人教版（2024）八年级下册18.1.2 平行四边形的判定练习

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知识点一
平行四边形的判定
◆1、平行四边形的判定方法
◆2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法.
◆3、平行四边形的联系与区别
区别：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定.
联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.
知识点二
三角形的中位线
◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且DE =BC．
◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.
◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.
◆5、三角形的中线与中位线
相同点：都是与中点有关的线段.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
题型一 利用定义进行平行四边形的判定
【例题1】如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5B．∠3＝∠4C．∠1＝∠2D．∠B＝∠D
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BDD．∠ABC+∠BAD＝180°
【变式1-2】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 ．
【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
【变式1-4】已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，连结BE．
求证：四边形BEFC为平行四边形．
题型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定
【例题2】（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式2-1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD∥BCB．∠ABD＝∠BDCC．OB＝ODD．AC⊥BD
【变式2-2】（2022•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形．
【变式2-3】（2022春•舒城县校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形．
【变式2-4】（2021•射阳县二模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．
题型三 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题3】（2022春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上
的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
求证：四边形DBEC是平行四边形．
【变式3-1】下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．2：3：4：5B．3：3：4：4C．4：3：3：4D．4：3：4：3
【变式3-2】如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式3-3】如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
题型四 利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题4】一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【变式4-1】下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3
【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式4-3】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形．
题型五 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定
定
【例题5】（2022•天河区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，
（1）求证；四边形ABCD为平行四边形；
（2）求四边形ABCD的面积．

【变式5-1】（2022春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是： ．（只需填一个你认为正确的条件即可）
【变式5-2】（2021春•柳南区校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式5-3】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
【变式5-4】（2021春•黑山县期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点．
（1）求证：OD＝OC．
（2）求证：四边形AFBE平行四边形．
题型六 应用中位线定理求线段的长度
定
【例题6】如图，在▱ABCD中，AD＝10，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式6-1】（2022秋•任城区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是 ．
【变式6-2】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．B．1C．D．7
【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式6-4】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12B．14C．24D．21
【变式6-5】（2022春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．
题型七 应用中位线定理推理证明
定
【例题7】如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.

【变式7-1】（2022•濉溪县校级开学）已知，如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E为AD的中点，CE延长线交AB于点F．求证：AFFB．
【变式7-2】（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．
【变式7-3】（2022春•城固县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
【变式7-4】如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．
求证：DE（AB﹣AC）
【变式7-5】在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线
（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．
题型八 平行四边形性质与判定的综合运用
【例题8】（2022春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（ ）
A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF
【变式8-1】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（ ）
A．26B．32C．34D．36
【变式8-2】（2022•丰顺县校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的有 个．
【变式8-3】（2022秋•莱阳市期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F．求证：BE＝CF．
【变式8-4】（2022秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长．
【变式8-5】（2022秋•泰山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
题型九 平行四边形的判定与动点运动问题
定
【例题9】（2022春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．
【变式9-1】（2021春•魏县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3cm的速度从点D出发，沿DC，CB向B运动，两个点同时出发，在运动 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【变式9-2】（2022春•社旗县期末）在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【变式9-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ ，BQ＝ ，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【变式9-4】（2022秋•任城区校级月考）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝24cm，E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
（1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（2）当动点Q运动t秒时，
①若0＜t＜6，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
②若6＜t＜9，则EQ＝ ；（用含t的代数式直接表示）
（3）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
类别
判定方法
图形
几何语言
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB = CD，AD = CB，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB∥CD，AB = CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.

对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
解题技巧提炼
当已知条件中涉及或易得出四边形的对边分别平行时，应考虑使用平行四边形的定义这种判定方法.
解题技巧提炼
已知一组对边平行，可通过证明这组对边相等来证明平行四边形，“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”不同，前者指的是同一组对边，后者指的不是同一组对边，不能用来判定平行四边形.
解题技巧提炼
当出现的已知要证明的四边形有一组对边相等，可选择证另一组对边相等，利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定.
解题技巧提炼
当已知条件出现在要证明的四边形的角上时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
当要证明的四边形的对角线交于一点，且易得出其对角线互相平分时，应选择用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法来证明.
解题技巧提炼
运用中位线定理求线段长的方法：当题目有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，常考虑用三角形的中位线来解决，先证出它是三角形的中位线，在利用中位线构造线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段长.
解题技巧提炼
当题中出现有三角形的中点时，联想到三角形中位线定理，应用定理证明两直线的位置关系或线段之间的关系.有时需要添加辅助线构造.
解题技巧提炼
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的；凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
解题技巧提炼
运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题.