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    高一数学开学摸底考(新高考地区)02
    数学试题
    (考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
    需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
    3.考试范围 人教A必修一全部
    4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
    第Ⅰ卷
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知集合,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】由,
    又,所以,,故选B
    2.年月日凌晨点分,梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时,只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度,且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向,才能实现“太空握手”.根据以上信息,可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】由题意知:“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”; “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”,
    “梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件,故选A.
    3.若函数是定义在上的偶函数,则( )
    A.B.C.D.2
    【答案】D
    【解析】函数是定义在上的偶函数,
    所以,则,
    所以,则,故选D.
    4.已知角满足,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,化简得,所以,又,所以,故选:A.
    5.若正实数x,y满足,则x+2y的最小值为( )
    A.7B.8C.9D.10
    【答案】C
    【解析】因为x,y是正数,
    所以有,
    当且仅当时取等号,即当且仅当时取等号,故选C
    6.“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式,抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量(亿吨)与时间(年)满足函数关系式,已知经过4年,该地区二氧化碳的排放量为(亿吨).若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为(亿吨),则该地区要实现“碳中和”,至少需要经过( )(参考数据:,)
    A.13年B.14年C.15年D.16年
    【答案】D
    【解析】由题意可得,即,所以,
    令,即,故,即,
    可得,即,故选D
    7.设函数,若,,,则,,的大小为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,所以为偶函数,
    所以,
    当时,在上为增函数,
    因为,,所以,
    因为在上为增函数,
    所以,所以,故选A
    8.已知函数,的定义域均为,且,,若为偶函数,且,则( )
    A.5B.4C.3D.0
    【答案】B
    【解析】∵,∴以为对称中心,且;
    ∵即,
    ∴为偶函数,以轴为对称轴;
    ∴,即,
    由知,,
    ∴,,
    从而,即,
    ∴的周期为4,∴的周期为4;
    故.
    故选:B.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9.下列命题为真命题的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则D.若,,则
    【答案】BC
    【解析】对A:当时,若,则;
    当时,则,A为假命题;
    对B:∵,
    若,则,
    ∴,即,B为真命题;
    对C:∵在定义域内单调递增,
    若,则,C为真命题;
    对D:∵,
    若,则,即,
    当时,则;
    当时,则;D为假命题.
    故选:BC.
    10.下列说法正确的是( )
    A.若不等式的解集为,则
    B.若命题,则的否定为
    C.在中,“”是“”的充要条件
    D.若对恒成立,则实数的取值范围为
    【答案】ABD
    【解析】对于A:不等式的解集为,
    则和是方程的两个根,故,
    解得,所以,故A正确;
    对于B:命题,
    则的否定为,故B正确;
    对于C:由可得,
    所以,
    又,
    所以或,
    所以“”不是“”的充要条件,故C错误;
    对于D:令,由对恒成立,
    则,解得,
    所以实数的取值范围为,故D正确;
    故选:ABD
    11.(多选)若函数在上满足:对任意的,,当时,恒有,则称函数为“理想函数”.下列函数能被称为“理想函数”的有( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ABD
    【解析】不妨设,则由题意可得,即,由单调性定义可知,函数在上单调递增,即若在上单调递增,则称函数为“理想函数”.
    A选项中,该函数在上单调递增,符合“理想函数”的定义;
    B选项中,该函数在上单调递增,符合“理想函数”的定义;
    C选项中,该函数在上单调递减,不符合“理想函数”的定义;
    D选项中.该函数在上单调递增,符合“理想函数”的定义.
    故选:ABD.
    12.函数的部分图像如图所示,则下列说法中错误的是( )

    A.的最小正周期是B.是奇函数.
    C.在上单调递增D.直线是曲线的一条对称轴
    【答案】BC
    【解析】由函数图像可得,,
    最小正周期,,,
    则,
    又由题意可知当时,,
    即,则,
    故,所以.
    的最小正周期是,A选项正确;
    ,是偶函数,B选项错误;
    时,,是正弦函数的单调递减区间,C选项错误;
    由,得曲线的对称轴方程为,
    当时,得直线是曲线的一条对称轴,D选项正确;
    选项中错误的说法是BC.
    故选:BC
    第Ⅱ卷
    填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
    13.
    【答案】11
    【解析】
    14.已知幂函数满足以下条件:
    ①是奇函数;②在是增函数;③.
    写出一个满足条件①②③的函数的一个解析式 .
    【答案】
    【解析】因为,定义域为,关于原点对称;
    又,所以是奇函数;
    因为所以为上的增函数;

    15.已知函数,则的值是 .
    【答案】
    【解析】因为,所以,
    所以,
    16.已知函数若方程有四个不同的解,且,则a的最小值是 .
    【答案】1
    【解析】画出的图象如图所示.

    因为方程有四个不同的解,
    故的图象与有四个不同的交点,又由图,,,
    故的取值范围是,故a的最小值是1.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(本小题满分10分)设全集 ,,.
    (1)若 ,求 .
    (2)若 ,求实数 的取值范围.
    【解析】(1)当时,,,
    所以或,;
    (2)全集 ,,
    或,

    分,两种情况讨论.
    (1)当时,如图可得,或,
    或;
    (2)当时,应有:,解得;
    综上可知,或,
    故得实数 的取值范围.
    18.(本小题满分12分)已知函数.
    (1)求的值及的单调递增区间;
    (2)求在区间上的最大值和最小值,以及取最值时x的值.
    【解析】(1)解:因为,

    令,,得,,
    所以的单调递增区间为,;
    (2)解:因为,所以,
    所以,
    所以,
    当,即时,有最大值,
    当,即时,有最小值.
    19.(本小题满分12分)已知是定义在上的奇函数,且,若对任意的m,,,都有.
    若,求a的取值范围.
    若不等式对任意和都恒成立,求t的取值范围.
    【解析】设任意x1,x2满足﹣5≤x1<x2≤5,由题意可得:
    f(x1)﹣f(x2)即f(x1)<f(x2).所以f(x)在定义域[﹣5,5],上是增函数,
    由f(2a﹣1)<f(3a﹣3),得,解得2<a,
    故a的取值范围为(2,];
    (2)由以上知f(x)是定义在[﹣5,5]上的单调递增的奇函数,且f(﹣5)=﹣2,
    得在[﹣5,5]上f(x)max=f(5)=﹣f(﹣5)=2.
    在[﹣5,5]上不等式f(x)≤(a﹣2)t+5对a∈[﹣3,0]都恒成立,
    所以2≤(a﹣2)t+5即at﹣2t+3≥0,对a∈[﹣3,0]都恒成立,
    令g(a)=at﹣2t+3,a∈[﹣3,0],则只需,即.
    解得t
    故t的取值范围(﹣∞,].
    20.(本小题满分12分)为发展空间互联网,抢占6G技术制高点,某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解,该企业研发部原有100人,年人均投入a()万元,现把研发部人员分成两类:技术人员和研发人员,其中技术人员有x名(且),调整后研发人员的年人均投入增加4x%,技术人员的年人均投入为万元.
    (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入,则调整后的技术人员最多有多少人?
    (2)是否存在实数m,同时满足两个条件:①技术人员的年人均投入始终不减少;②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
    【解析】(1)依题意可得调整后研发人员人数为,年人均投入为万元,
    则,
    解得,
    又, 所以调整后的技术人员的人数最多75人;
    (2)假设存在实数满足条件.
    由技术人员年人均投入不减少得, 解得.
    由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
    ,
    两边同除以得,
    整理得,
    故有,
    因为, 当且仅当时等号成立, 所以,
    又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,
    ,即存在这样的m满足条件,其值为7.
    21.(本小题满分12分)设,函数.
    (1)求a的值,使得为奇函数;
    (2)求证:时,函数在R上单调递减.
    【解析】(1)解:函数的定义域为,
    当为奇函数时,,即
    因为,
    所以,解得,
    所以,当时,为奇函数
    (2)证明:,
    设且,

    因为,,
    所以,,,
    所以,即,
    所以,时,函数在R上单调递减.
    22.(本小题满分12分)若函数和的图象均连续不断.和均在任意的区间上不恒为的定义域为的定义域为,存在非空区间,满足,则称区间A为和的“区间”.
    (1)写出和在上的一个区间”(无需证明);
    (2)若是和的“区间”,求的取值范围.
    【解析】(1)令,解得,
    故当时,,当时,,当时,;
    令,解得,
    故当时,,当时,,当时,;
    若,解得,
    故的解集为,
    不妨取,则符合题意,
    故和在上的一个区间”为;
    (2)对,当时,则,
    可得,即,
    故,
    ∴在上单调递增,且,
    故当时,,当时,则,当时,,
    由题意可得:当时,,当时,,
    注意到开口向上,由二次函数性质可得,
    由消去可得,解得,
    故的取值范围为.
    【点睛】关键点点睛:
    (1),等价于或或;
    (2)分步处理,先分析(或)的符号,再分析另一个函数的符号.
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