2025年中考复习数学第05讲 一次方程（组）及其应用 (讲义，5考点+3命题点15种题型（含5种解题技巧）)

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc184196522" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc184196523" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc184196524" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc184196525" 考点一 一元一次方程基础
\l "_Tc184196526" 考点二 解一元一次方程
\l "_Tc184196527" 考点三 二元一次方程（组）基础
\l "_Tc184196528" 考点四 解二元一次方程（组）
\l "_Tc184196529" 考点五 一次方程（组）及其应用
\l "_Tc184196530" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc184196531" 命题点一 一元一次方程（组）的相关概念
\l "_Tc184196532" ►题型01 等式的性质
\l "_Tc184196533" ►题型02 一元一次方程的相关概念
\l "_Tc184196534" ►题型03 二元一次方程的相关概念
\l "_Tc184196535" 命题点二 解一元一次方程（组）
\l "_Tc184196536" ►题型01 一元一次方程的解法
\l "_Tc184196537" ►题型02 代入法解二元一次方程组
\l "_Tc184196538" ►题型03 加减法解二元一次方程组
\l "_Tc184196539" ►题型04 整体法解二元一次方程组
\l "_Tc184196540" ►题型05解二元一次方程组--同解方程组
\l "_Tc184196541" ►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数
\l "_Tc184196542" ►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组)
\l "_Tc184196543" 命题点三 一元一次方程（组）的应用
\l "_Tc184196544" ►题型01 列一元一次方程组
\l "_Tc184196545" ►题型02 一元一次方程的应用
\l "_Tc184196546" ►题型03 二元一次方程组的应用
\l "_Tc184196547" ►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用
\l "_Tc184196548" ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用
01考情透视·目标
02知识导图·思
03考点突破·考法探究
考点一 一元一次方程基础
一、一元一次方程的相关概念
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.
一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）.
方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
解方程：求方程的解得过程叫做解方程.
【易错易混】
1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程；
2）方程的解是通过解方程求得的.
3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程x2=4的解），也有可能无解（如x2=−4无解）.
二、等式的性质
等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即：
如果a=b，那么a±c=a±c
等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 ac = bc
等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性）
等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性）
【易错易混】
1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.
2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.
1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3B．−3C．7D．−7
2．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的方程m−1x2+2x−1=0有根，则m的取值范围是 ．
3．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
A．x=yB．x=2yC．x=4yD．x=5y
4．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=bB．若a2=b2，则a=b
C．若ac=bc，则a=bD．若−13x=6，则x=2
5．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2
考点二 解一元一次方程
基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=ba.
【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.
1．（2024·海南·中考真题）若代数式x−3的值为5，则x等于（ ）
A．8B．−8C．2D．−2
2．（2024·河北·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程5x6−1=3x−23的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
3．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于x的方程2x−m=0的解是x=−3，则m的值为 ．
4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知y=1是方程py−1=−3−p的解，则代数式p3−p−1p的值为 ．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：3x−1=2−2x
QUOTE QUOTE 考点三 二元一次方程（组）基础
1.二元一次方程
二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式.
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
2.二元一次方程组
二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组.
一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）.
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错易混】
1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.
2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.
3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.
4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=−1y=2D．x=2y=4
2．（2020·湖南益阳·中考真题）同时满足二元一次方程x−y=9和4x+3y=1的x，y的值为（ ）
A．x=4y=−5B．x=−4y=5C．x=−2y=3D．x=3y=−6
3．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=0C．x=0.5y=3D．x=−2y=4
4．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组x+y=2A=0的解为x=1y=1，则多项式A可以是 （写出一个即可）．
15．（2022·四川雅安·中考真题）已知{x=1y=2是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
5．（2021·四川广安·中考真题）若x、y满足x−2y=−2x+2y=3，则代数式x2−4y2的值为 ．
考点四 解二元一次方程（组）
1.代入消元法
定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；
2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
【易错易混】
1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数.
2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单
2.加减消元法
定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数；
2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点Px,y在直线y=−34x+4上，坐标x,y是二元一次方程5x−6y=33的解，则点P的位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（ ）

A．5个B．4个C．3个D．2个
4．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值 ．
5．（2024·浙江·中考真题）解方程组：2x−y=54x+3y=−10
考点五 一次方程（组）及其应用
用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；
设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量；
列：根据题中相等关系，列出方程（组）；
解：解所列出的方程（组）；
验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；
答：写出答案，包括单位.
1．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（ ）
A．8x=y+37x=y−4B．8x=y+37x=y+4
C．8x=y−37x=y−4D．8x=y−37x=y+4
2．（2024·广东深圳·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ）
A．7x+7=y9x−1=yB．7x+7=y9x+1=y
C．7x−7=y9x−1=yD．7x+7=y9x+1=y
3．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
4．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 一元一次方程（组）的相关概念
►题型01 等式的性质
等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.
即：如果a=b，那么a±c=a±c
等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.
即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 ac = bc
解题方法：灵活运用等式的性质.
1．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式3a=2b+5，则下列等式中成立的是（ ）
A．3ac=2bc+5B．3a−5=2bC．a=23b+15D．3a+1=2b+6
2．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列等式成立的是（ ）
A．−x+yz=−x+yzB．−x+yz=−−x−yz
C．−x−yz=−x+yzD．−x−yz=−x−yz
3．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（ ）
A．由2x3=4x−89−5，得6x=4x−8−5B．由0.6x−1=0.3x+0.35，得6x−1=3x+35
C．由2x−7=3x+2，得2x−3x=2+7D．由5x+33=−6（x+5），得5x+33=−6x+30
4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（ ）
A．如果a+c=b+c，那么a=bB．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果2a=2b，那么a=bD．如果a=b，那么2a=2b
5．（2023·河北保定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为y甲g和y乙g，则下列关系可能出现的是（ ）
A．y甲=y乙B．y甲=2y乙C．5y甲=6y乙D．3y甲=5y乙
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 一元一次方程的相关概念
1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列各数中，是方程2x−1=3x+1的解的是（ ）
A．x=2B．x=−2C．x=1D．x=1和−2
2．（2024·广西河池·三模）关于x的方程2x+a=4的解是x=1，则a的值为（ ）
A．−8B．0C．2D．8
3．（2021·贵州·一模）已知关于x的方程k2−4x2+k−2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．-2B．2C．-6D．-1
4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）（1）当m=______时，关于x的方程m−1x2+2x−6=0是一元一次方程；
（2）解一元二次方程x2+2x−6=0．
►题型03 二元一次方程的相关概念
1．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为x=2y=−3的二元一次方程组 ．
2．（2024·河南·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程ax+y=9的一个解是x=2y=3，则a的值为
3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二元一次方程x+3y=14，请写出该方程的一组整数解 ．
4．（2021·四川凉山·中考真题）已知x=1y=3是方程ax+y=2的解，则a的值为 ．
命题点二 解一元一次方程（组）
►题型01 一元一次方程的解法
1．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程x+1=4x+8时，经过移项后的式子为（ ）
A．3x=−7B．x+18=4xC．x=−73D．x=4x+7
2．（2024·广西·模拟预测）点A−m,2m+1在函数y=−x+1的图象上，则m= ．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：x*y=x+yy≥0x−yy