【开学摸底考】高一数学02（新高考地区）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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高一数学开学摸底考（新高考地区）02
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试范围 人教A必修一全部
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，
又，所以，，故选B
2．年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”，
“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件，故选A.
3．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】函数是定义在上的偶函数，
所以，则，
所以，则，故选D．
4．已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，化简得，所以，又，所以，故选：A．
5．若正实数x，y满足，则x+2y的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】因为x，y是正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故选C
6．“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：，）
A．13年B．14年C．15年D．16年
【答案】D
【解析】由题意可得，即，所以，
令，即，故，即，
可得，即，故选D
7．设函数，若，，，则，，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以为偶函数，
所以，
当时，在上为增函数，
因为，，所以，
因为在上为增函数，
所以，所以，故选A
8．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A．5B．4C．3D．0
【答案】B
【解析】∵，∴以为对称中心，且；
∵即，
∴为偶函数，以轴为对称轴；
∴，即，
由知，，
∴，，
从而，即，
∴的周期为4，∴的周期为4；
故．
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】BC
【解析】对A：当时，若，则；
当时，则，A为假命题；
对B：∵，
若，则，
∴，即，B为真命题；
对C：∵在定义域内单调递增，
若，则，C为真命题；
对D：∵，
若，则，即，
当时，则；
当时，则；D为假命题.
故选：BC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若不等式的解集为，则
B．若命题，则的否定为
C．在中，“”是“”的充要条件
D．若对恒成立，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A：不等式的解集为，
则和是方程的两个根，故，
解得，所以，故A正确；
对于B：命题，
则的否定为，故B正确；
对于C：由可得，
所以，
又，
所以或，
所以“”不是“”的充要条件，故C错误；
对于D：令，由对恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为，故D正确；
故选：ABD
11．（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
12．函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．的最小正周期是B．是奇函数.
C．在上单调递增D．直线是曲线的一条对称轴
【答案】BC
【解析】由函数图像可得，，
最小正周期，，，
则，
又由题意可知当时，，
即，则，
故，所以.
的最小正周期是，A选项正确；
，是偶函数，B选项错误；
时，，是正弦函数的单调递减区间，C选项错误；
由，得曲线的对称轴方程为，
当时，得直线是曲线的一条对称轴，D选项正确；
选项中错误的说法是BC.
故选：BC
第Ⅱ卷
填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分
13．
【答案】11
【解析】
14．已知幂函数满足以下条件：
①是奇函数；②在是增函数；③.
写出一个满足条件①②③的函数的一个解析式 .
【答案】
【解析】因为，定义域为，关于原点对称；
又，所以是奇函数；
因为所以为上的增函数；
；
15．已知函数，则的值是 .
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
16．已知函数若方程有四个不同的解，且，则a的最小值是 .
【答案】1
【解析】画出的图象如图所示.

因为方程有四个不同的解，
故的图象与有四个不同的交点，又由图，，，
故的取值范围是，故a的最小值是1.
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分）设全集 ，，．
(1)若 ，求 ．
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当时，，，
所以或，；
（2）全集 ，，
或，
，
分，两种情况讨论.
（1）当时，如图可得，或，
或；
（2）当时，应有：，解得；
综上可知，或，
故得实数 的取值范围.
18．(本小题满分12分）已知函数．
(1)求的值及的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值．
【解析】（1）解：因为，
，
令，，得，，
所以的单调递增区间为，；
（2）解：因为，所以，
所以，
所以，
当，即时，有最大值，
当，即时，有最小值．
19．(本小题满分12分）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．
若，求a的取值范围．
若不等式对任意和都恒成立，求t的取值范围．
【解析】设任意x1，x2满足﹣5≤x1＜x2≤5，由题意可得：
f（x1）﹣f（x2）即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域[﹣5，5]，上是增函数，
由f（2a﹣1）＜f（3a﹣3），得，解得2＜a，
故a的取值范围为（2，]；
（2）由以上知f（x）是定义在[﹣5，5]上的单调递增的奇函数，且f（﹣5）＝﹣2，
得在[﹣5，5]上f（x）max＝f（5）＝﹣f（﹣5）＝2．
在[﹣5，5]上不等式f（x）≤（a﹣2）t+5对a∈[﹣3，0]都恒成立，
所以2≤（a﹣2）t+5即at﹣2t+3≥0，对a∈[﹣3，0]都恒成立，
令g（a）＝at﹣2t+3，a∈[﹣3，0]，则只需，即．
解得t
故t的取值范围（﹣∞，]．
20．(本小题满分12分）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，
解得，
又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人;
（2）假设存在实数满足条件.
由技术人员年人均投入不减少得, 解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
,
两边同除以得,
整理得,
故有,
因为, 当且仅当时等号成立, 所以,
又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,
，即存在这样的m满足条件，其值为7.
21．(本小题满分12分）设，函数.
(1)求a的值，使得为奇函数；
(2)求证：时，函数在R上单调递减.
【解析】（1）解：函数的定义域为，
当为奇函数时，，即
因为，
所以，解得，
所以，当时，为奇函数
（2）证明：，
设且，
，
因为，，
所以，，，
所以，即，
所以，时，函数在R上单调递减.
22．(本小题满分12分）若函数和的图象均连续不断．和均在任意的区间上不恒为的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足，则称区间A为和的“区间”．
(1)写出和在上的一个区间”（无需证明）；
(2)若是和的“区间”，求的取值范围．
【解析】（1）令，解得，
故当时，，当时，，当时，；
令，解得，
故当时，，当时，，当时，；
若，解得，
故的解集为，
不妨取，则符合题意，
故和在上的一个区间”为；
（2）对，当时，则，
可得，即，
故，
∴在上单调递增，且，
故当时，，当时，则，当时，，
由题意可得：当时，，当时，，
注意到开口向上，由二次函数性质可得，
由消去可得，解得，
故的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：
（1），等价于或或；
（2）分步处理，先分析（或）的符号，再分析另一个函数的符号.