中考数学二轮培优重难点突破讲练专题34 旋转综合题中的面积问题（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2020·广西玉林·九年级期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答．
【详解】解：设与交于点，
根据旋转性质得，而，
，
又，，
，
阴影部分的面积．
故选：．
【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度
2．（2022·广东·广州天省实验学校九年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】由旋转的性质可证△CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊥AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得．
【详解】解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，
当DE最短，CD最短，
当CD⊥AB时，CD最短，
此时S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
即AC•BC＝AB•CD，
在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理得，AC＝4，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝，
∴线段DE长度的最小值是，
∴故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转以及等边三角形，熟练等面积法是解决本题的关键．
3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第126中学九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．16
【答案】B
【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出S△POQOP•OQ4×4＝8，最后由S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴将△OCP顺时针旋转90°，则到△OBQ的位置，
则△OCP≌△OBQ，
∵∠BPC＝90°，
∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠OCP＝∠OBQ，
∴∠OBQ+∠OBP＝180°，
∴Q、B、P在同一条直线上，
∵PO＝4，△OCP≌△OBQ，
∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ，
∴∠QOP＝∠BOC＝90°，
∴△POQ是直角三角形，
∵S△POQOP•OQ4×4＝8，
∴S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8，
故选：B．
【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解题的关键．
4．（2021·新疆农业大学附属中学九年级期末）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题．
【详解】解：如图，连接PQ．
∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，
∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ＝PA＝2，
∵PB＝4，
∴，
∴∠PQB＝90°，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
5．（2022·天津·塘沽二中九年级期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定方法一一进行判断即可得到答案．
【详解】解：∵和是等腰直角三角形，且斜边相等，
∴，
∴(ASA) ，
故选项A正确；
根据旋转的性质可得，
故选项B正确；
∵，，并不一定相等，
∴不一定全等，
故选项C错误；
∵，
∴,
∵,
∴，
∴，
∴,
∵ ，
∴，
故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
6．（2021·湖北荆州·九年级期中）如图，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为( )
A．4B．2C．1D．
【答案】C
【分析】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°，而四边形ORQP为正方形，得∠NOM=90°，所以∠MOB=∠NOA，则△OBM≌△OAN，即可得到S四边形MONB=S△AOB=×2×2=1．
【详解】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°，
而四边形ORQP为正方形，
∴∠NOM=90°，
∴∠MOB=∠NOA，
∴△OBM≌△OAN，
∴S四边形MONB=S△AOB=×2×2=1，
即它们重叠部分的面积为1．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质．
7．（2022·重庆一中九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB′，交的延长线于点E，利用直角三角形的边角关系可得AD的长，由旋转可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，得到△CDC′∽△BDB′，则∠DCC′＝∠DBB′，利用三角形的内角和定理可得∠BNC=∠CDB=60°，于是∠BAB′＝60°；在中利用直角三角形的边角关系可得AE，DE，在中，利用勾股定理可求，则AB′＝B′E﹣AE；利用平行线之间的距离相等可得△ABB′中AB′边上的高等于DE，利用三角形的面积公式结论可求．
【详解】解：过点D作DE⊥AB′，交B′A的延长线于点E，如图，
在矩形ABCD中，
∵∠ABD＝60°，BD＝16，
∴AD＝BC＝BD•sin∠ABD＝16×＝8．
由旋转可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，
∴，
∴△CDC′∽△BDB′．
∴∠DCC′＝∠DBB′．
∴∠BNC＝∠CDB．
∵∠CDB＝∠ABD，∠BNC＝∠BAB′，∠ABD＝60°，
∴∠BAB′＝60°．
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝180°﹣∠BAB′﹣∠BAD＝30°．
∴DE＝＝4，
AE＝AD•cs∠EAD＝8×＝12．
∴B′E＝．
∴AB′＝B′E﹣AE＝4﹣12．
∵∠BAB′＝∠ABD＝60°，
∴AB′∥BD．
∴△ABB′中AB′边上的高等于DE．
∴
＝×（4﹣12）×4
＝8﹣24．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，过点D作DE⊥，添加适当的辅助线，利用直角三角形的边角关系求得的长是解题的关键．
8．（2022·浙江·宁波市镇海区骆驼中学九年级期中）如图，中，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，证明点H、F、E三点共线，则为的高，根据三角形的面积公式将的面积表示出来即可解答．
【详解】
连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，
∵点F为中点F，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则点H、F、E三点共线，
故为的高，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
，
∴当面积最大时，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形和相似三角形的判定，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意画出辅助线构造全等三角形．
9．（2020·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将四边形的面积转化为，再进行分析解答
【详解】由旋转得：，
∴，
设四边形面积为S，
∴．
由旋转可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，
∴，
∴最大时，最小，
作的外接圆，
易知．
∴，．
当为中点时，面积最大，
过作于，则．
设，．
∴，．
∴．
∴．
故选D．
【点睛】本题求面积的最小值，考查的知识点有等边三角形的判定与性质、圆周角定理、旋转的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大．
10．（2021·广东·广州市第七中学九年级期中）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，由三边长为3，4，5，得△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④正确；
将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故结论⑤正确．
【详解】如图，
由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，
故结论④正确；
如图2，将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，
同理可得S△AOC+S△AOB= S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故⑤正确；
故选D．
【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．
11．（2021·四川内江·一模）一副三角板按图1所示的位置摆放，将△DEF绕点A(F)逆时针旋转60°后(图2)，测得CG＝10cm，则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为( )
A．75cm2；B．（25＋25)cm2；C．(25＋)cm2；D．(25＋)cm2
【答案】C
【分析】过点G作，根据题意及三角函数可得，，结合图形求解即可得出结果．
【详解】解：过点G作，如图所示，
，，，
在中，
，
在中，
，
∴，
阴影部分的面积为：，
故选：C．
【点睛】本题考查旋转、三角形的面积公式，锐角三角函数解三角形等，掌握旋转的特征和三角形的面积公式是解答本题的关键．
12．（2022·福建·厦门市华侨中学九年级期中）如图（1），有两全等的正三角形，，且，A分别为，的重心.固定点，将逆时针旋转，使得A落在上，如图（2）所示.则图（1）与图（2）中，两个三角形重叠区域的面积比为（ ）
A．2：1B．3：2C．4：3D．5：4
【答案】C
【分析】连接，交于点O，根据等边三角形的性质及三角形重心的性质得出，，再结合图形及三角函数计算阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，交于点O，
设等边三角形的边长是x，
则高长为，
图（1）中阴影部分为一个内角是的菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则阴影部分的面积为：，
图2中，，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
两个重叠区域的面积比为：，
故选：C．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及解三角形的应用，菱形的性质等，理解题意，作出相应辅助线及掌握三角形重心的性质是解题关键．
13．（2021·湖北武汉·九年级期中）如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤+mn．其中错误的结论个数为（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】①将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，可证得△AC′D是等边三角形，再运用三角形三边关系即可判断①正确；
②过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC＝90°，根据S△BDC＝BD•CH，由垂线段最短判断出②正确；
③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转的性质可证得△BDK是等边三角形，分K落在△ABD的边上、内部、外部讨论即可判断③正确．
【详解】解：①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，
则△ABC′≌△ACD，
∴AC′＝AD，BC′＝CD，
∵∠DAC′＝60°，
∴△AC′D是等边三角形，
∴C′D＝AD，
在△BC′D中，BC′+BD＞C′D，
∴CD+BD＞AD，
当∠ADC＝60°，即∠AC′B＝60°时，C′、B、D三点共线，
∴CD+BD＝AD，
故①正确；
②如图2，过点C作CH⊥BD于H，
则∠BHC＝90°，
∴S△BDC＝BD•CH，
由垂线段最短知，CH≤CD，
∴S△BDC≤BD•CD，
故②正确；
③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，
由旋转得：BD＝BK，∠DBK＝60°，
∴△BDK是等边三角形，
（推导等边三角形的面积公式如下：
S△ABC=）
∴S△BDK＝，
∵△ABK≌△BDC（根据旋转的性质），
当K落在△ABD外部时，S△ABK＝S△BDC≤BD•CD，
即S△ABK≤mn，
∴S△ABD