高二数学开学摸底考（新高考地区通用）01-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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数学·参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
B
B
A
A
D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9
10
11
BD
BCD
AB
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．3 13．1
14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【答案】(1)
(2)
.
或
【分析】（1）设出圆的一般式，代入三个点的坐标，求出圆的方程；
（2）分直线 的斜率不存在和斜率存在两种情况，由垂径定理得到方程，求出直线方程.
【详解】（1）设圆 的方程为
，
将
，
，
代入得
，解得
，
；
故圆 的方程为
（2）
，
，半径为
，此时圆心
，满足要求；
2，
故圆 的圆心为
当直线 的斜率不存在时，
到
的距离
，
1 / 7

当直线 的斜率存在时，设
，
圆心
由
到
的距离
，故
，
，
得
，解得
故直线 的方程为
，即
，
.
故直线 的方程为
16．（15 分）
或
【答案】(1)2；
(2)存在，
【分析】（1）利用面面垂直的性质证得
（2）以点 为原点建立空间直角坐标系，求出平面
【详解】（1）在等边三角形
点的三等分点.
为
上靠近
长.
平面
，再利用锥体体积公式求出
的法向量，利用面面角的向量求法求解.
的中点，得
中，由
为
，
又平面
则
平面
，平面
平面
平面
，
平面
，则
，即
是四棱锥
，矩形
的高，
设
的面积
，解得
，
于是
所以
，
长为
2.
（2）在平面
，由（1）知直线
内过点
作
两两垂直，
以点 为坐标原点，直线
分别为
，
轴，建立空间直角坐标系，
则
设
则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
2 / 7

显然平面
的一个法向量为
，
，而
，解得
，
所以存在点 ，使得平面
17．（15 分）
【答案】(1)
与平面
的夹角的余弦值为
，
为
上靠近 点的三等分点.
(2)
【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得
，进而得到椭圆方程；
，结合韦达定理可构
（2）设
，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据
造方程求得结果.
【详解】（1）由题意得：
，即
当直线 过焦点且与 轴垂直时，
，
，
，
，
，
，
；
，不妨令
，
，
由
得：
，
.
由
得：
， 椭圆 的方程为：
（2）
由题意知：直线 斜率不为 ，可设
，
由
设
得：
，则
，
，
，则
，
3 / 7

，
又
，
，
，解得：
，
.
直线 的斜率
18．（17 分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）利用分类讨论的思想，根据导数研究函数的单调性计算即可；
（3）利用（2）的结论，含参分类讨论函数的极值与 0 的大小关系，对于含参极值通过构造函数求导结合
零点存在性定理计算即可.
【详解】（1）当
时，则
处的切线方程为：
，所以
，
所以
在点
，
即
；
（2）易知
，
在 R 上单调递增；
因为
若
，若
，令
，则
，
，
即此时
若
在
上单调递增，在
，
上单调递减；
上单调递减；
，令
，
即此时
在
上单调递增，在
在 R 上单调递增；
综上所述：
时，
在
时，
上单调递增，在
上单调递减；
上单调递减；
时，
在
上单调递增，在
4 / 7

（3）①由（2）可知
在 R 上单调递增，
时，
R
上单调递增，
则
在
只有一个零点为
在
0；
而
，即
②若
，由（2）可知此时，
上单调递增，
在
上单调递减，
则极大值为
不妨令
，极小值为
，
，则
，
此时
单调递减，又
，
，
即
只有一个零点，在区间
上；
③若
，由（2）可知此时，
在
上单调递增，
在
上单调递减，故极大值为
，
，
极小值为
不妨令
显然
，则
，
时有
，此时
单调递增，
而
时有
，此时
单调递减，
易知
所以
又
，
，
，
5 / 7

即
只有一个零点，在区间
上；
只有一个零点.
综上，当
时，
19．（17 分）
【答案】(1)存在，“伴随数列”是 15,13,11,10
(2)见解析
(3)
的最大值为
【分析】（1）根据定义求出
即可；
（2）证明
即可得出；
（3）首先证明
的伴随数列是存在的，最小的
，然后确定 得到范围，求 得到最大
，得出 ，从而
的正约数，这样得出 得到最大值为 ，构
值，由（2）知
，利用累加法可得
，（ 是整数）又由
知
是
，它存在伴随数列，从而得证.
造数列
，
【详解】（1）
,
，
,
，均为正整数，
所以数列 4，10，16，19 存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是 15,13,11,10.
（2）因为数列
存在“伴随数列”
，
所以
，且
，
所以
，
所以
，即
，
.
所以
（3）①因为
，
，
，其中
，有
，
当
时，
，均为正整数，
即当
时，数列
1,2025 存在“伴随数列”：
，
因此 的最小值为
2；
②一方面，由（2）知，
，
于是
，
6 / 7

所以
，
存在“伴随数列”
另一方面，由数列
，知
，
所以
即
是
的正约数，
取
取
，
，
综合上述
当
为最大值，取
时，
，
，
，符合条件，
，符合条件
当
，
.
因此 的最大值为
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，解题关键是理解新定义， 新定义求解，在求 的最大值时，
注意数列与不等式的综合应用，解题时分两个方面，两方面确定满足题意的伴随数列存在，至少
是可
以的，另一方面，确定 得到最大值，利用累加法估计出 得到范围，再由伴随数列的性质得出 满足的
性质，由这两个确定出 得到最大值，但要构造出一个满足题意的数列，它的项数是 ，且存在伴随数列.
7 / 7