6.4.1平面几何中的向量方法-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

6.4.1　平面几何中的向量方法第六章　平面向量及其应用　6.4　平面向量的应用课标要求1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的作用.向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具.引入课时精练一、用向量解决平面几何中的平行问题二、用向量解决平面几何中的垂直问题三、用向量求线段的长度课堂达标内容索引四、用向量求几何中的角度问题用向量解决平面几何中的平行问题一例1(链接教材P38例1)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0).∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC.(2)D，M，B三点共线.连接MB，MD.∵MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线.如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF.训练1∵点G不在直线EF上，∴HG∥EF.用向量解决平面几何中的垂直问题二例2如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝2－2＝0，利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.训练2则a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，由条件知a2＝c2－d2＋b2，所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，所以AD⊥BC.用向量求线段的长度三例3(链接教材P61T13(2))在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.＝1＋4＋2a·b＝6，训练3在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是√用向量求几何中的角度问题四例4(1)AD的长；(2)∠DAC的大小.设∠DAC＝θ(0°0 B.sin θ>0，cos θ