【开学摸底考】2024-2025学年春季期高三数学开学摸底考试卷（新高考通用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】平方化简集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为集合，又集合，
所以.
故选：C
2．若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】设，得复数的模，代入根据复数相等的条件得方程组，解之可得选项.
【详解】设，则，因为，
所以，所以，解得，
所以，所以.
故选：C.
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式求出的值，可得出的坐标，再利用平面向量的模长公式可求得的值.
【详解】因为，，所以，
则，解得，
因为，所以．
故选：B.
4．下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.
【详解】对A，其最小正周期为，故A错误；
对B，设，且，解得，
其定义域为，关于原点对称，其最小正周期为，故B正确；
对C，其最小正周期为，故C错误；
对D，设 ，定义域为，关于原点对称，
则，则其为偶函数，故D错误.
故选：B.
5．设点，分别是双曲线（）的左、右焦点，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的方程求得，再利用三角形面积公式求出，即可求渐近线方程.
【详解】点,将代入，可得，
解得，所以,
所以，
所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为，
故选:D.
6．已知正四棱台的上､下底面面积分别为，下底面上的棱与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．148D．
【答案】A
【分析】结合异面直线所成角，根据正四棱台的底面面积求侧棱长，再求正四棱台的高，继而可得正四棱台的体积.
【详解】因为正四棱台的上、下底面面积分别为，，
所以上、下底面边长分别为，．
如图，过点作于点，则．
因为，所以与所成的角为，
所以，得．

设该正四棱台上、下底面的中心分别为，，连接，，，
易得，，过作于点，则，
．
所以该正四棱台的体积．
故选：.
7．在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】B
【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由可得，解得.
故选：B.
8．已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先判断为偶函数，可得，令，则可作出的图象，结合图象以及方程有8个不同的实数根的条件可求答案.
【详解】因为函数的定义域为，
，
所以为偶函数，当时，
令，则可作出的图象：
关于的方程有8个不同的实数根，
方程在区间内有两个不相等的实数根.
令，则.
，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ）
A．直线的方程为B．以线段为直径的圆与轴相切
C．D．
【答案】BC
【分析】由题意可知为线段的中点，由抛物线的定义且可求得，即可判断C；在中求出即可判断D；求出，可得线的斜率，从而得出直线的方程，即可判断A；取线段中点，过作轴于，可求得，即可判断B．
【详解】抛物线的焦点，准线，，
如图，因为，所以为线段的中点，，
过作准线的垂线，垂足为，与轴交于，则，
由抛物线的定义可知，，得，故C正确；
在中，有，得，故D错误；
，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即或，故A错误；
取线段中点，过作轴于，
则，
所以，即线段中点到轴的距离等于，
则以线段为直径的圆与轴相切，故B正确．
故选：BC．

10．设符号函数已知函数，则（ ）
A．为的周期
B．图象的对称轴方程为
C．在上单调递增
D．函数在上有6个零点
【答案】ABD
【分析】根据新函数的定义化简函数，然后利用图象即可判断.
【详解】由题意，画出函数的部分图象，
如图所示：

因为，则为的周期，故A正确；
由图象知图象的对称轴方程为，故B正确；
在上先单调递增，再单调递减，故C错误；
函数在上的零点个数，转化为方程在上的解的个数，
转化为函数与的交点个数，由图知，函数与有6个交点，
所以，函数在上有6个零点，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义问题，解题的关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的图象与性质、函数零点等知识来判断各个选项.
11．已知四面体ABCD中，面BCD，，E、F分别是棱AC、AD上的点，且，.记四面体ABEF、四棱锥、四面体ABCD的外接球体积分别是、、，则的值不可能是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】AB
【分析】通过线面垂直的判定和性质定理得到，，，再设，，计算知，利用换元法结合导数即可求出答案.
【详解】设四面体ABEF、四棱锥、四面体ABCD的外接球的半径分别是、、，分别取AD、BD的中点M、N，
因为，，所以易知的中点到点的距离相等，所以.
又面，面，，
，，面，
平面，平面，所以，
所以，从而.
因为，为中点，则为的外心，
因为，面，所以面，
则四棱锥外接球的球心在直线MN上，
因为，所以，
平面，平面，所以，
，面，
所以平面ACD，平面，
所以，于是，又因为，
故点N就是四棱锥外接球的球心，所以.
设，，，
则，，，
所以.
，
令，则，.
记，，
则，所以在上单调递减，
故，
而，，，，
故选：AB.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直关系从而确定三个空间几何体的外接球得球心所在位置，从而再设，，利用三角函数和球的体积公式得，再根据和的关系设利用换元法得到，，再利用导数即可求出其值域，最后对照选项即可.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有 种．（结果用具体数字表示）
【答案】
【分析】由分类计数原理、分步计数原理即可求解.
【详解】每名学生可报一项或两项，所以有,
所以4名学生共有种.
故答案为：
13．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，
则该蓄电池的常数大约为 .（精确到0.01）
【答案】
【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解．
【详解】由题意知，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以.
故答案为：.
14．造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线.下列说法正确的是 .
①轨迹仅经过一个整点（即横､纵坐标都是整数的点）；
②若点位于椭圆上，且，则的离心率为；
③点与原点之间的距离不超过；
④若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或.
【答案】①③④
【分析】根据双纽线定义利用求得轨迹的方程为，利用换元法构造方程可得经过整点；再由椭圆定义以及余弦定理计算可知当时，的离心率为；由曲线方程可得点与原点之间的距离为；联立直线和曲线方程根据交点个数解不等式即可得或.
【详解】对于①，由题意可知，
设，则，
化简，即轨迹的方程为；
令，则，整理可得，
则，解得；
当时，或或，
当时，或，故经过整点，因此轨迹仅经过一个整点，即①正确；
对于②，若点位于椭圆上，所以，
则，
可得，又，所以；
可得，可得的离心率为，即②错误；
对于③，当点与点重合时，点与点之间的距离为0；
当点与点不重合时，点与点之间的距离为，
则点与点之间的距离不超过，即③正确；
对于④，因为直线与曲线有且仅有一个公共点，直线和曲线都经过原点，
因此除原点外，直线与曲线再无公共点，
由可得，
因此当时，方程无解，则，
解得或，即④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据双纽线定义求得曲线的方程，再根据圆锥曲线的几何性质类比计算可得结论.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半.20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄；
(2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；
(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.
【答案】(1)31.75
(2)
(3)平均数为38，方差为.
【分析】（1）由频率分布直方图的平均数算法可得；
（2）根据古典型概念公式确定基本事件总数与符合的事件总数即可得所求；
（3）根据分层抽样平均数和方差公式可得．
【详解】（1）设参与知识竞赛者的平均年龄为，
则（岁）.
（2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，，
第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为：
，
，
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，
所以.
（3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
，
据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为.
16．（15分）已知数列满足，，为数列的前项和．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得，故可得是等比数列；
（2）由（1）结合等比数列的通项公式可求；
（3）利用分组求和法可求.
【详解】（1）对整理有：，
等式两边同时除以可得，
等式两边再同时减得，即，
又由，可得，故，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得的通项公式为，
得，所以．
（3）由（2）知，
所以
．
17．（15分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)将代入函数中，得到函数解析式，再对其求导即可求出在的斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.
（2）首先对参数a进行讨论，分为和两种情况，再当时求出函数的极小值点为，由极小值小于0，得到，解这个不等式即可求出参数a的取值范围.
【详解】（1）依题意，函数的定义域为，
当时，，则，
，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由题意得，，
当时，恒成立，所以函数在上单调递增，此时函数不存在极值，不合题意.
当时，令，即，则.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以函数在处取得极小值，
且.
又因为，则等价于，
令，
则，所以函数在上单调递减，
又，所以当时，，
即不等式的解集为，
故实数的取值范围是.
18．（17分）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标；
(3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由见解析
【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案；
（2）设，由，可得，代入方程与方程联立，即可求得点P的坐标；
（3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值.
【详解】（1）根据题意双曲线，
因为，解得，
双曲线的方程为；
（2）

由（1）知，，，
设，
已知，又，
所以，
由点Q在椭圆上，则，
又点为双曲线上任意一点，则，
联立，解得，或，
所以点P的坐标为或或；
（3）当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下，
当重合时，由题意，则，则，
当不重合时，，设直线的方程为，，
由得，
因为双曲线的渐近线方程为，
又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以，
由韦达定理得，，
所以
，
所以存在实数，使得.
【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定值.
19．（17分）如图1所示，直角梯形，，，且，点A，E分别在线段MD，BC上，且，点为DC的中点，将四边形MBEA沿AE折起，使二面角的大小为.

(1)若（如图2所示），求直线AB与平面所成角的正弦值；
(2)若，点Q为平面ABE内一点，若平面ABE（如图3所示），求PQ的值；
(3)若时，点为线段的中点，将沿折起，使与四边形AEBM在平面AEND的同侧且平面平面ADE，点为四面体MECD内切球球面上一动点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用公式求解即可；
（2）根据题意可得，进而得平面PQK，又平面，确定点，进而根据三角形的相关知识可解出PQ的值；
（3）建立空间直角坐标系，根据等体积法求出内切球的球心坐标和半径，然后得内切球的方程，利用阿氏球相关知识可知空间中必存在一定点，使球上的点满足，然后根据方程解出点
的坐标，进而求出的最小值.
【详解】（1）如图2，由题AM、AE、AD三线两两垂直，建立如图所示的坐标系，，，，，
，，，
设平面BCD的法向是，
由，得，即，
所以取平面BCD的一个法向量，
设AB与平面所成角为，所以，
与平面BCD所成角的正弦值为
（2）如图，设AE、AB的中点分别为K、T，连接KT.

由平面几何知：，，所以，且平面PKT.
若平面，因为平面ABE
所以，又，，平面，，所以平面PQK，
又平面，所以且，
在中，，因为，又，所以，
所以在中，；
（3）显然，MECD为棱长为的正四面体，作面BME，设内切球球心为，
建立如图所示的坐标系，且，则，.

设内切球半径为，由等体积法知，，所以，
所以内切球的方程为，
由阿氏球知，空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
由球的方程，
所以，解得，
所以，所以，
所以的最小值为.
【点睛】思路点睛：根据题意建立空间直角坐标系，用空间向量解决立体几何中的求空间角问题，求最值问题.