中考数学二轮培优重难点突破讲练专题36 一次函数中的将军饮马问题（2份，原卷版+解析版）

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【模型证明】
【题型演练】
一、填空题
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是___；当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是___．
2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为________.
3．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为________．

二、解答题
4．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）直线和双曲线交于点，．
(1)求，，的值；
(2)在坐标轴上有一点，使的值最小，直接写出点的坐标．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）如图，一次函数y＝kx﹣6过点A（﹣2，﹣2），与y轴交于点B．
(1)求一次函数表达式及点B坐标；
(2)在x轴上找一点C，连接BC，AC．当BC＋AC最小时，
①请直接写出点C的坐标为______；
②请直接写出直线BC的函数表达式为______；
③在坐标轴上找点D，连接BD，CD，使S△ABC＝S△BCD，请直接写出点D的坐标为_____．
6．（2020·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的．
（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．
（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）
7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′
∵ ∠ACB＝90°（已知）
∴ （垂直的定义）
∴ PB＝ （线段垂直平分线的性质）
∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质）
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′，
在△ABC和△AB′C中，
∵ AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， ∴ △ABC≌△AB′C（理由： ）
∴ S△ABB′＝S△ABC+ ＝2S△ABC（全等三角形面积相等）
∵ S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D
又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48
∴ （同一三角形面积相等）
∴ B′D＝
∴
8．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求边AB的长；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2021·全国·九年级专题练习）作图探究：如图，点P是直角坐标系xOy第三象限内一点．
（1）尺规作图：请在图中作出经过O、P两点且圆心在x轴的⊙M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
①请求出⊙M的半径；
②填空：若Q是⊙M上的点，且∠PMQ＝90°，则点Q的坐标为 ．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．

（1）求点、的坐标；
（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；
（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、、，点、分别是直线和轴上的动点，求周长的最小值．
12．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
13．（2022·重庆开州·八年级期末）如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
14．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．
15．（2022·浙江·义乌市宾王中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2021·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；
(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
17．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当时，则_______°；
（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
18．（2021·湖北·沙市中学九年级阶段练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最小值；
（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接，记与的面积分别为，设，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．
19．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y＝x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2021·广东·岭南画派纪念中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点C关于原点的对称点为C′，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，再过点P作PN⊥x轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．
21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接，点是抛物线在第四象限上一点，连接，，求面积的最大值；
（3）如图②，点为抛物线的顶点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接．将抛物线沿轴向右平移个单位，点，的对应点分别为、，连接、，当四边形的周长取最小值时，求的值．
特点
在直线上求一点，使最短
将对称到，连接，与的交点即为点
结论
两点之间，线段最短
解决方案
1、在直线上分别求点，使周长最小
分别将点关于两直线对称到，连接与两直线交点即为
两点之间，线段最短
2、在直线上分别求点，使四边形周长最小
将分别对称到，连接与直线的交点即为
两点之间，线段最短
3、在直线上求两点（在左），使得，并使最短
将向右平移个单位到，对称到，连接与交点即为，左平移个单位即为
两点之间，线段最短
4、在直线上求点，使最大
将点对称到，作直线与的交点即为点
三角形任意两边之差小于第三边