高二数学开学摸底考（新高考地区通用）02-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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数学•全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．抛物线
A．
的焦点坐标为（
）
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
2．已知两条直线
A．2
，即
，所以焦点坐标为
，故选 C.
相互垂直，则
和
（ ）
B．3
C．
D．
【答案】C
【解析】∵直线
和
相互垂直，
∴
，解得
，故选 C.
中，点
3．如图，在四棱锥
是
的中点，设
，
，
，则
等于（
）
A．
C．
B．
D．
1 / 12

【答案】A
【解析】因为
所以
，故选 A.
4．已知函数
的导函数
在区间
上的图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
在
处取得最大值，在
处取得最小值
的极大值点为 ，极小值点为
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减
的增区间为
和
，减区间为
【答案】C
【解析】由图可知，当
或
时，
，当
上单调递减，D 错误；
的极大值点为 ，极小值点为 ，B 错误；
时，
，
所以
所以
又
在
和
上单调递增，在
，所以
在
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，C
正确；所以
故选：C
，所以
处取不到最小值，A 错误.
5．已知点
，点 是圆
B．9
上任意一点，则
面积的最小值为（
）
A．
C．5
D．6
【答案】D
【解析】由点
，得直线
，圆
的圆心
，半径
，点 C 到直线
的距离
，
因此点 P 到直线
距离的最小值为
，
所以
面积的最小值为
，故选 D.
6．已知等比数列
的各项均为正数且公比大于 1，前 项积为 ，且
，则使得
的 的最小
值为（
）
2 / 12

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设等比数列
因此
的公比为
，则
，又
，由
，得
，解得
，
，
由
，得
，解得
，所以 的最小值为 10，故选 D
7．已知双曲线
，两焦点分别为
，过右焦点 作直线 交右支于
点，且
，
若
，则双曲线 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，设
，则
，
，
因为
所以
，
，
因为
，所以
所以离心率为：
故选 B.
8．设
，
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
，
，
设
，
，则
，
故当
当
时，
时，
，
，
单调递增，
单调递减，
3 / 12

因为
，
，
，且
，
可得
，
，所以
.
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（
）
A．两条不重合直线
B．直线 l 的方向向量
C．两个不同的平面
，
，
的方向向量分别是
，平面 的法向量是
，
，则
，则
，则
，则
的法向量分别是
，
D．直线 l 的方向向量
【答案】AC
，平面 的法向量是
【解析】对于 A，因为
对于 B，因为
，所以直线
，
的方向向量共线，故
不共线，故
，故 A 正确；
，所以
不成立，故 B 错误；
对于 C，因为
，所以
，故
，故 C 正确；
对于 D，因为
，所以
共线，所以
，故 D 错误；
故选：AC．
10．（0 分）对于点
A．点 在圆上
和圆
，下列说法错误的是（ ）
B．过点 有两条圆的切线
C．过点 被圆截得的弦长最大时的直线方程为
D．过点 被圆截得的弦长为
【答案】ABD
的直线方程为
【解析】由题意，因为
，所以点
在圆 内，
则过点 不存在圆的切线，故 A 不正确，B 不正确；
的圆心 ，半径
对于 C，根据圆的几何性质可知，当过点 被圆截得的弦长最大时，直线经过圆心，
圆
，
即直线经过点
和
，此时直线方程为
，故 C 正确；
对于 D，当过点
的直线斜率不存在时，方程为
，与圆
交于点
和
，此
时弦长为
，符合题意；
4 / 12

当过点
的直线斜率存在时，设直线方程为
，即
，
设圆心到弦所在直线的距离为 ，由
，解得
，则
，解得
，直线方程为
，故 D 不正确；
故选：ABD.
11．已知函数
，则（
）
A．若
B．若
C．若
D．若
，则
，则
在
，则
，则
上单调递增
上单调递增
在
【答案】AD
【解析】由题意知
，得
的极小值点，
，
若
，所以
是
此时
，解得
，
则
，
当
时，
时，
，
在
单调递减；
单调递增，
当
，
在
所以
，则
，故 A 正确，B 错误；
若
当
，此时
时，
，
，
，
在
在
上单调递减，故 C 错误；
若
当
，此时
时，
，
上单调递增，故 D 正确．
故选：AD．
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．数列
与
的所有公共项由小到大构成一个新的数列
，则
.
【答案】116
【解析】
与
的所有公共项由小到大构成一个新的数列为
，
5 / 12

故
为首项为 2，公差为 6 的等差数列，
所以
所以
，
.
13．在四棱锥
中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E 满足
，点 F 满足
，若 P，
A，C，F 四点共面，则
.
【答案】
【解析】连接 BD，由题可知
.
又
，所以
，且 P，A，C，F 四点共面，
所以
，解得
.
14．设函数
，若
恒成立，求 a 的取值范围
.
【答案】
【解析】
由题意
，
，
恒成立，则
①当
令
时，令
，得
，得
；
，
所以
在
上单调递减，在
，解得
上单调递增，
所以
②当
时，存在
，不满足题意，
综上，实数 a 的取值范围是
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分 13 分）已知圆 O：
(1)过圆外一点
引圆的切线，求切线方程；
上的一点，过点 P 作圆的切线，切点是 M，求
(2)设点 P 是直线
点 P 的坐标．
的面积最小值以及此时
6 / 12

【解】（1）当切线斜率存在时，设切线的方程为
，即
，
圆心
到切线的距离是 2，
，解得
，
切线方程为
，即
与圆也相切，
当切线斜率不存在时，易知
故所求切线方程为
和
（2）由圆的几何性质可知，当
又因为
所以直线 OP 的方程为
解得
时，
的面积最小值．
，
由
即点 P 的坐标为
此时 的面积最小值为
16．（本小题满分 15 分）如图，在多面体
中，四边形
，
是边长为 3 的正方形，
，
，且
，
，
面
，
为
中点．
(1)若
(2)求平面
【解】（1）取
是
中点，求证：
面
；
与平面
夹角的正弦值．
的中点 ，连接
，
因为
所以
是
中点，
，
为
中中点，
，
，
7 / 12

因为
平面
平面
，
平面
，
所以
，
同理可得
又
平面
，
，
，
平面
，
故平面
平面
又
平面
平面
，
所以
；
（2）因为
所以
面
，
平面
，
，
又四边形
是边长为 3 的正方形，
⊥
，
故
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点，
，
所在直线分别为
，所以四边形
轴，建立空间直角坐标系，
为矩形，
因为
其中
，
，
则
，
设平面
则
的一个法向量为
，
，
解得
，令
，则
，故
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
解得
，令
与平面
，则
，故
夹角为
，
设平面
，
8 / 12

则
，
所以
，
故平面
与平面
夹角的正弦值为
.
17．（本小题满分 15 分）已知椭圆 C：
的左，右焦点分别为
的最大面积为
，
，过
的
直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，且
(1)求椭圆 C 的方程；
的周长为 8，
．
(2)设
，是否存在 x 轴上的定点 P，使得
的内心在 x 轴上，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，
请说明理由．
【解】（1）∵
的周长为 8，
的最大面积为
，
∴
，解得
，
或
，
．
∴椭圆 C 的方程为
（2）
或等
．
由（1）及
易知
，
不妨设直线 MN 的方程为：
，
，
联立
，得
．
则
若
∴
，
，
的内心在 x 轴上，则
，
，即
，即
，
9 / 12

可得
则
．
，得
，即
．
当直线 MN 垂直于 x 轴，即
故在 x 轴上存在定点
时，显然点
也是符合题意的点．
，使得
的内心在 x 轴上.
18．（本小题满分 17 分）设
．
(1)求
在
处的切线方程；
；
(2)求证：当
时，
(3)设 为整数，且对于任意正整数 都有
，求 的最小值．
【解】（1）已知
，则
，
，
则
，又
所以切线方程为
，即
.
（2）
，
，所以
，
令
，解得
，
可知当
时，
，所以
，所以
在区间
在区间
上单调递增，
上单调递减，
当
时，
所以当
所以
时，
取得最小值，
.
（3）由（2）可知当
时，
，即
，
令
，可得
，
从而
，
，
即
，
10 / 12

则对于任意正整数 都有
所以 的最小值为
19．（本小题满分 17 分）已知项数为 m（
，且 ，则称
，只需
，又 为整数，
.
，
为
）的数列
的“伴随数列”.
为递增数列，且满足
，若
(1)数列 4，10，16，19 是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由；
(2)若 的“伴随数列”，证明：
为
；
(3)已知数列
【解】（1）
存在“伴随数列”
，且
，
，求 m 的最大值.
，
,
,
，均为正整数，
所以数列 4，10，16，19 存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是 15,13,11,10.
（2）因为数列
存在“伴随数列”
，
所以
，且
，
所以
，
所以
，即
，
所以
.
（3）①因为
，
，
，其中
，有
，
当
时，
，均为正整数，
即当
时，数列 1,2025 存在“伴随数列”：
，
因此 的最小值为 2；
②一方面，由（2）知，
，
于是
所以
，
，
另一方面，由数列
存在“伴随数列”
，知
，
所以
是
的正约数，
取
，
11 / 12

即
取
，
，
综合上述
当
为最大值，取
时，
，
，
符合条件，
当
，
，
符合条件
因此 的最大值为
.
12 / 12