+βα=α2+β2αβ=-2910，
故答案为：-2910．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及完全平方公式，分式的计算等，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
13．（3分）如图，若DE∥BC，AB＝7，AD＝3，AE＝25，则EC＝ 1003 ；若AD＝3，DB＝7，AC＝8，则EC＝ 285 ；若AD：DB＝2：3，EC﹣AE＝2，则AE＝ 4 ，EC＝ 6 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】1003；285；4，6．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，AB＝7，AD＝3，AE＝25，
∴ADDB=AEEC，即37-3=25EC，
解得：EC=1003；
∵DE∥BC，AD＝3，DB＝7，AC＝8，
∴ADDB=AEEC，即37=8-ECEC，
解得：EC=285；
∵EC﹣AE＝2，
∴AE＝EC﹣2，
∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC，
∵AD：DB＝2：3，
即23=EC-2EC，
解得：EC＝6，
∴AE＝EC﹣2＝4；
故答案为：1003；285；4，6．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14．（3分）我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等（即每个“E”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得l1＝14cm，l2＝7cm，他选择了一张面积为4cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么能够刚好剪得第①个大“E”形图的是面积为 16 cm2的正方形卡纸．
【考点】相似三角形的应用；正方形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】16．
【分析】由题意可知△PP2D2∽△PP1D1，再由相似三角形的性质：面积比等于相似比即可求出能够刚好剪得第①个大“E”形图的面积．
【解答】解：∵每个“E”形图近似于正方形，
∴P2D2∥P1D1，
∴△PP2D2∽△PP1D1，
∵l1＝14cm，l2＝7cm，
∴P2D2：P1D1＝1：2，
∵第②个小“E”形图是4cm2的正方形卡纸，
∴第①个大“E”形图的＝4×4＝16（cm2），
故答案为：16．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例建立数量关系以及建立适当的数学模型来解决问题．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝3，∠C＝90°，点D在边BC上（不与点B，点C重合），联结AD，点E在边AB上，∠EDB＝∠ADC．已知点H在射线AC上，联结EH交线段AD于点G，当CH＝1，且∠AEH＝∠BED时，则BEAB= 12或15 .
【考点】等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】12或15．
【分析】根据点H在射线AC上，CH＝1，有以下两种情况：①当点H在线段AC上时，过点A作AF∥BC交DE延长线于F，则AH＝2，过点D作DM⊥AF于M，证四边形AMDC为矩形得AM＝CD，证△AEH和△AEF全等得AH＝AF＝2，再证∠F＝∠FAD得DA＝DF，则AM＝MF=12AF＝1，进而得CD＝AM=12AF＝1，BD＝2，然后证△BED∽△AEF得BEAE=BDDF=1，由此可得BEAB的值；②当点H在AC的延长线上时，过点A作AF∥BC交DE延长线于F，则AH＝4，同理可证△AEH≌△AEF（ASA），CD=12AF，△BED∽△AEF，则AH＝AF＝4，CD=12AF＝2，BEAE=BDAF，由此得BD＝BC﹣CD＝1，则BEAE=BDAF=14，由此可得BEAB的值，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵点H在射线AC上，CH＝1，
∴有以下两种情况：
①当点H在线段AC上时，过点A作AF∥BC交DE延长线于F，过点D作DM⊥AF于M，如图1所示：
∵∠C＝90°，
∴∠FAC＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠FAC＝∠C＝∠AMD＝90°，
∴四边形AMDC为矩形，
∴AM＝CD，
∵AC＝BC＝3，CH＝1，
∴∠B＝∠CAB＝45°，AH＝AC﹣CH＝2，
∵∠AEH＝∠BED，∠BED＝∠AEF，
∴∠AEH＝∠AEF，
∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠B，∠F＝EDB，∠FAD＝∠ADC，
∴∠CAB＝∠FAE＝45°，
在△AEH和△AEF中，
∠CAB=∠FAEAE=AE∠AEH=∠AEF，
∴△AEH≌△AEF（ASA），
∴AH＝AF＝2，
∵∠F＝EDB，∠FAD＝∠ADC，∠EDB＝∠ADC，
∴∠F＝∠FAD，
∴DA＝DF，
∴AM＝MF=12AF＝1，
∴CD＝AM=12AF＝1，
∴BD＝BC﹣CD＝3﹣1＝2，
∵AF∥BC，
∵△BED∽△AEF，
∴BEAE=BDAF=22=1，
∴BEAB=12；
②当点H在AC的延长线上时，过点A作AF∥BC交DE延长线于F，如图2所示：
则AH＝AC+CH＝4，
同理可证：△AEH≌△AEF（ASA），CD=12AF，△BED∽△AEF，
∴AH＝AF＝4，CD=12AF＝2，BEAE=BDAF，
∴BD＝BC﹣CD＝3﹣2＝1，
∴BEAE=BDAF=14，
∴BEAB=15，
综上所述：BEAB=12或15．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造等腰三角形和相似三角形．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣3）2＝3（x﹣3）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x1＝3，x2＝6．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先移项得到（x﹣3）2﹣3（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x﹣3）2﹣3（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣3）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3﹣3＝0，
所以x1＝3，x2＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．（8分）某中学对全校九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是 72 度；
（3）学校九年级共有600人参加了这次数学考试，估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩类别可以达到“中”（不包括“中”）以上？
（4）学校准备从成绩进步最大的3名同学（1名男生、2名女生）中随机选取2名同学介绍学习经验，则选出的同学恰好是2名女生的概率是 13 ．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）图形见解析；
（2）72；
（3）384名；
（4）13．
【分析】（1）先求出抽查的总人数，即可解决问题；
（2）由360°乘以成绩类别为“优”的所占的比例即可；
（3）由九年级共有的人数乘以达到“中”（不包括“中”）以上的所占的比例即可；
（4）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：8÷16%＝50（人），
∴50﹣10﹣22﹣8＝10（人），
将条形统计图补充完整如图：
（2）在扇形统计图中，表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是：360°×1050=72°，
故答案为：72；
（3）600×10+2250=384人（名），
即估算该校九年级共有384名学生的数学成绩类别可以达到“中”（不包括“中”）以上；
（4）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，选出的同学恰好是2名女生的结果有2个，
∴选出的同学恰好是2名女生的概率为26=13，
故答案为：13．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
18．（6分）图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求△ABC与△A'B'C'的相似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于1.5．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；网格型；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）12；
（3）作图见解答过程．
【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为3：6＝1：2；
（3）要画△A2B2C2，先确定点A2的位置，因为△A2B2C2与△ABC的位似比等于1.5，因此OA2＝1.5OA，所以OA2＝9．再过点A2画A2B2∥AB交O B′于B2，过点A2画A2C2∥AC交OC′于C2．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于OAOA'=612=12；
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝5，AB＝6，求菱形ADCF的面积．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】计算题；证明题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF＝DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD＝CD，可证得结论；
（2）根据条件可证得S菱形ADCF＝S△ABC，结合条件可求得答案．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中
∠AFE=∠DBE∠DEB=∠AEFAE=DE，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝CD=12BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD•h=12BC•h＝S△ABC=12AB•AC=12×6×5=15．
【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
20．（8分）（2023•封开县三模）如图，反比例函数y=kx与一次函数y＝ax+b交于A（3，1）和B（﹣1，m）两点．
（1）根据题中所给的条件，求出一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合函数图象，指出当kx＞ax+b时，x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再求出B点坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）结合图象得到kx＞ax+b的解集即可．
【解答】解：（1）∵点A（3，1）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y=3x，
∵点B（﹣1，m）也在反比例函数y=3x的图象上，
∴m=3-1=-3，即B（﹣1，﹣3），
把点A（3，1），点B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝ax+b中，
得3a+b=1-a+b=-3，
解得a=1b=-2，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）观察图象可得，x＜﹣1或0＜x＜3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的图象，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
21．（9分）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题．
（1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下：
①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35；
②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；
③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5．
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 ﹣7 ．
（2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．
（3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝ 2 ，b＝ 3 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的解；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣7；
（2）x＝4，图形见详解；
（3）2，﹣3，1．
【分析】（1）运用直接开平方法解方程（x+x+2）2＝144，即可得到方程的另一个根．
（2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4，画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可；
（3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为x+2，由题意得x（x+2）＝3，整理得x2+2x﹣3＝0，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值．
【解答】解：（1）由（x+x+2）2＝144得，
（2x+2）2＝144，
2x+2＝±12，
∴x1＝5，x2＝﹣7，
∴原方程的另一个根是﹣7．
故答案为：﹣7；
（2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4，
画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x﹣3）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x﹣3）+32＝4×4+9＝25，因此，可得新的一元二次方程（x+x﹣3）2＝25，
∵x表示边长，
∴2x﹣3＝5，
即x＝4．
（3）∵中间围成的正方形面积为4，
∴中间正方形的边长为2，
设长方形的宽为x，则长为x+2，
由题意得x（x+2）＝3，
整理得x2+2x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3．
如图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×3+4＝16，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝16，
∵x表示边长，
∴2x+2＝4，
即x＝1．
∴方程x2+ax+b＝0的一个正根为x＝1．
故答案为：2，﹣3，1．
【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键．
22．（10分）如图，反比例函数y1=k1x(k1≠0)与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象都经过点A（1，m）和点B（﹣2，﹣2），以AB为边作正方形ABCD（点A、B、C、D逆时针排列）．
（1）求m的值和一次函数y2的解析式．
（2）求点C的坐标．
（3）将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数y1的图象上（点M与点A不重合），当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）m＝4，y＝2x+2；
（2）点C（4，﹣5）；
（3）853．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明△BGA≌△CHB（AAS），即可求解；
（3）当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M在AC上，进而求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k1＝﹣2×（﹣2）＝1×m，
解得：m＝4，
将点A（1，4）、B的坐标代入函数表达式得：
4=k2+b-2=-2k2+b，解得：k2=2b=2，
则一次函数的表达式为：y＝2x+2；
（2）过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G，交故点C和x轴的平行线于点H，
∵∠GBA+∠CBH＝90°，∠CBH+∠HBC＝90°，
∴∠GAB＝∠HBC，
∵∠BGA＝∠CHB＝90°，AB＝CB，
∴△BGA≌△CHB（AAS），
则CH＝GB＝4﹣（﹣2）＝6，BH＝GA＝1﹣（﹣2）＝3，
则点C（4，﹣5）；
（3）当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M在AC上，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣3x+7，
由（1）知，反比例函数表达式为：y=4x，
联立上述两个函数表达式得：﹣3x+7=4x，
解得：x＝1（舍去）或43，
即点M（43，3），
由点C、M的坐标得，CM=8103，
则重叠正方形的边长为22CM=853．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点M在AC上是解题的关键．