初中数学人教版（2024）八年级下册第十八章 平行四边形18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质练习

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知识点一
平行四边形的定义
◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”，
读作:“平行四边形ABCD”.
◆3、几何语言：(双重含义)
∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质）
知识点二
平行四边形的性质
●●平行四边形的性质：
◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等．
几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC，
◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补.
几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D
◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分．
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD
知识点三
两条平行线间的距离
◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离.
◆4、三种距离之间的区别与联系
◆5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.)
题型一 利用平行四边形的性质求线段长
【例题1】如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9B．12C．15D．18
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．11B．10C．9D．8
【变式1-2】平行四边形的一边长是9cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．4cm和6cmB．6cm和8cmC．8cm和10cmD．10cm和12cm
【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝5，DF平分∠ADC交边BC于点F，则BF＝（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【变式1-4】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ ）
【变式1-5】（2022•苏州模拟）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长．
题型二 利用平行四边形的性质求角度
【例题2】在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．140°B．120°C．100°D．40°

【变式2-1】在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（ ）
A．80°B．100°C．120°D．140°
【变式2-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（ ）
A．15°B．25°C．30°D．65°
【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．100°B．120°C．150°D．105°
【变式2-4】如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（ ）
A．84°B．96°C．98°D．106°
【变式2-5】（2022秋•招远市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．
题型三 利用平行四边形的性质求周长或面积
【例题3】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24B．26C．28D．30

【变式3-1】（2022秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 ．
【变式3-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．14B．12C．10D．8
【变式3-3】（2022秋•张店区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式3-4】（2022•襄汾县一模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 ．
【变式3-5】（2021春•靖远县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．
（1）求证：AG＝FG；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．
题型四 利用平行四边形的性质证明
【例题4】（2023•雁塔区校级一模）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．

【变式4-1】（2022春•丹凤县期末）已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
【变式4-2】（2022•兴庆区模拟）如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF．
【变式4-3】（2022•大武口区校级一模）已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE．
【变式4-4】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．
【变式4-5】（2022春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
题型五 两条平行线间的距离及其应用
【例题5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（ ）
AE的长B．MN的长C．AB的长D．AC的长

【变式5-1】如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（ ）
A．CD的长B．BC的长C．CM的长D．CN的长
【变式5-2】（2022春•馆陶县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（ ）
A．MNB．OEC．EFD．OF
【变式5-3】（2022春•新化县期末）如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离 ．
【变式5-4】（2022春•顺平县期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3B．7C．3或7D．2或3
【变式5-5】（2021秋•新罗区校级月考）如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ．
题型六 平行四边形与平面直角坐标系的综合
【例题6】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（﹣3，2）C．（3，2）D．（﹣4，2）
【变式6-1】▱ABCD的顶点坐标分别是为A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），则点D的坐标是（ ）
A．（5，3）B．（﹣5，1）C．（1，﹣1）D．（3，0）
【变式6-2】如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（2，2）C．（3，1）D．（3，2）
【变式6-3】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣8，2）B．（8，﹣4）C．（4，2）D．（8，2）
【变式6-4】如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣2）B．（，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣1，﹣2）
【变式6-5】平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
题型七 平行四边形的折叠问题
【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（ ）
A．70°B．40°C．30°D．20°
【变式7-1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（ ）度．
A．40B．35C．30D．50
【变式7-1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝42°，
则∠B为（ ）
A．84°B．114°C．116°D．117°
【变式7-3】如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【变式7-4】如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1B．5C．10D．20
【变式7-5】如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好过BC边中点，若AB＝3，BC＝6，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
距离
两点之间的距离
点到直线的距离
两条平行线之间的距离
区别
连接两点的线段的长度.
点到直线的垂线段的长度.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平
行线之间的距离.
联系
都是指线段的长度.
解题技巧提炼
平行四边形中求有关线段的方法是利用平行四边形对边分别相等，对角线互相平分的性质来求解决的.
解题技巧提炼
平行四边形中求有关角度的方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其它三个角的度数.
解题技巧提炼
1、平行四边形的周长=2(a+b) （其中a、b分别为两相邻边的边长）
2、平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
解题技巧提炼
平行四边形的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质在有关平行四边形的证明中，常常结合在一起综合应用，而利用平行四边形的定义、平行线的性质获得三角形全等的条件是解题的关键.
解题技巧提炼
两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.
解题技巧提炼
在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，主要考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质，对角线互相平分，有时需要分情况讨论．
解题技巧提炼
折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形胃疼，这类问题既是对称问题的应用又可考查空间想象能力，平行四边形中的折叠问题是利用平行四边形的性质，以及三角形的全等、平行等知识在解决问题.