高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案

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知识点1一元二次不等式
一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数.
知识点2二次函数的零点
一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点．
注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标；
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间．
（2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解．
重难点一 解不含参的一元二次不等式
【例1】已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由解得，
则A项是命题p的充要条件，故A错误；
由，
则B项是命题p的充分条件，故B错误；
由，且，
则C项是命题p的一个必要不充分条件，故C正确；
由，且，
则D项是命题p的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：C.
【例2】解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）可以转化为
的解集为：.
（2）移项可得，
的解集为
（3）化简可得，
的解集为
（4）因式分解可得，的解集为
【变式1-1】不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】A
【详解】，解得，
故不等式的解集为.
故选：A
【变式1-2】已知则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题，
解得，.
作出函数的图象如图所示：

由图可得不等式的解集为，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
【变式1-3】求下列不等式的解集：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)R
【详解】（1）因为，
所以原不等式可化为，即，
两边开平方得，从而可知或，因此或，
所以原不等式的解集为．
（2）因为，
所以原不等式可化为，即，
两边开平方得，从而可知，因此，
所以原不等式的解集为．
（3）原不等式可化为，又因为，所以上述不等式可化为．
注意到只要，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为
（4）原不等式可以化为．因为，
所以原不等式可以化为，即，
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R．
重难点二 解简单的分式不等式
【例3】不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【详解】，即，即，解得或.
故选：D.
【例4】不等式：的解为 ．
【答案】或
【详解】由，得或，解得或，
所以不等式的解为或.
故答案为：或
【变式2-1】已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知，，
，
所以.
故选：B.
【变式2-2】集合的子集个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【详解】由题意得，
所以集合A的子集个数为.
故选：D
【变式2-3】解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)或.
【详解】（1）不等式，解得或，
所以原不等式的解集为或.
（2）不等式，解得，
所以原不等式的解集为.
（3）不等式化为：，即，
则或，解得或，
所以原不等式的解集为或.
重难点三 三个“二次”的关系
【例5】已知不等式的解集是R，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】A．，，开口向下，与轴有两个不同交点，不等式的解集不是R，不符合题意；
B．，开口向下，与轴没有交点，不等式的解集是R，符合题意；
C．，开口向上，与轴没有交点，不等式的解集为空集，不符合题意；
D．，开口向上，与轴有两个不同的交点，不等式的解集不是R，不符合题意；
故选：B．
【例6】（多选）已知关于的不等式的解集为或x≥4，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】AC
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为、4，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
【变式3-1】（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；
对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，
由韦达定理，，故，，即，故B正确；
对于C，由上分析可得，故C正确；
对于D，由上分析可得，故D正确.
故选：BCD.
【变式3-2】（多选）关于的不等式，下列说法不正确的是（ ）
A．若关于的不等式解集为或，则二次函数的零点为，
B．若关于的不等式解集为或，则的解集为
C．若关于的一元二次不等式解集为，则且
D．若关于的不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同都是，则
【答案】AD
【详解】A选项：若关于的不等式解集为或，则，且其对应方程有两个解，，所以对应函数的两个零点为和，A选项错误；
B选项：若关于的不等式解集为或，则，且其对应方程有两个解，，且，，即，，
所以，即，解得，所以不等式的解集为，B选项正确；
C选项：若关于的一元二次不等式解集为，则且其对应方程无解，即，C选项正确；
D选项：若关于的不等式的解集为，
则，且，
关于的二次不等式的解集是，
则，且，无法确定其比例关系，D选项错误；
故选：AD.
【变式3-3】已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】由题意得的两个根为，，且，
，，则，，
则，即，
即，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：.
重难点四 二次函数的含参问题
【例7】抛物线与直线x=1，x=2，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由下图可知：，再根据抛物线的性质，越大开口越小，
把点代入得，把点代入得，
则的范围介于两者之间，故 ．
故选：D.
【例8】已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）．
(1)若该二次函数图象的顶点，求a，m的值；
(2)设该函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．当的面积与的面积相等时，求m的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）依题意，二次函数图象的对称轴方程为，顶点为，
于是且，解得，
所以.
（2）由（1）知，不妨令，，则，显然
于是的面积，
的面积，
依题意，，又，因此，即或，
所以或
【变式4-1】，当时，，求的取值范围 ．
【答案】
【详解】，
抛物线与 轴的交点为 ，
，当 时，，
，解得 ，
故答案为： .
【变式4-2】抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则 ．
【答案】
【详解】设，，
由于是直角三角形，所以，且直角为,
又，，所以，
故答案为：
【变式4-3】设二次函数，是常数，．
(1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由．
(2)若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
(3)若，点在该二次函数图象上，求证：．
【答案】(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，理由见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题意，
在二次函数，是常数，中，
当时，，
，
方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个.
（2）由题意及（1）得，
在二次函数，是常数，中，
图象经过，，三个点中的其中两个点，
当时，，
抛物线不经过点，
把点，分别代入得：
解得
抛物线解析式为：.
（3）由题意及（1）（2）证明如下：
在二次函数，是常数，中，
点在该二次函数图象上，
∴当时，①，
，
②，
①②相加得：，
.
重难点五 解含参的一元二次不等式
【例9】设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于，当时，变为，
此时解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，此时解集为空集，
当时，解得，
综上讨论，并未在任何情况出现，
故不可能是原不等式解集，故B正确.
故选：B
【例10】解关于变量的不等式：．
【答案】答案见解析
【详解】
根据题意，，
分2种情况讨论：
①当时，不等式为：，解可得，此时不等式的解集为；
②若，的两个根为3和，
当时，不等式的解集为，，；
当时，
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，．
综合可得：当时，不等式的解集为，，；
当时，不等式的解集为；
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，．
【变式5-1】解关于x的不等式：（）；
【答案】答案见解析
【详解】
①当，即时，原不等式无解．
②当，即或时，
方程的两根为，，
则原不等式的解集为
综上所述，当时，原不等式无解；
当或时，原不等式的解集为；
【变式5-2】已知命题：，：
(1)若，那么是的什么条件；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)是的必要不充分条件；
(2)
【详解】（1）解：实数：，解得：，
：，解得：，
令，，
若，则，可知是A的真子集，
那么是的必要不充分条件；
（2）若是的充分条件，则是的充分条件.
即，则解得：，
．
【变式5-3】已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】由，解得，所以，
对于，即，
若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；
若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；
若，则为，符合题意，
所以实数的取值范围是.
知识点4一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立；
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
重难点六 一元二次不等式恒成立问题
【例11】若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意；
时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立，
则二次函数的图象开口向下且与轴无交点，
从而，解得，
所以，的取值范围为，
故选：B.
【例12】若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【详解】，使得成立是真命题，
所以,恒成立.
所以在上恒成立，
所以，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，所以，即实数的最大值为.
故选：B.
【变式6-1】若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意得在时恒成立，
令，所以在时恒成立，
因为二次函数图象对称轴为，
所以当时有最小值为，
所以.
故答案为：.
【变式6-2】已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由得，
由不等式的解集为，所以或者，解得，
综上为真时，，
故成立是既不充分也不必要条件，
故选：D
【变式6-3】已知不等式.
(1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立，
②若，则不等式恒成立，
等价于 ，解得，
综上，实数m的取值范围是.
（2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立，
②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，
若时不等式恒成立，
则，解得，
③当时，函数的图象开口向下，
若时不等式恒成立，
则，解得，
综上，实数m的取值范围是.
重难点七 一元二次不等式有解问题
【例13】若存在，使得成立，则实数的取值范围 .
【答案】或
【详解】根据题意即不等式有解，
由
得或
故答案为：或
【例14】若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9B．5C．6D．
【答案】B
【详解】因为在上有解，所以在上有解，
所以，
又因为，当且仅当即时取等号，
所以，所以，即的最小值为，
故选：B.
【变式7-1】设命题，写出一个实数 ，使得是真命题．
【答案】（答案不唯一，只要满足即可）
【详解】若命题为真命题，
则，解得，
故可取，使得是真命题．
故答案为：（答案不唯一，只要满足即可）
【变式7-2】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
【答案】
【详解】由，
因为，所以，令，
由，
构造函数，
即，当且仅当时取等号，
所以
故答案为：.
【变式7-3】若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】当时，由，可得，则，
因为，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，当时，的最大值为，故.
故选：A.
知识点5利用不等式解决实际问题的一般步骤
（1）选取合适的字母表示题中的未知数；
（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案．
重难点八 一元二次不等式的实际应用
【例15】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 .
【答案】
【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，
即，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.
故答案为：
【例16】某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价．
(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件，
售出商品数量为件，
所以该商品一天的营业额为，
又售价不能低于成本价，所以，解得，
所以.
（2）由（1）商品一天的营业额为，
令，化简得，
解得，又，
所以x的取值范围为．
【变式8-1】某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ．
【答案】
【详解】设这辆汽车刹车前的车速为，
根据题意，有，
整理得，
解得或（舍去），
所以这辆汽车刹车前的速度至少为．
故答案为：
【变式8-2】如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形EFGH）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且，为使绿地面积不小于空地面积的一半，AE的长的最小值为 ．
【答案】50米
【详解】设米，则，
，，
，
若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即
解得，故AE的长的最小值为50米.
故答案为：50米.
【变式8-3】2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
【答案】(1)100
(2)存在，
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元,
则 ,
整理得 , 解得 ,
因为 且 , 所以 , 故 ,
所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资,
调整后的研发人员的人数最少为 100 人.
（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
得 ,
整理得 ;
由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得
假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件,
即 恒成立，
因为 ,
当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 ,
又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以
所以 , 即 ,
即存在这样的 满足条件, 其范围为 .
一、单选题
1．设，则是的什么条件（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由知或，又，
所以是的必要不充分条件，
故选：B
2．若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】由不等式的解集是，故，
且，
即，.
故选：D.
3．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【详解】当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得解得．
综上，实数的取值范围是．
故选:B．
4．关于的一元二次不等式的解集为空集，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，不等式的解集不是空集，不符合题意，
当时，要使不等式的解集为空集，
则需，解得.
所以的取值范围是.
故选：B
5．已知关于x的方程，下列结论错误的是（ ）
A．方程无实数根的必要条件是
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程有实数根的充要条件是或
【答案】D
【详解】A选项，方程无实数根的充要条件是，
解得，，故必要条件是，故A正确．
B选项，方程有一正一负根的充要条件是，
解得，B正确；
C选项，方程有两正实数根的充要条件是，
解得，C正确；
D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误；
故选：D．
6．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当，即时，，恒成立；
当时，，解之得，
综上可得
故选：D
二、多选题
7．已知关于的不等式.的解集为.则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
【答案】AC
【详解】因为不等式.的解集为，
所以为方程的两根，且，
所以，，
所以，，，
因为，所以A正确；
因为，，，
所以不等式可化为，B错误；
因为，，，
所以，C正确；
因为，，，
所以不等式可化为，
解得，，所以D错误；
故选：AC.
8．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．不等式的解集为
B．的解集为
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】BC
【详解】不等式的解集为，
根据根与系数的关系，可得且，.
可化为，解得，B正确；
，当且仅当时等号成立，C正确；
，方程的解为，且，
不等式的解集为，A错误；
，而，当且仅当，即时取等号，
的最大值为，D错误.
故选：BC.
三、填空题
9．不等式的解集是 ．
【答案】或.
【详解】由不等式可化为，
解得或（舍去），所以或，
即不等式的解集为或.
故答案为：或.
10．甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ．
【答案】 -2,3
【详解】依题意，根据韦达定理有，，即，，
因此不等式为：，解得，
所以原不等式的解集为．
故答案为：，.
11．关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 .
【答案】
【详解】关于的不等式 可化为 ,
当 时, 解不等式得 ,
当 时, 解不等式得 ,
因为不等式的解集中至多包含 1 个整数,
所以 或 ,
当 时，不等式的解集为 ，也满足题意；
所以 的取值范围是 .
故答案为:.
四、解答题
12．解下列不等式；
(1)；
(2)：
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，
即，解得，
故原不等式的解集为．
（2）由，得，
所以，解得或，
所以不等式的解集为
13．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元．
(1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？
(2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值．
【答案】(1)80；
(2)14.
【详解】（1）依题意，，整理得：，即，而，解得，
所以调整后技术人员的人数x最多为80.
（2）依题意，，整理得：，
，而当时，，当且仅当时取等号，因此，
所以正整数t的最大值为14.
14．已知三个不等式：①，②，③.要使同时满足①②的所有的值满足③，求的取值范围.
【答案】
【详解】由①得解集：，由②得解集：
同时满足①②的所有的值，即为求①②两个解集的交集：，
要使同时满足①②的所有的值满足③，
即不等式在内恒成立，
即在内恒成立，
令，
则在内恒成立等价于成立，
易知，
所以，所以的取值范围是.
15．已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围．
【答案】．
【详解】由不等式，解得或，
解方程，解得或．
①若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得；
②若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得．
综上可得，实数的取值范围是．
一、解不含参的一元二次不等式
五、解含参的一元二次不等式
二、解简单的分式不等式
六、一元二次不等式恒成立问题
三、三个“二次”的关系
七、一元二次不等式有解问题
四、二次函数的含参问题
八、一元二次不等式的实际应用
的图象
的根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
的解集
的解集