学案提高5-1 三角函数中参数问题-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

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拓展5-1 三角函数中参数问题一、与周期的结合方法点拨：①对形如或的周期为，对形如的周期为；②对形如或的周期为，对形如的周期为；1．设，且的最小值为π，则（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】设函数的最小正周期为，因，且的最小值为π，故，即，故.故选：A.2．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以，所以，令，，可得，，所以函数的对称轴为，，结合选项考虑令，化简可得，所以取，此时对称轴方程为.故选：B.3．已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由于的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，所以.故选：C4．已知函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则 ， ．【答案】 4 0【详解】的图象的相邻两支截直线所得线段的长度即为的一个周期，∴，，，∴．故答案为：4；0.5．已知函数（其中常数）的最小正周期为，求ω的值．【答案】【详解】因为，由题意可得，解得.二、与奇偶性的结合6．已知函数为偶函数，则（   ）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】因的定义域为R，且为偶函数，则，即，可得，即得.因则得，当时，为偶函数，满足题意.故选：C.7．设，若存在，使为偶函数，则可能的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由函数，.则是偶函数，因为不可能是奇函数，由两函数解析式可知，若和都是偶函数，满足题意.要使为偶函数，则，即， 当时，，函数为偶函数，要使为偶函数，只需为偶函数即可. 由恒成立，即对任意恒成立，（不合题意，舍去），或，.可得，，即，取可得，故C正确，其余选项不存在，使其成立.故选：C.8．已知函数是奇函数，则（    ）A． B．0 C．1 D．【答案】A【详解】由题意可得：，若是奇函数，则，即恒成立，则，解得，若，则，显然，且，即，可知的定义域为，关于原点对称，此时为定义在上的奇函数，即符合题意.故选：A.9．将函数的图象向右平移个单位，得到函数y=gx的图象，“则y=gx是奇函数”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】奇函数，则，所以，由于，则或.所以“则y=gx是奇函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.10．已知函数，若，则 ．【答案】/【详解】由可知函数的图象关于轴对称，即为偶函数，则，即．又，故当时，．故答案为：.11．若为偶函数，则 ．【答案】1【详解】，定义域为R，由题意得，即，故，解得.故答案为：1三、与对称性的结合方法点拨：形如型，①若题意给出对称轴，则将其代入可得，即，②若题意给出对称中心，则将其代入可得，即，结合题意求出参数；12．已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小正周期为（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得，所以，，解得.又，所以，从而的最小正周期为.故选：C13．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得：，解得，根据各选项，代入检验知：当取1时，，即只有选项C符合题意.故选：C.14．已知函数，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】的图象关于原点对称，∴fx为奇函数，因为为的真子集，“函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件.故选：B.15．已知函数，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知，即，同理，又，即，，，，当时，，所以，所以，故选：B．16．已知函数的最小正周期为，且函数图象关于点对称，则 ．【答案】【详解】因为，则，解得，又因为函数的函数图象关于点对称，则，解得，且，则，可得，所以．故答案为：.17．设 ，函数 图象的一条对称轴为 ，则 .【答案】【详解】的图象的一条对称轴为 ，故是函数的最大值或者最小值，即，故，化简可得，故，即，故答案为：18．若函数的图象关于点对称，则的最小值为 .【答案】【详解】由题意，得,所以，，即，故答案：.四、与最值的结合方法点拨：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立.19．若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，由函数在有最小值，没有最大值，得，解得，所以的取值范围是.故选：D20．若的最大值为3，则 ．【答案】【详解】由题意与同时取得最大值1，因此，，故答案为：．21．已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是 ．【答案】【详解】由函数的最小正周期为，则，解得；，解得，则.由，则.故，由，则a>0，，由函数在上单调递减，则，解得.故答案为：.22．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的最大值为2，则实数m的值为 ．【答案】.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，，所以，得，因为，所以，所以，由，得，因为区间上的最大值为2，所以的最大值为，所以，得，故答案为：.23．已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为 .【答案】【详解】由，，且在上有最大值，没有最小值，可得，所以.由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为.故答案为：24．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 .【答案】【详解】因为，所以，因为函数在区间上存在最小值，所以，解得，所以实数的最小值是.故答案为：.25．已知函数，.(1)当时，求函数的最小值；(2)若的最大值为1，求实数的值；【答案】(1)(2)或5；【详解】（1）当时，，因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，（2）因为，当，即时，则当时，函数的最大值为，解得（舍去），或；当即时，则当时，函数有最大值，即，解得；当时，即时，则当时，函数有最大值，即，解得（舍去）.综上，或5.五、与值域的结合方法点拨：将看作一个整体,再利用正弦函数的性质解题.26．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】的定义域为，值域为，则，则观察函数图象可得，的最大值为，的最小值为，，故可能是.故选：ABC.27．当时，函数的值域是，则m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知，因为且，要使的值域是，只要，即；解法二：由题，可知，由的图象性质知，要使的值域是，则，解之得．故选：D.  28．函数的最小正周期为，其图象关于点对称，且当时，的值域是，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以，，又因为函数的图象关于点对称，则，解得，因为，故，故，当时，，且函数在上的值域为，所以，，解得，故选：D.29．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 .【答案】【详解】，故，因为在区间上的值域为，且，故必有，如图所示，则故故答案为：30．已知函数(1)已知函数的周期是，求的值.(2)此函数定义域在区间上的值域为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，又因为，所以.（2）当时，，因为函数在区间上的值域为，所以，解得.31．已知函数是增函数，值域为，求a，b的值．【答案】【详解】因为函数是增函数，值域为，故当时，，即，解得.又当时，.即，所以，解得.又时为增函数，故周期 ，即.故，.综上有.【点睛】本题主要考查了根据正切型函数的单调性与值域求解参数的问题，需要根据题意代入区间端点值进行计算，同时注意的唯一性的推导.属于中档题.六、与单调性的结合方法点拨：对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．32．已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】依题意，，而，则，，由对任意，都有，得函数在上单调递增，当时，，而余弦函数的递增区间为：，则，于是，解得，显然，即，而，因此或，所以的取值范围是或.故选：C【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.33．已知点在函数（，且，）的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间上单调，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数在内单调，得最小正周期，点是函数图象的对称中心，直线是函数的图象的一条对称轴，而，则，符合题意，；或，不符合题意，因此函数，由是函数的图象的一条对称轴，得，而，所以.故选：D34．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，当时，，因为函数在上存在最值，则，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，则，当时，；当时，；当时，．又因为，所以的取值范围是.故选：C.35．已知函数，且在上单调递增，则（   ）A． B． C．2 D．3【答案】A【详解】由，可得，即，则有，解得（*）.由，可得.因为在上单调递增，所以，解得，又由（*）可得：.故选：A.36．（多选）若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（    ）A．1 B． C． D．【答案】AC【详解】当时，，由，得，因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，所以，解得，当时，由，得，因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，所以，解得，综上所述.故选：AC.37．已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ．【答案】32/1.5【详解】因为偶函数，所以，，即或，又的图像关于点中心对称，所以，即，所以，因为函数单调，所以，即，所以当时，符合条件.故答案为：38．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 .【答案】【详解】由题意有, 可得, 又由，在上为减函数，故必有, 可得. 故实数的取值范围为.故答案为：七、与零点的结合方法点拨：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解39．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】若，则当时，，则恒成立，不符合题意.若，函数和函数都是偶函数，且都在上单调递减，在上单调递增，所以为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，要使在上存在零点，只需，即，所以.故选：.40．设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，得，依题意，在上有解，记，，因此函数在上的图象有公共点，，如图，当时，，显然函数在上的图象无公共点，当时，函数图象都关于对称，得，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.41．（多选）设，已知在上有且只有6个零点，则下列结论正确的是（   ）A． B．在上有4个最大值点C．是图象的一个对称中心 D．在上单调递增【答案】ACD【详解】由且，可得，因为在上有且只有6个零点，则，解得，又因为，所以，选项A正确；由函数，令，可得，当时，，所以在上有3个最大值点，选项B错误；由，即，取，得，所以是图象的一个对称中心，选项C正确；由，可得，所以的单调递增区间是，当时，得到一个单调递增区间，因为，所以在上单调递增，选项D正确．故选：ACD．42．已知函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为 .【答案】【详解】由，得，因为在区间上有且仅有3个零点，即在区间上有且仅有3个解.结合与的图象，知，解得，即的最小值为.43．已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 .【答案】【详解】因为上有且仅有2个零点，所以，所以.故答案为：44．已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ．【答案】2【详解】为偶函数，所以，，得，，当x∈0,π时，，在区间内仅有两个零点，所以，解得：，所以.故答案为：245．已知函数在区间恰有2025个零点，则的一个可能取值是 ．【答案】2024．（答案不唯一）【详解】令，可得，要使函数在区间恰有2025个零点，即有2025个根，因为,，，所以,，则，可得．故答案为：2024．（答案不唯一）一、与周期的结合五、与值域的结合二、与奇偶性的结合六、与单调性的结合三、与对称性的结合七、与零点的结合四、与最值的结合