【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（湖南长沙）（原卷+答案+答题卡）

这是一份【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（湖南长沙）（原卷+答案+答题卡），文件包含开学摸底考2024-2025学年春季期九年级数学开学摸底考湖南长沙解析版docx、开学摸底考2024-2025学年春季期九年级数学开学摸底考湖南长沙参考答案docx、开学摸底考2024-2025学年春季期九年级数学开学摸底考湖南长沙考试版docx、开学摸底考2024-2025学年春季期九年级数学开学摸底考湖南长沙考试版A3docx、开学摸底考2024-2025学年春季期九年级数学开学摸底考湖南长沙答题卡docx等5份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上下册全部。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求的）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四
幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图
形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转 180 度，如果旋转后的图
形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
试卷第 33 页，共 35 页

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
2．由 8 个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，得出相应视图的形状是正确判断
的前提．根据简单组合体三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看，共三层，底层是三个小正方形，中间是一个小正方形，上面也是一
个小正方形．
故选：B
3．下列关于 x 的方程中，一元二次方程的个数是（
（1）
）
（2）
（3）
（4）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是
试卷第 34 页，共 35 页

否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）
是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者
为是一元二次方程．
【详解】解：（1）符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
（2）由已知方程得到
，属于一元一次方程，不是一元二次方程；
（3）方程二次项系数可能为 0，不是一元二次方程；
（4）不是整式方程，不是一元二次方程．
∴是一元二次方程是（1），共有 1 个，
故选：A．
4．对于反比例函数
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点 在这个函数图象上
C．若图象上有两点
，下列说法不正确的是（ ）
，
，且
，则
D．当
时，
随
的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当
，双曲线的两支分别位于第一、三象
限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小进行分析即可．
【详解】解：A. 反比例函数
中的
这个函数的图象分布在第一、三象限，故该
选项正确，不符合题意；
B. 点
在这个函数图象上，故该选项正确，不符合题意；
C. 选项没有说明两点在同一象限，所以不正确，符合题意；
D. 当
时， 随 的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
5．若
为二次函数
的图象上的三点，则
的
大小关系是（
）
A．
B．
试卷第 33 页，共 35 页

C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足
其解析式是解题的关键．分别代入 求出
的值，再比较大小即可得出结论．
到
、
、
【详解】解：代入
，
到
得，
，
同理可得：
，
，
，
．
故选：B．
6．下列语句：①三角形的内心到三角形各边的距离相等；②在同圆或等圆中，相等的弦所
对的圆周角相等；③过平面内三点可以作一个圆；④经过半径并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线；⑤相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内心，圆的基础知识的综合，根据三角形的内心的性质，弧、弦、
圆心角等知识的理解，图形结合分析即可求解．
【详解】解：①三角形的内心是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得三角形内心到三
角形各边的距离相等，正确；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，圆周角不一定相等，如图所示，
在
中，弦
弦
，弦
对应的圆周角为
，故②错误；
，弦
对应的圆周角为
，
根据图示可得，
试卷第 34 页，共 35 页

③过平面内不在同一直线的三点可以作一个圆，故③错误；
④经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故④错误；
⑤相等的圆心角所对的弧相等，如图所示，
，但
，故⑤错误．
综上所述，正确的有①，共 1 个，
故选：A ．
7．如图所示，
的顶点是正方形网格的格点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理．取格点 D，连接
，根据勾
股定理的逆定理可证得
，进而根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图，取格点 D，连接
，
根据题意得：
，
，
，
∴
，
试卷第 33 页，共 35 页

∴
，
∴
．
故选：D．
8．如图，D 是
边
上一点，添加一个条件后，仍不能使
的是（
）
A．
C．
B．
D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解，
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理．
【详解】解：A、∵
，
，
∴
，不符合题意，
B、∵
∴
，
，
，不符合题意，
无法得到
，
C、根据
D、∵
∴
，符合题意，
，
又∵
，
∴
，不符合题意，
中，
故选：C．
9．如图，在
边形
．下列结论：
；②
，点 在边
上（与点 B，C 不重合），四
为正方形，过点
作
，交
的延长线于点 ，连接 ，交 于点
①
；③
；④
，其中结论
试卷第 34 页，共 35 页

正确的序号是（
）
A．①②③④
【答案】A
B．①③④
C．②④
D．②③④
【分析】由正方形的性质得出
，
，证出
是矩形，得出
，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出
，③正确；证出 ，得出对应边成比例，得出
，④正确．
为正方形，
，由
证明 ，得出
，①正确；证明四边形
【详解】解：∵四边形
∴
∴
∵
∴
∴
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，故①正确；
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
试卷第 33 页，共 35 页

∴
，
，故②正确；
，
∵
∴
∵
∴
∴
，
，故③正确；
，
，
，
∴
，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相
似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
10．如图，二次函数
的图象过点
和
，有以下结论：
；
；
；
；
.其
中正确的是（
）
A．
C．
B．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用图象信息即可判断 ；根据
即可判断 ；根据 是方程 的根，结合两根之积 即可判断
根据两根之和 可得
时，
；
代入
即可判断，根据抛物
线与 轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断 ，熟练掌握二次函数的图象及性
质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】∵抛物线开口向下，
试卷第 34 页，共 35 页

∴
，
∵抛物线交 轴于正半轴，
∴
∵
，
，
，
∴
∴
∵
∴
，故 正确，
时，
，
，即
，故 正确，
的图象过点
∵二次函数
和
，
∴
∴
∴
∵
，
，
，故 正确，
，
∴
∴
，
，
∵
，故 正确，
时，
当
，
又∵图象过点
∴当
和
，
时，
，
，
则
∴
试卷第 33 页，共 35 页

∴
，故 正确，
正确，
综上
故选：
．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．如图，在平面直角坐标系中，已知
与
是以原点 为位似中心的位似图形，
．
且
，则
与
的面积之比是
【答案】
【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面
积比为相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
∴
与
是以原点 为位似中心的位似图形，
，
∴
，
故答案为：
．
12．将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长
分别为
为
，
，新几何体的最大横截面圆的半径
，则新几何体的表面积
．
试卷第 34 页，共 35 页

【答案】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，
，据此即可求解．
【详解】解：由图可知：新几何体的表面积
故答案为：
，
13．如图，过反比例函数
图象上的一点
作 轴的平行线交反比例函数
于点 ．连接
、
．若 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的 的几何意义，令
交
轴于 ，由题意可
，求出
，即可得解．
轴于
【详解】解：如图：令
交
，
∵点 在反比例函数
上，且
轴，
∴
∵
，
，
试卷第 33 页，共 35 页

∴
∴
，
，
∵
∴
，
，
故答案为：
．
14．下列四个小题中，正确的有
个（填个数）
根号外的因式移入根号内的结果是 ；
①把
②若
是方程
的解，则 m 的值为 2 或
．不论 m 取何值，方程都有实数根；
，则 A 的值为
；
③一元二次方程
④已知：
．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式的性质，一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求
值．根据二次根式的性质，一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值求解即可
判断．
【详解】解：①把
根号外的因式移入根号内的结果是
的解，
；①的说法错误；
②若
是方程
，解得
∴
或
；
即 m 的值为 2 或 ；②的说法正确；
③一元二次方程
，
，
，
当
时，方程都有实数根；③的说法错误；
时，
④当
∵
，
，
，
；
当
时，
试卷第 34 页，共 35 页

．④的说法错误；
综上，只有②的说法正确，共 1 个；
故答案为：1．
15．如图，在矩形
中，
，
，
是
的中点，连接
，
是边
与
上
相
一动点，沿过点 的直线将矩形折叠，使点 落在
上的点 处，当
似时，
．
【答案】
或
【分析】本题考查矩形，相似三角形，折叠，勾股定理的知识，解题的关键是掌握矩形的性
质，相似三角形的判定和性质，根据题意，求出 ，根据勾股定理求出
的值，根据折叠的性质，可得设 ，则 ，分类讨论：当
时，根据相似三角形的判定和性质，求出 ，即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
，
；
当
∴
∵
∴
，
的中点
，
，
是
∴
，
∵沿过点 的直线将矩形折叠，使点 落在
上的点 处，
∴
设
当
∴
∵
∴
∴
，
，则
，
，
，
，
，
，
试卷第 33 页，共 35 页

∴
∴
∴
，
，
；
当
∴
∵
∴
时，
，
，
，
∴
∴
∴
，
，
；
故答案为：
或
．
16．如图，点 在以
为直径的半圆上运动（点 在点 左侧，点 不与点
重合），
于点
平分 ，交 于点 ，交 于点 ．给出下面四个结论：
①
②
；
是等腰三角形；
③当
③
，
时，
的面积为
；
．
上述结论中，正确结论的序号有
．
【答案】①②③
【分析】先由直径所对的圆周角是直角得到
，再由
得到
，从而确定①正确；由①的推理过程及
，再由对顶角相等，等量代换即可确定
平分
，得到
，由等腰三角形的判
，由含
定即可确定②正确；由
，作出图形，得到
，
试卷第 34 页，共 35 页

的直角三角形性质及勾股定理求出相关线段长，再由等边三角形的判定得到
边三角形，再由角平分线及三角函数进而求出等边三角形边长，过点
，如图所示，求出 的高即可得到其面积；由相似三角形的判定得到
是等
作
，垂足
为
，由相似性质确定
即可得
到答案．
【详解】解：
是
的直径，
，则
，则
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
，即
为等腰三角形，故②正确；
，如图所示：
，
，
在
中，
由勾股定理可得
由②知 是等腰三角形，由①知
，即 是等边三角形，
试卷第 33 页，共 35 页
，
，则
，
，
，

平分
，
，
在
中，
，
，则
，
，
过点
作
，垂足为 ，如图所示：
，
在
中，
，则
，
，故③正确；
如图所示：
平分
，
，
，
，
，
由①可知
在
，
中，
，故④错误；
综上所述，正确结论的序号有①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查几何综合，综合性特别强，难度很大，涉及圆周角定理、互余、角平分线
定义、等腰三角形的判定与性质、含 的直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定
试卷第 34 页，共 35 页

与性质、三角函数、三角形面积公式及相似三角的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性
质，根据所要求解的问题，准确构造辅助线是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题 6 分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，然后
计算加减．
（2）首先计算特殊角的三角函数值，立方根，然后计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式的性质，立方
根等计算，解题的关键是掌握以上运算法则．
18．（本题 6 分）阅读理解，并解决问题：
在数学活动课上，陶老师给出了这样一道题：“解方程：
．”如下是小明和小
亮两位同学的做法．
试卷第 33 页，共 35 页

小明：
解：
两边同时除以
，得
，
解，得
．
小亮：
解：
移项，得
，
提取公因式，得
，
则
或
，
解，得
，
．
任务一：小亮解方程的方法为______；
任务二：小明与小亮的解题过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程；
任务三：你认为你的解法体现的数学思想是______．
【答案】任务一：因式分解法；
任务二：小明与小亮的解法均不正确，过程见解析
任务三：转化思想
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
根据因式分解法解一元二次方程．
【详解】解：任务一：因式分解法；
任务二：小明与小亮的解法均不正确；
正确的解法为：解：
移项，得
，
，
提取公因式，得
，则
，或
，
解，得
，
．
任务三：转化思想
试卷第 34 页，共 35 页

19．（本题 6 分）如图，在平行四边形
中，
，
，连接
，在
上取一
点 E，使得
，连接
交
于点 F，点 G 是
上一点，且
，连接
．
(1)求证：
(2)若
；
，求 FG 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 的长为
．
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，掌握相关知识是
解题的关键．
（1）由
得
则
由
得
即可由
且
证明
；
(2)由相似三角形的性质得
则
，由平行四边形的性质得
求得 即可求解．
所以
则
【详解】（1）证明：∵
且
∴
；
（2）解：
试卷第 33 页，共 35 页

∵四边形
是平行四边形，
∴
∵
∴
∴
，
，
，
，
∴
的长为
20．（本题 8 分）如图，一次函数
与反比例函数 的图象交于点 C，D．若
．
的图象与 x 轴交于点
，与 y 轴交于点 B，
，
．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求
的面积．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题、平行线分
线段成比例定理、反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面
积计算的方法是解题的关键．
（1）根据
、
点的坐标，求出
的解析式，再通过比例关系解出 点的坐标，可得反
试卷第 34 页，共 35 页

比例函数表达式；
（2）过点 D 作
轴于点 F，列方程求出点 的坐标，再根据
即可求出的面积．
【详解】（1）解：
，
，
又
，
，
．
，B 两点在直线
上，
，
解得
，
一次函数的表达式为
．
如图，过点 C 作
于点 E，
，
，
易知
，
，
，
，
，
，
，
试卷第 33 页，共 35 页

点 C 在反比例函数
，
的图象上，
反比例函数的表达式为
．
（2）由（1）建立方程组
，
解得
或
，
，
如图，过点 D 作
轴于点 F，则
，
．
21．（本题 8 分）聚焦“双减”政策落地，某学校推出了如下五类特色数学作业：A：测量；B
：七巧板；C：调查活动；D：无字证明；E：数学园地设计．拟了解学生最喜爱的特色数学
作业，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根
据以上信息，解答下列问题：
试卷第 34 页，共 35 页

(1)补全统计图 1（要求在条形图上方注明人数）；
(2)图 2 中扇形 E 的圆心角度数为 度；
(3)甲、乙两同学决定从 A，B，C，D 四类特色数学作业中各选一类，求甲、乙两同学选中
同一类特色数学作业的概率．
【答案】(1)见解析．
(2)54．
(3)见解析．
【分析】（1）通过 B 的占比计算总人数，进一步算出 E 组人数；
（2）计算 E 组的人数占比，用周角
计算扇形的角度；
（3）根据题意，用列表法（或树状图）列出所有等可能结果，计算概率；
【详解】（1）
总人数=
，E 类人数=
（2）E 的占比=
∴扇形 E 的圆心角度数=
（3）
；
共有 16 种可能结果，其中选同一类的结果数为 4，故概率为
．
【点睛】本题考查数据统计的条形图及扇形图、概率的计算；理解条形图、扇形的统计意义，
会应用列表法或树状图工具是解题的关键．
22．（本题 9 分）如图，在
E，过点 E 作 的切线交
中，弦
于点 D，点 F 是
上一点，
交
于点
于点 H．
试卷第 33 页，共 35 页

(1)求证：
．
(2)若点 C 为
的中点，
，
，求
的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结
．根据等腰三角形的性质得到
，结合
，根据切线的性质得到
和 可得
，得到
，再根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
于 M，连结 ，由点 C 为 的中点，得到
，推出 垂直平分 于点 M，根据垂径定理得到
，根据勾股定理求得 的长，设
，根据勾股定理求得 的值，连接 ，再设 ，则
（2）连结
交
，求得
，
，
可求得
，
，则
，解得 的值即可得到结论．
【详解】（1）证明：连结
．
，
，
与
相切于点 E，
，
，
试卷第 34 页，共 35 页

在
又
中，
，
，
，
，
．
（2）解：连结
交
于 M，连结
，
∵点 C 为
的中点，
，
，
垂直平分
于点 M，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
试卷第 33 页，共 35 页

设
在
，则
中，
，
，
解得：
连接
，
，
设
，则
，
解得：
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂径定理，切线的性质，线段垂
直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
23．（本题 9 分）为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了
寻找古树的活动．如图，古树
点出发，沿水平方向行走了 30 米到达点 C，然后沿斜坡
，在点 D 处放置测角仪，测角仪支架
A 点的仰角 （点 A、B、C、D、E 在同一平面内），斜坡
直立于水平面，为测量古树
的高度，小明从古树底端 B
前进，到达坡顶 D 点处，
的高度为 0.8 米．在点 E 处测得古树顶端
为
的坡度 ．（参
考数据：
，
，
）
(1)求斜坡
的高；
．（结果保留一位小数）
(2)求古树的高
【答案】(1)
米
(2)
米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键．
（1）过点
作
与点 ， 延长
交
于
，根据斜坡
的坡度
可设
试卷第 34 页，共 35 页

，则
，利用勾股定理求出 x 的值，进而可得出
与
的长，故可得出
， ，再由
结论；
（2）由矩形的判定定理得出四边形
是矩形，故可得出
的长，进而可得出结论．
与点 ， 延长
锐角三角函数的定义求出
【详解】（1）解：过点
作
交
于
，
∵斜坡
∴设
在
的坡度
米， 则
中，
米，
米，
，即
，
解得
，
米，
米，
答：斜坡
（2）解：
∴四边形
的高为 米；
，
是矩形，
米，
米，
米，
中，
米，
在
，
米，
米，
答： 古树的高 AB 约为
24．（本题 10 分）已知
米．
，
，
，
为
上的四个点，连接
，
，
，
，
，
，
，
．
试卷第 33 页，共 35 页

(1)如图 ，求证：
(2)如图 ，在直线
为
的直径；
上取点 ，使得点
在
的垂直平分线上，连接
并延长交
于
点
．
①求证：
②过点
；
作
于点 ，连接
并延长交直线
于点 ，连接
．在点 运动
的度数是
的过程中，点 的位置会随之变化，当
，
，
不在同一条直线上时，
否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出
的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②当点 位于
上时，
；当点 位于
上时，
【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得
，再根据三角形内
角和求出
，即可得证；
（2）①连接
，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得
，
，根据垂直平分线的性质得
，证明
，再根据全等三
角形的性质即可得证；
②分三种情况：当点 位于
上时；当点 位于
上时；当点 位于
上时，分别求
出
的度数即可．
【详解】（1）证明：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
∴
，
，
试卷第 34 页，共 35 页

∴
为
的直径；
（2）①证明：连接
，
∵
，
∴
，
，
∵点
∴
在
的垂直平分线上，
，
∴
，
∵
，
∴
∴
在
，
，即
，
和
中，
，
∴
∴
，
；
②解：连接
当点 位于
并延长交
上时，
于点 ，连接
，
∵
∴
，
，
在
和
中，
，
试卷第 33 页，共 35 页

∴
，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
，
，
为
为
的中位线，
，
，
，
的中位线，
，
，
，
，
∴
，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
，
，
，
，
，
，
；
当点 位于
上时，
∵
∴
，
，
∵
∴
∴
，
为
的中位线，
，
试卷第 34 页，共 35 页

∵
∴
在
，
，
，
和
中，
，
∴
，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
，
，
为
的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点 位于
上时，
∵
∴
，
，
∵
∴
，
为
的中位线，
试卷第 33 页，共 35 页

∴
∵
在
，
，
和
中，
，
∴
，
∴
∵
∴
∴
∴
，
，
为
的中位线，
，
，
，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，当点 位于
上时，
；当点 位于
上时，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理，等腰
试卷第 34 页，共 35 页

三角形三线合一性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点．
利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
25．（本题 10 分）已知抛物线
经过点
．
(1)求
的值；
，且
(2)
为抛物线上两点，其中
两点均在该抛物线对称轴的左侧，求
两点作 轴的垂线与线段
为平行四边形，求四边形 周长的最大值．
．
（ ）若
的取值范围；
（
）如图， 为坐标原点，过
分别交于
两点．若四
边形
【答案】(1)
，
(2)（ ）
；（ ）四边形
周长的最大值
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，
平行四边形的性质．
（1）把
代入
计算即可；
（2）（ ）把
代入解析式，再结合
计算
为平行四边形可得
周长求最大值即可．
可得
的取值范围即可；
（
）先根据垂线求出
得到 与 的关系，最后表示出四边形
【详解】（1））把 代入
，
的坐标，再根据四边形
，
，
解得
；
试卷第 33 页，共 35 页

（2）（ ）由（1）可得抛物线解析式为
，
，
，
∴对称轴为直线
，
∵
∴
为抛物线上两点，
，
，
∵
∴
，
，
∴
∵
∴
，
两点均在该抛物线对称轴的左侧，
，
解得
∴
，
，
∴
；
（
）∵
，
解析式为
∴直线
∵过
∴
，
两点作 轴的垂线与线段
，
分别交于
两点，
，
∴
，
，
，
∵四边形
为平行四边形，
，
∴
∴
，整理得
，
∵
∴
，
，即
，
试卷第 34 页，共 35 页

∴
，
∴四边形
周长为
∵
∴
，
，
∴当
时
最大，最大值
周长最大值
，
即四边形
．
试卷第 33 页，共 35 页