中考数学二轮培优重难点突破讲练专题29 轴对称综合题中的线段问题（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根据旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，从而求出．
【详解】解：在Rt△ABC中，
AB==5，
由旋转旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，
∴＝AB-=2，
∵==2，
∴．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键．
2．如图，圆O与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点．若，半径长为2，则的长度为（ ）．
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转可得△为等边三角形，进而可求出，再利用=15°，可证明△BCO是等腰三角形．
【详解】解：如图，连接
由题意得∶ ，
∴△为等边三角形，
∴=60°，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°．
∴=90°，
∴=30°，
∵=15°，
∴∠A=15°
∴∠AOB=90°-∠A=75°，
∴=75°，
∴BC=BO=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查圆中切线的性质与旋转，熟练掌握圆与切线的性质与旋转的性质是解题关键．
3．如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．B．C．D．12
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理得，即可得，根据勾股定理可得，根据旋转的性质得，，根据勾股定理即可得．
【详解】解：在中，，，，
则，
∴，
∴，
∵绕点C逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和旋转的性质．
4．如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．10
【答案】A
【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证△EGN≅△BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BD，
∵AE=2DE，
∴AE=4，DE=2，
∵点N是AB的中点，
∴AN=NB=4，
∴AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF≅△NEG（SAS)，
∴∠ENG=∠A=60°，
∴∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≅△BGN（SAS)，
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，
∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，
∴DH==1，EH=，
在Rt△ECH中，EC=，
∴GB+GC≥，
∴GB+GC的最小值为
故选：A．
【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（ ）
A．B．3C．1D．2
【答案】D
【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图：
∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴ΔBFG是等边三角形，
∴BF=BG=FG，
∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”，
∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示：
∴∠EBH=60°，
∵，
∴，EH=3，
∴EC=2EH=6，
∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．1.6B．1.8C．2D．2.6
【答案】A
【分析】由已知可以得到BD的长度，然后可得CD的长度．
【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转与等边三角形的综合应用，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键．
7．如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G，
由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，DE=，
∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，
∵AG⊥DE，
∴DG=GE，∠GAF=30°，
∴AG=GE=，FG=，
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
，即，
解得：AF=,
∴CF=AC-AF=，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
8．如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】B
【分析】如图：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时， 的长度最小；旋转的性质可得，再根据直角三角形的性质可求得，由中点的定义可求得OA,最后计算即可．
【详解】解：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时，的长度最小；
∵将绕点A逆时针旋转角
∴
∵AC⊥，
∴
∵O为AC的中点
∴AO==3.5
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半．
9．如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AB上，BD=2，线段CD绕D顺时针旋转60°得到线段DE，连接DE交AC于点F，连接AE，下列结论：①四边形ADCE面积为9；②△ADE外接圆的半径为；③AF∶FC=2∶7；其中正确的是( )
A．①②③B．①③C．①②D．②③
【答案】A
【分析】如图1，在BC上取一点M，使得BM=2，连接DM，分别过D、A作，垂足为H、M，由△ABC的边长为6的等边三角形，得，，进而证明△BDM的边长为2的等边三角形，△CDE的边长为的等边三角形，再证明，得到，于是有S四边形ADCE=S梯形ABCE-，由，，得△ADE外接圆的半径为，证明，判断③正确，从而得出结论．
【详解】解：如图1，在BC上取一点M，使得BM=2，连接DM，分别过D、A作，垂足为H、M，
△ABC的边长为6的等边三角形，
，，
BD=2，BM=2，
△BDM的边长为2的等边三角形， ，
，，
，，，，，
，
，
线段CD绕D顺时针旋转60°得到线段DE，
△CDE的边长为的等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
S四边形ADCE=S梯形ABCE-
，
因此①正确；
，，
△ADE外接圆的直径为，
△ADE外接圆的半径为，
因此②正确；
，，
，
即，
，
，
，
AF∶FC=2∶7，
因此③正确；
故应选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定、图形的旋转以及圆等知识，构造辅助线证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
10．如图，中，且，D为外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，．将线段绕点C逆时针旋转90°到线段，连接分别交、于点M、N，连接、．下列结论（ ）
：
：
；
：
⑤若，，，则四边形面积为．
其中正确的个数为（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【答案】C
【分析】先证明，再证明，得到对应边相等，对应角相等，依次得出正确和错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出正确，由三角形的三边关系，可以得出正确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可判定正确．
【详解】如图，连接，
∵，根据旋转有：，，
∴，
又∵,，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在四边形中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，故正确；
∵在中，，，
∴，，
∴，故正确；
∵，
∴，即，故正确；
∵在等腰和等腰中，，，，
∴，
∴，故错误；
若，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，故正确；
即正确的有4个，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转化，能构造直角三角形进行求解等．
二、填空题
11．如图，在中，，，．将绕的中点旋转得，连接，则的最大值为______．
【答案】##
【分析】如图所示，在旋转的过程中，点A的对应点E始终在以点D为圆心，DA为半径的圆上；延长DB交⊙D于点M，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值，为此求出CM的长即可．
【详解】解：如图所示，连接DA，以点D为圆心，DA为半径画圆，
在旋转的过程中，点A的对应点E始终在⊙D上，延长DB交⊙D于点M，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值．
∵D是BC的中点，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴CE的最大值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、圆的性质、勾股定理、求线段的最值等知识点，熟练掌握旋转和圆的有关性质是解题的关键．
12．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接、，直线、交于点，连接．
（1）与的等量关系是：___；
（2）在旋转过程中，线段的最大值是___．
【答案】
【分析】（1）由旋转可知：，可证，即得，；
（2）取的中点，连接，，设，交于点，由（1）知，得，可得，由是的中点，有，故当，，共线时，最大为．
【详解】解：（1），理由如下：
由旋转可知：，
，，，
，，
，
，
；
故答案为：；
（2）取的中点，连接，，设，交于点，如图：
由（1）知，
，
，
，
是的中点，
，
，
当，，共线时，最大为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
13．如图，长方形中，，为上一点，且为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于．首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小．
【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于．
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为__．
【答案】##
【分析】连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，，作于，利用证明，得，再说明，得，，求出的长，再利用三角形三边关系可得答案．
【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，，
作于，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
15．在△ABC 与△EDC 中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以绕点 C 旋转，连接 AE，BD
(1)如图 1
①若 BC=3DC，直接写出线段 BD 与线段 AE 的数量关系；
②求直线 BD 与直线 AE 所夹锐角的度数；
(2)如图 2，BC=AC=3，当四边形 ADCE 是平行四边形时，直接写出线段 DE 的长
【答案】(1)①BD=3AE，②直线BD与AE所夹锐角为60°
(2)
【分析】（1）①通过△ABC∽△EDC证明△AEC∽△BDC即可，②延长AE与BD交于点F，通过（1）中的相似即可得出结果．
（2）连接AD，AE，通过（1）中的相似可以证明四边形ADCE为菱形，进而得出结论．
（1）
解：①BD=3AE
∵在△ABC和△EDC中

∴△ABC∽△EDC
∴∠DCE=∠BCA，
∴∠DCE-∠BCE=∠ACB-∠BCE
∠BCD=∠ACE.
在△AEC和△BDC中

∴△AEC∽△BDC

∴BD=3AE
②夹角为60°
如图，延长AE与BD交于点F
∵∠ACB=60°
∴∠CBA+∠CAB=120°
由（1）中△AEC∽△BDC
可得∠EAC=∠DBC
∴∠DBC+∠CBA+∠BAE=120°
∴在△AFB中∠AFB=60°
∴直线BD与AE所夹锐角为60°
（2）
解：如图，连接AD，AE，∵∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ABC是等边三角形
由（1）可得△ABC∽△EDC
∴△DEC为等边三角形，
∴DC=EC
∵四边形ADCE是平行四边形
∴平行四边形ADCE是菱形
∵AC为菱形ADCE对角线
∴
∴
【点睛】本题主要考查旋转的性质，涉及三角形相似的证明，菱形的证明，能够熟练证明相似是解题关键．
16．（1）如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点C是x轴上的动点，线段绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段，连接、，
①求B点的运动轨迹解析式
②的最小值是 ．
【答案】（1）见详解
（2）①；②
【分析】（1）根据已知条件证得，即可证得为等腰直角三角形；
（2）①根据（1）可知，设B点坐标为，C点坐标为，可得，，即点B的运动轨迹解析式为：；
②作点O关于直线的对称点，连接，交直线与点，此时A、、三点共线时，值最小，求得坐标为，根据勾股定理即可求得最小值．
【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）①作轴于点D，如图所示，
由（1）得，，
∴，，
设B点坐标为，C点坐标为，
∴，，
∴，
∴点B的运动轨迹解析式为：；
②如图所示，作点O关于直线y=x-1的对称点，连接，交直线与点，
此时，,
即A、、三点共线时，值最小，
∵直线垂直平分，
∴，
∴坐标为，
∴，
即：的最小值为．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与全等三角形的综合，主要是数量掌握“一线三垂直”模型以及“将军饮马”模型．
17．如图1，在等腰三角形中，，，，连接，点、、分别为、、的中点.
(1)当时，
①观察猜想：图1中，点、分别在边、上，线段、的数量关系是___________，的大小为___________；
②探究证明：把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由；
(2)拓展延伸：当时，，时，把绕点在平面内自由旋转，如图3，请求出面积的最大值.
【答案】(1)①MN=NP；；②是等边三角形，理由见解析
(2)32
【分析】（1）①根据点分别为的中点，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出．
②先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解．
（3）同理可得是等腰直角三角形，根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值．
（1）
①由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点，
∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC
∴MN=NP
又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC，
∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=
根据三角形外角和定理，
得∠ENP=∠NBP+∠NPB
∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，
∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，
∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C
=∠ABC+∠C =．
②是等边三角形．
理由如下：
如图，由旋转可得
在ABD和ACE中
．
点分别为的中点，
是的中位线，
且
同理可证且
．
在中
∵∠MNP=，MN=PN
是等边三角形．
（2）
当时，同理可得，MN=PN ，
则是等腰直角三角形
根据题意得:，，时，
即，从而，当共线时，最大为，
的最大面积为
【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．
18．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．
(1)如图1，求证：；
(2)当，时，求的面积；
(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)，证明见解析
【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证；
（2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积；
（3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证．
（1）
解：如图，将绕点逆时针旋转 得到，
则：，
∴
∵四边形为正方形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴；
（2）
解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（3）
解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接，
则：，，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
19．如图1，已知是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，将绕点C顺时针旋转60°至，连接EF．
(1)证明：AB＝DB＋AF．
(2)如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB＝BD－AF；理由见解析
【分析】（1）由绕点C顺时针旋转60°至，可得是等边三角形，即ED＝EF，由是等边三角形，可得∠EDB＝∠AEF，利用三角形内角和及角度转化可得∠EDB＝∠AEF，故可证，得到DB＝AE，BE＝AF，而AB＝AE＋BE，故AB＝DB＋AF；
（2）由绕点C顺时针旋转60°至，可得是等边三角形，即ED＝EF，由是等边三角形，可得∠DBE＝∠EAF，根据ED＝EC，可得∠AEF＝∠EDC，故可证，得到DB＝AE，BE＝AF，而AB＝AE－BE，故AB＝BD－AF．
（1）
证明：∵绕点C顺时针旋转60°至，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°，∠EBC＝∠CAF＝60°，
∴是等边三角形，
∴EF＝EC，
又∵ED＝EC，
∴ED＝EF，
∵是等边三角形，
∴∠BAC＝∠CBA＝60°，
∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝120°，
∠DBE=180°－60°＝120°，
∴∠EAF＝∠DBE，
∵∠AEF＝180°－∠FEC－∠BEC＝120°－∠BEC，
∠BCE＝180°－∠ABC－∠BEC，
∴∠AEF＝∠BCE，
∵ED＝EC，
∴∠BCE＝∠EDB，
∴∠EDB＝∠AEF，
在和中，
，
∴，
∴DB＝AE，BE＝AF，
∵AB＝AE＋BE，
∴AB＝DB＋AF；
（2）
AB＝DB－AF，理由如下：
∵绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF＝60°，EC＝CF，
∴是等边三角形，
∴EF＝EC，
又∵ED＝EC，
∴ED＝EF，
∵是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CBE＝∠CAF＝120°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAF＝∠CAF－∠BAC＝60°，
∴∠DBE＝∠EAF；
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠FEC＝∠AEF＋∠AEC＝60°＝∠ABC＝∠AEC＋∠ECD，
∴∠AEF＝∠ECD，
∴∠AEF＝∠EDC，
在和中，
，
∴，
∴AF＝BE，AE＝BD，
∵AB＝AE－BE，
∴AB＝BD－AF．
【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的性质及判定，解题的关键是掌握旋转的性质，找到并证明三角形全等．
20．（1）特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交，于点E，F，且，连接，若，探究：线段之间的数量关系，并说明理由．
（2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况“”，如图（2），小明猜想：线段之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你证明结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．
（3）解决问题：如图（3），在中，，，点D，E均在边上，且，若，计算的长度．
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】（1）将绕点A顺时针旋转，得到，据此知．证得，从而得出答案；
（2）将绕点A顺时针旋转α得到，知，证得；
（3）将绕点A逆时针旋转90°，得到，连接．据此知，由知，即，从而得．易证得，根据可得答案．
【详解】解：（1），理由如下：
如图，将绕点A顺时针旋转，得到，
∵四边形中，，，
∵，，
∴，即点F，D，G共线．
由旋转可得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴；
（2）成立．；
证明：设，则，
如图，将绕点A顺时针旋转α得到，
∴．
∵，
∴，
∴点C，D，H在同一直线上．
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，，即，
∴．
∵，
∴，即，
解得．
【点睛】本题是四边形的综合问题，考查旋转变换的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的有关性质等．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．在和中，．
(1)连接，点分别为的中点，连接，
①如图1，当三点在一条直线上时，与数量关系与位置关系是________．
②如图2，当等腰绕点顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
(2)如图3，当等腰绕点顺时针旋转时，连接，点分别为的中点，连接，若，则的最大值是__________．
【答案】(1)①；②成立，理由见解析
(2)9
【分析】（1）①延长交于，连接，证明，得，从而 是等腰直角三角形，可得；②过作交延长线于，连接，证明，得，可得，从而，即得，可求出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故；
（2）连接并延长至，使，连接，证明，得中，，即知，故当等腰绕点顺时针旋转至共线时，最大，最大值为．
（1）
①延长交于，连接，如图：
∵，
∴ ，
∴，
∵是中点，
∴，
在和中
，
∴ ，
∴，
∵．
∴，即，
而，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵为中点，
∴；
故答案为：；
②结论还成立，证明如下：
过作交延长线于，连接，如图：
∵，
∴，
∵是中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴ 是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵是中点，
∴；
（2）
连接并延长至，使，连接，如图：
∵是中点，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，即，
∴，
当等腰绕点E顺时针旋转至共线（不能构成）时，如图：
此时最大，最大值为，
故答案为：9．
【点睛】本题考查旋转变换中的全等三角形，涉及等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
22．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上方，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°到ED．
(1)如图1，点D在AC左侧且在点A上方，连接AE，CE，若∠ACD＝15°，AB＝2，CE＝1+3，求AE的长．
(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝EF．
(3)如图3，已知BC＝3，CD＝6，连接BE交CD于点M，连接CE，将△CEM沿直线EM翻折至△ABC所在平面内，得△C′EM，当AM+C′M最小时，求C′到BC的距离．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）解ABC得AC的值，解斜三角形ACE：已知AC，CE及其夹角∠ACE＝60°，进而求得结果；
（2）证得点M是BF的中点，于是作FNBC，从而可证FMNBMC，从而可得BC＝FN，∠BCM＝∠FNM，进而证得D＝FN，从而DF＝AC，进一步证明DEFCDA，进而命题得证；
（3）可推出点A、M、C共线时，AM+M最小，根据BCMEDM，列出比例式求得CM，进而求得C，再根据BCMFC，进一步求得结果．
（1）
解：如图1，
在ACB中，AB＝2，∠B＝45°，
∴AC＝2•sin45°＝2，
在ACF中，∠ACF＝∠ACD+∠DCE＝15°+45°＝60°，AC＝2，
∴CF＝2•cs60°＝2×＝1，AF＝2•sin60°＝，
∴EF＝CE−CF＝3，
在AEF中，AF＝，EF＝3，
∴AE＝；
（2）
证明：如图2，
作FNBC交DC于N，
∴∠NFM＝∠MBC，
设∠EDF＝α，∠EBG＝β，则∠DEF＝∠EDF+∠EBG＝α+β，
在EDM和BCM中，
∵∠DME＝∠CME，
∴∠DEF+∠EDM＝∠EBG+∠BCM，
∴（α+β）+90°＝β+（∠ACD+∠ACB）＝β+（∠ACD+90°），
∴∠ACD＝α，
∴∠ACD＝∠EDF，
∵FGAC，∠ACD＝90°，
∴∠BGF＝∠ACB＝90°，
∴∠EBG+∠BFG＝∠FGM+∠MGB，
∵MG＝MB，
∴∠MGB＝∠EBG，
∴∠GFM＝∠GFM，
∴FM＝MG，
∴FM＝BM，
在FMN和BMC中，
，
∴FMNBMC（ASA），
∴BC＝FN，∠FNM＝∠BCM＝90+α，
∴∠FND＝180°−∠FNM＝90°−α，
∵∠FDN＝∠EDC−∠EDF＝90°−α，
∴∠FDN＝∠FND，
∴FN＝DF，
∴DF＝BC，
∵BC＝AC，
∴DF＝AC，
在DEF和CDA中，
，
∴DEFCDA（SAS），
∴AD＝EF；
（3）
解：如图，
连接C，作F⊥BC于F，
∴BE垂直平分C
∵AM+M＝AM+MC≤AC，
∴当点A，M，C共线时，（AM+M）最小＝AC，
∵∠D＝∠ACB＝90°，∠BMC＝∠DME，
∴BCMEDM，
∴，
∴DM＝2CM，
∵CD＝AD＝6，
∴CM＝2，
在BCM中，
BM＝，
由得，
CG＝2×3，
∴CG＝，
∴C＝2CG＝，
∵∠BCM＝90°，
∴∠BCG+∠MCG＝90°，
∵∠CGM＝90°，
∴∠MCG+∠BMC＝90°，
∴∠BMC＝∠MCG，
∵∠CF＝∠BCM＝90°，
∴BCMFC，
∴，
∴，
∴，
即：到BC的距离是．
【点睛】本题考查了解直角三角形、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练应用．
23．如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD
(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；
(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．
【答案】(1)AD＝2PD
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（2）结论成立．如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．利用三角形的中位线定理证明BF＝2PD，再证明AD＝BF即可解决问题．
（3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，首先证明∠ADP＝60°，解直角三角形求出即可解决问题．
（1）
解：如图2中，
∵DC＝DA，∠CDA＝120°，
∴∠PCA＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAP＝60°，
∴∠CPA＝90°，
由题意：在Rt△APD中，∠APD＝90°，∠PAD＝30°，
∴AD＝2PD．
（2）
结论成立．
理由：如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．
∵BP＝EP，DE＝DF，
∴BF＝2PD，BFPD，
∵∠EDC＝120°，
∴∠FDC＝60°，
∵DF＝DE＝DC，
∴△DFC是等边三角形，
∵CB＝CA，∠BCA＝∠DCF＝60°，
∴∠BCF＝∠ACD，
∵CF＝CD，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF＝AD，
∴AD＝2PD．
（3）
如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，
∵DPBG，
∴∠ADP＝∠AGB＝60°，
如图3中，作DM⊥AC于M，PN⊥AD于N．设DN＝a，则PD＝2a，AD＝2PD＝4a，PN＝a，可得PN＝AD，
在等腰△CDE中，∵CE＝2，∠CDE＝120°，
过点作，则，
∴
∴CD＝DE＝2，
∵∠ACD＝45°，
∴CM＝DM＝2．AM＝，
在Rt△ADM中， ．
在Rt△PAD中，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．【问题提出】如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．
【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连结（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是____________．
【应用】如图②，在中，D为边的中点、已知．求的长．
【拓展】如图③，在中，，点D是边的中点，点E在边上，过点D作交边于点F，连结．已知，则的长为____________．
【答案】[问题解决]；[应用]；[拓展]
【分析】[问题解决]证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而得结论；
[应用]延长到，使得，连接，证明得，再证明，由勾股定理求得，进而得；
[拓展]延长到，使得，连接，，证明，得，，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得．
【详解】解：[问题解决]在和中，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
[应用]延长到，使得，连接，如图②，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
[拓展]延长到，使得，连接，，如图③，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何变换综合题、三角形的中线、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法．
25．（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，连接AC，BD交于点M．填空：的值为 ，∠AMB的度数为 ；
（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为 ．
【答案】（1）1，39°；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）①根据已知条件证明△COA≌△DOB，即可证明AC=BD；②根据△COA≌△DOB可得∠CAO=∠DBO，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=141°，然后在△AMB中，根据等角的转换即可得到答案；
（2）根据已知条件证明△AOC∽△BOD，即可求出；
（3）找出Q的运动轨迹是以点O为圆心的圆上，根据一箭穿心模型即可求出AQ的最大值．
【详解】解：（1）①如图1，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴=1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=39°，
∴∠OAB+∠ABO=141°，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣141°=39°，
（2）如图2，
理由是：
在Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴；
（3）解：连接OQ，
∵Q为CD的中点，
△COD为直角三角形，
∴OQ= ，
又∵ ，OD=1，
∴CD=2，
∴OQ=1，
∴点Q在以O为圆心，1为半径的圆上，
∴当A,O,Q三点共线时，AQ最大，
∵△BOA为直角三角形，OB=，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形和相似三角形的判定和性质的综合应用，本题涉及两个常见的几何模型：手拉手全等模型，手拉手相似模型，以及利用隐形圆求最值．本题的难度较大，是中考题中常见的几何综合题．
26．已知∠ABC=90°，BA=BC，在同一平面内将等腰直角△ABC绕顶点A逆时针旋转（旋转角小于180°）得△ADE．
(1)若AE//BD如图（1），求旋转角∠BAD度数；
(2)当旋转角为60°时，延长ED与BC交于点F，如图（2）．求证：AC平分∠DAF
(3)点P是边BC上动点，将AP绕点A逆时针旋转15°到AG，如图（3）示例，设AB=BC=，求CG长度最小值（用含式子表示）
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
(3)
【分析】（1）由AE//BD，推出，得 为等腰直角三角形，即可得到答案．
（2）由旋转60°可推出，再证△ABF △ADF，再推角，即可证出．
（3）将AC绕点A逆时针旋转到AH，再证，可知G在GM上动，由点到直线垂线段最短可知，CG最小值为CF长．
（1）
解：∵∠ABC=90°，BA=BC
∴
由旋转可知AB=AD，
又∵AE//BD
∴
∴ 为等腰直角三角形
∴
（2）
证：由旋转可知
又∵
∴
∵
∴
在Rt△ABF和Rt△ADF中

∴△ABF△ADF（HL）
∴
∴
∴=
∴AC平分∠DAF
（3）
解：如图，将AC绕点A逆时针旋转到AH，连接GH
过C作GH垂线，垂足为F
由旋转，易证
∴
∴
过A作HG延长线垂线，垂足为M
可得三角形AMH为等腰直角三角形
∵AB=a
∴AH=AC=
∴AM=a
∴AK= ，
∴
∴CG长度最小值为．
【点睛】本题考查了图像旋转与三角形全等综合，还考查了瓜豆原理．瓜豆原理总结：两动点、两定值．两定值：主动点与定点距离和从动点与定点距离比值为定值；主动点与从动点分别和定点组成的线段夹角为定值．满足两定值时，两动点轨迹相同．