6.3.5平面向量数量积的坐标表示-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示第六章　平面向量及其应用　6.3　平面向量基本定理及坐标表示课标要求1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直.同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？引入课时精练一、平面向量数量积的坐标表示二、平面向量模(长度)的坐标表示三、平面向量夹角与垂直的坐标表示课堂达标内容索引平面向量数量积的坐标表示一探究1 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？提示　i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.向量数量积的坐标表示(1)语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(2)坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__________.知识梳理x1x2＋y1y2例1√(1)(链接教材P36练习T2)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝A.10 B.－10 C.3 D.－3a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，进行向量数量积的坐标运算的注意点(1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要学会建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题.(1)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于A.6 B.5 C.4 D.3训练1√由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.√(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则(2a＋b)·c＝以a，b的公共起点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，所以2a＋b＝(6，1)，(2a＋b)·c＝1.平面向量模(长度)的坐标表示二知识梳理x2＋y2例2√训练2√√由向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，可得|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos θ，故选项BC符合题意.平面向量夹角与垂直的坐标表示三探究3 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，如何用坐标表示两非零向量垂直的充要条件？提示　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2＝0.知识梳理x1x2＋y1y2＝0温馨提示不要混淆两向量垂直与两向量平行的坐标表示.例3已知点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2).因为点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2)，训练3(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为√因为a与b垂直，所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2，则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，设a与a＋b夹角为θ，(2)(链接教材P36T10)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2，－m＋1).若a⊥(a＋b)，则m＝________.0或1由a＝(m，－1)，b＝(－2，－m＋1)，得a＋b＝(m－2，－m).因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝m(m－2)＋(－1)×(－m)＝0，即m2－m＝0，解得m＝1或m＝0.【课堂达标】1.若a＝(2，－3)，b＝(x，2x)，且3a·b＝4，则x等于√√3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于√由题意2a－b＝(3，n)，∵2a－b与b垂直，∴3×(－1)＋n2＝0，7【课时精练】√1.向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则|2a＋b|＝由题意知2a＋b＝(0，5)，则|2a＋b|＝5.√2.(多选)已知向量a＝(－2，1)，b＝(2，4)，c＝(－4，2)，则下列结论正确的是 A.a∥b B.a⊥b C.b⊥c D.a∥c∵a＝(－2，1)，b＝(2，4)，c＝(－4，2)，∴c＝2a，a·b＝－2×2＋1×4＝0，b·c＝2b·a＝0，因此a∥c，a⊥b，b⊥c.√√√3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于∵a＝(2，0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1·cos 60°＝1.√4.(链接教材P34例10)已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形.√∵四边形OABC是平行四边形，∴a＝6，6.已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________.4a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4.7.设向量a＝(2，3)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为__________________.(－4，9)∪(9，＋∞)因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a与b不共线，所以实数t的取值范围为(－4，9)∪(9，＋∞).－8由题意，得A(1，7)，B(5，1).9.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x·(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)∵a∥b，∴1·(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，∴a－b＝(－2，0)，∴|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，10.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).(1)试计算a·b及|a＋b|的值；a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，(2)求向量a与b夹角的余弦值.设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ，11.(多选)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围可以是由a＝(k，3)，b＝(1，4)，得2a－3b＝(2k－3，－6).又2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6