高中数学必修第一册第五章5.3 第2课时《公式五和公式六》学案-2019人教A版

第2课时　公式五和公式六

1．公式五

(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．

(2)公式：sin＝cos_α，

cos＝sin_α.

2．公式六

(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.

(2)公式：sin＝cos_α，

cos＝－sin_α.

思考：如何由公式四及公式五推导公式六？

提示：sin＝sin

＝sin＝cos α.

cos＝cos＝－cos＝－sin α.

1．下列与sin θ的值相等的是(　　)

A．sin(π＋θ)　　　　 B．sin

C．cos   D．cos

C　[sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；

cos＝sin θ；cos＝－sin θ.]

2．已知sin 19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝________.

m　[cos(－70°5′)＝cos 70°5′＝cos(90°－19°55′)

＝sin 19°55′＝m.]

3．计算：sin211°＋sin279°＝________.

1　[因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cos 11°，

所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]

4．化简sin＝________.

－cos α　[sin＝sin

＝－sin＝－cos α.]

利用诱导公式化简求值

【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)

A.　　 B.

C．－   D．－

(2)已知sin＝，则cos的值为________．

[思路点拨]　(1)→

(2)→

(1)B　(2)　[(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)

＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)

＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°

＝＝.

(2)cos＝cos

＝sin＝.]

解决化简求值问题的策略：

1首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.

2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.

提醒：常见的互余关系有：

常见的互补关系有：

利用诱导公式证明恒等式

【例2】　(1)求证：

＝.

(2)求证：＝－tan θ.

[证明]　(1)右边＝

＝

＝

＝＝

＝＝左边，

所以原等式成立．

(2)左边＝

＝＝－tan θ＝右边，

所以原等式成立．

三角恒等式的证明的策略

1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.

2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.

1．求证：＝－1.

[证明]　因为

＝

＝＝＝－1

＝右边，所以原等式成立．

诱导公式的综合应用

[探究问题]

1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？

提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．

2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？

提示：“奇变偶不变、符号看象限”．

【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．

[思路点拨]　→→→

[解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.

又α是第三象限角，

所以cos α＝－，tan α＝＝，

所以·tan2(π－α)

＝·tan2α

＝·tan2α

＝－tan2α＝－.

诱导公式综合应用要“三看”

一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.

二看函数名称：一般是弦切互化.

三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.

2．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin α与cos α的值．

[解]　sin＝－cos α，

cos＝cos

＝－sin α，

∴sin α·cos α＝，

即2sin α·cos α＝.①

又∵sin2α＋cos2α＝1，②

①＋②得(sin α＋cos α)2＝，

②－①得(sin α－cos α)2＝.

又∵α∈，∴sin α＞cos α＞0，

即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，

∴sin α＋cos α＝，③

sin α－cos α＝，④

(③＋④)÷2得sin α＝，(③－④)÷2得cos α＝.

1．公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．

2．由于＋α＝π－，因此由公式四及公式五可以得到公式六．

3．利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．

1．思考辨析

(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．(　　)

(2)在△ABC中，sin＝cos.(　　)

(3)sin＝sin＝cos(－α)＝cos α.(　　)

[提示]　(1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．

(2)正确．因为＋＝，由公式五可知sin＝cos.

(3)正确．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角　　 B．第二象限角

C．第三角限角   D．第四象限角

B　[由于sin＝cos θ<0，

cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]

3．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝________.

　[因为cos α＝，且α为第四象限角，

所以sin α＝－＝－，

所以cos＝－sin α＝.]

4．化简：－.

[解]　原式＝－

＝sin α－(－sin α)＝2sin α.