高二数学开学摸底考（人教B版2019）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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（人教 B 版 2019）
数学•全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．直线
A．
的倾斜角为（
）
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为直线
的斜率为
，
因此，直线
的倾斜角为
.
故选：A.
2．椭圆
与椭圆
的（
）
A．长轴长相等
C．焦距相等
【答案】C
B．短轴长相等
D．离心率相等
【详解】椭圆
即长轴长
椭圆
中
，
，即
，
，∴
，
，短轴长
，焦距
，离心率
，
中
，
，即
，
，∴
，
1 / 16

即长轴长
，短轴长
，焦距
，离心率
，
∴两个椭圆中只有焦距相等.
故选：C.
3．在正四棱柱
中，
）
，点 E 在线段
上，且
，点 F 为
中点，
则点 到直线
A．
的距离（
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】连接
，以 为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
由题意可得
则
，
，
所以点 到直线
的距离为
，
故选：A.
4．若
的展开式中含 的系数为 15，则实数
B．1 C．
（
）
A．2
D．
【答案】D
【详解】
所以
的展开式的通项
，
的展开式中含 的系数为
，即
，
令
，解得
．
故选：D
5．已知点
，圆
，若 为抛物线
2 / 16
上一动点，则
周长

的最小值为（
A．
）
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为圆
由抛物线
，所以点 M 的坐标为
，即
.
，可知抛物线顶点坐标为
.
将抛物线图象、圆 M 图象、点 P 均向左平移 2 个单位长度，向下平移 1 个单位长度，如图所示，
则平移后得到的抛物线 的方程为
可知抛物线的焦点为 ，准线为
，圆
，所以
，
，
，
，
故
周长的最小值为
.
故选：D.
6．运动会期间，将甲、乙等 5 名志愿者安排到
，
，
三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去
一个场地，每个场地至少需要 1 名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方
法种数为（
A．72
）
B．96
C．114
D．124
【答案】C
【详解】将 5 名志愿者分为 1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有 种.
将 5 名志愿者分为 1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有
故不同的安排方法共有
故选：C.
种.
种.
7．如图所示， 是双曲线
右支在第一象限内一点，
分别切于点
分别为其左､右焦点， 为右顶点，圆
是
的内切圆，设圆与
，当圆 的面积为 时，直线
的斜率为（
）
3 / 16

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知
所以
，
，
，
，
，
设
则
即
，
，
设圆 C 的半径为
，因为圆 C 的面积为 ，则
，
因为
于是
因为
所以
，所以
，
，
是
的角平分线，
，
所以
，即直线
的斜率为
.
故选：B
8．已知函数
A．
的值域为
，
的值域为 ，则
（ ）
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，
，
上式可看成点
到点
和点
的距离之和，
4 / 16

点
则
关于 轴的对称点为
，
，
所以函数
的值域为
，
，可看成过点
和点
的直线斜率，
由于
，所以点
为
上的点，如图，
当直线过
时，
，
当直线与曲线
相切时，设直线
，
则
，得
，所以
的值域
，
所以
.
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．身高各不相同的六位同学
A．A、C、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有 120 种站法
B．A 与 同学不相邻，共有
站成一排照相，则说法正确的是（
）
种站法
C．A、C、D 三位同学必须站在一起，且 A 只能在 C 与 D 的中间，共有 144 种站法
5 / 16

D．A 不在排头，B 不在排尾，共有 504 种站法
【答案】ABD
【详解】对于 A，将
三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有
种站法，
故 A 正确；
对于 B，先排
，共有 种站法，A 与 同学插空站，有 种站法，
故共有
种站法，故 B 正确；
对于 C，将
三位同学捆绑在一起，且 A 只能在 C 与 D 的中间，有 2 种情况，
捆绑后有 种站法，故共有
种站法，故 C 错误；
对于 D，当 在排尾时， 随意站，则有
种站法；
当
不在排头也不在排尾时，有 种，
种，
有
种，剩下同学随意站有 种，
共有
故 A 不在排头，B 不在排尾，共有
故选：ABD．
种站法，故 D 正确；
10．已知四棱柱
的底面是边长为 6 的菱形，
平面
）
，
，
，点
满足
，其中
的中心时，
，
，
，则（
A．当 为底面
B．当
时，
时，
长度的最小值为
C．当
长度的最大值为 6
D．当
时，
为定值
【答案】ACD
【详解】由题意可知：
.
对于 A，当 为底面
的中心时，
则
，
即
，
，
，所以
，故 A 正确；
6 / 16

对于 BC，当
时，可知点
在
及内部，
设
，点 到平面
的距离为 ，
由题意可知：
为等边三角形，且
，
，
可得
因为
，
，即
，解得
，
所以
长度的最小值为
，故 B 错误；
若点 分别与
重合时， 长度分别为 6，6，3，
所以
长度的最大值为 6，故 C 正确；
对于 D，若
，
则
，
又因为
则
，
，
所以
为定值，故 D 正确；
故选：ACD.
11．已知抛物线
的焦点为 ，准线交 轴于点 ，抛物线 上一点
是抛物线 上的两点，点 的中点，则下列说法正确的是（
到点 的距离
为
，点
，
是
）
A．
B．若
C．若
，则点
到
轴的距离为
的中点，则
延长线交 轴于 ，且
取最小值时，
是
D．当
7 / 16

【答案】ACD
【详解】过点
连接
分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为
，如图：
，
对于 A，由题知，
，所以
，
，故 A 正确；
的中位线，
对于 B，因为点
是
的中点，所以 是梯形
，
所以
所以点
到
轴的距离为
，设
，故 B 错误；
对于 C，
，
，
因为
所以
是
的中点，则
，
，故 C 正确；
对于 D，
，
所以当
最大时，即直线
与抛物线相切时，
，
取最小值，
易知直线
设直线
的斜率不为 0，
：
，
则
，消去
得
，
则
，解得
，
，
所以当直线
为
或
时，
取最小值，
此时
，故 D 正确.故选：ACD.
8 / 16

第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．若过点
作圆
的切线，切点为 ，则
．
【答案】2
【详解】
由题意得圆 的圆心坐标
则
，半径
，
，
，
所以
.
故答案为：2.
13．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第
行会出现三个相邻的数，其比为 2:3:4.
【答案】34
【详解】由题意可知第
行第
个数为
，
根据题意，设所求的行数为
，则存在正整数 ，使得连续三项
，
，
，
有
且
．化简得
，
，
联立解得
，
．
故第 34 行会出现满足条件的三个相邻的数．
故答案为：34.
14．已知定点
和
，当点 在椭圆
上运动时，
的面积的最小值为 2，最大值为 18，
9 / 16

则
.
【答案】
【详解】由题知直线
不与椭圆相交，
，点
可设直线
的方程为
的距离为
，
则点 到直线
，
由题可知
为定值，则当 变化时，
的最大值与最小值的
比值为 ，因为
的值不为 0，所以其值恒为正或恒为负.
由辅助角公式可知
的最大值为
也为正，
，为正，
所以
所以
的最小值
，解得
，所以
，
因为
的面积的最小值为 2，所以
，所以
.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）已知
的展开式中，第 4 项和第 9 项的二项式系数相等．
(1)求 n；
(2)求展开式中 x 的一次项的系数；
(3)设展开式的所有项的系数和为 M，展开式的所有偶数项的二项式系数和为 N，求
．
【详解】（1）∵第 4 项和第 9 项的二项式系数相等，∴
（2）展开式通项公式是
，则
． 2 分
， 4 分
令
，
， 6 分
； 8 分
∴x 的系数为
（3）在
中令
得
，即为所有系数和． 10 分
, 分
展开式的所有偶数项的二项式系数和为
. 分
，圆 ，若动圆 与圆 外切，且与圆 内切，记动
16．（15 分）已知圆
圆圆心 的轨迹为
.
(1)求 的方程；
10 / 16

(2)过 的直线 与 交于
两点，且
，求直线 的方程.
【详解】（1）设动圆的半径为 ，由题意
又
故
，故 的轨迹为椭圆. 分
4 分
的轨迹方程为
6 分
（2）由题意知直线 的斜率存在且不为 0，设为
联立
，得
分
10 分
设
由
，则
，得
，
所以
解得
，消去
得
， 13 分
，所以直线 的方程为
. 分
17．（15 分）已知圆 经过点
(1)若直线 与圆 相切，求直线 的方程；
(2)若直线 与圆 相交于 两点，求
，
，且圆心 在直线
上，直线 经过点
.
，
的面积的最大值，并求此时直线 的方程.
【详解】（1）线段
的中点为
的中垂线方程为
，解得
，直线
，即
的斜率
，
则线段
由
，
，则圆心
，点
，
， 2 分
圆
的方程为
到直线
的距离为 2，
因此直线 的方程可以为
； 分
当直线 的斜率存在时，设其方程为
，即
，
由
，解得
，直线 的方程为
， 5 分
所以直线 的方程为
或
. 7 分
（2）由（1）知
的面积
，当且仅当
时
取等号， 分
11 / 16

此时点 到直线 的距离
， 分
，即
显然直线 的斜率存在，设其方程为
，
由
，解得
或
或
， 分
. 分
所以直线 的方程为
18．（17 分）如图，四棱锥
的底面
是菱形，
平面
，
平面
，
，
，
．
(1)若
平面
，求实数 的值；
与四棱锥
(2)若四棱锥
公共部分的体积为
，求平面
与平面
所成二面角
的正弦值．
【详解】（1） 设
，因为四边形
轴，过点 与平面
系， 分
是菱形，所以
，故以 为坐标原点，
所在直线分别为
垂直的直线为 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标
则
，
，
，
，
所以
，
． 3 分
平面 ，所以
依题意，若
平面
，因为
，
12 / 16

则
，解得
． 分
（2）如图 2，记
相交于点 ，连接
，依题意，四棱锥
即四棱锥
与四
棱锥
的公共部分，则其体积为
，
记点 到平面
则
的距离为
，
，解得
， 7 分
易知
所以
，又
，得
，所以
，因为
，
． 9 分
由（1）知
，
，
，
，
，
，
则
，
，
．
设平面
则
的法向量为
则
，
取
，可得
． 分
设平面
的法向量为
则
，
则
取
，可得
． 13 分
13 / 16

设平面
故
与平面
所成二面角的大小为 ，则
， 15 分
．故平面
与平面
所成二面角的正弦值为
． 17 分
19．（17 分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
．
，
，点 在椭圆 上，
到
的焦
点的最大距离为
，
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 ，判断点 与曲线
的位置关系；
(3)若椭圆 的右顶点为 ，经过点
的直线与 交于
两点，
的面积为 ，求直线
的
方程．
【详解】（1）因为
到
的焦点的最大距离为
，
所以
，
又
，所以
，即
， 分
所以
所以
，解得
，
，所以
，
所以椭圆 的标准方程为
． 分
（2）由（1）知椭圆 的方程为
，
所以
因为
，
．
，设
，
所以
，
所以
因为
，解得
，
， 分
14 / 16

所以点 在曲线
上． 分
（3）当直线
斜率不存在时，
，
则
，不符合题意； 9 分
当直线
斜率存在时，设直线
的斜率为
，
，
因为直线
所以直线
经过点
，
的方程为
联立
，消去
得
， 11 分
由于直线过椭圆内的点，故必有
，
设
，
，由韦达定理得
，
，
所以
． 分
因为 为椭圆的右顶点，所以
，
由点到直线的距离公式得点 到直线
的距离为
，
所以
因为
的面积为
．
的面积为 ，所以
， 分
整理得
所以
，所以
，或
（舍去），
，
15 / 16

所以直线
的方程为
或
． 17 分
16 / 16