中考数学二轮培优重难点突破讲练专题30 轴对称综合题中的面积问题（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．16
2．一副三角板按图1所示的位置摆放，将△DEF绕点A(F)逆时针旋转60°后(图2)，测得CG＝10cm，则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为( )
A．75cm2；B．（25＋25)cm2；C．(25＋)cm2；D．(25＋)cm2
3．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②④⑤D．①②③④⑤
4．如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（ ）
A．3B．8C．2D．
6．如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．如图，一副三角板如图1放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，，此时四边形的面积是________．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是_______．
9．如图在RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD= AE =4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是_______．
10．如图所示，在和中，，，，连接、，将绕点旋转一周，在旋转的过程中，当最大时，______．
三、解答题
11．如图1，在等腰三角形中，，点D、E分别在边、上，，连接．点M、N、P分别为的中点．
(1)观察猜想．
图1中，线段的数量关系是__________，的大小为__________．
(2)探究证明
把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
将图1中的绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值．
12．如图1，在矩形ABCD中，AB＝，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F.
(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°如图2所示，得到结论：
①的值为 ；
②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ；
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 .
13．如图，矩形中，为等边三角形．点E，F分别为边上的动点，且，P为上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转至，连接．
(1)求证：；
(2)当三条线段的和最小时，求的长；
(3)若点E以每秒2个单位的速度由A点向D点运动，点P以每秒1个单位的速度由E点向F点运动．E，P两点同时出发，点E到达点D时停止，点P到达点F时停止，设点P的运动时间为t秒．
①求t为何值时，与相似；
②求的面积S的最小值．
14．面直角坐标系中，O为原点，点，点，线段的中点为点C．将绕着点B逆时针旋转，点O对应点为，点A的对应点为．
(1)如图①，当点恰好落在上时，
①此时的长为__________；
②点P是线段上的动点，旋转后的对应点为，连接，试求最小时点P的坐标；
(2)如图②，连接，则在旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．
15．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向终点匀速运动，过点作交折线，于点，连结，将绕点逆时针旋转得到．设点的运动时间为t（秒）．
(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在边上时，求的长．
(3)当点在内部时，求的取值范围．
(4)当线段将的面积分成 的两部分时，直接写出的值．
16．如图1，在中，，，AO是BC边上的中线，点D是AO上一点，，E是垂足，可绕着点O旋转，点F是点E关于点O的对称点，连接AD和CF．
(1)问题发现：如图2，当时，则下列结论正确的是_______．（填序号）
①；②点F是OC的中点：③AO是的角平分线；④．
(2)数学思考：将图2中绕点O旋转，如图3，则AD和CF具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
(3)拓展应用：在图1中，若，将绕着点O旋转．
①则_______CF；
②若，，在旋转过程中，如图4，当点D落在AB上时，连结BE，EC，求四边形ABEC的面积．
17．如图1，将三角形纸片（）进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．
(1)已知．
①在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
②如图2，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长；
(2)如图3，若直角三角形纸片的两直角边，在点G从点C开始顺时针旋转的过程中，设与的重叠部分的面积为S，则S的最小值为________．
18．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
19．已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝，BE＝2．以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转度(0≤≤90°)，连结AE，CG（如图）．
(1)求证：△ABE≌△CBG．
(2)当点E在BD上时，求CG的长．
(3)当时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积．（参考数据：，，，）
20．问题探究
（1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______；
（2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
问题解决
（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
21．如图1，在中，，点D是边上的一点，且，过点D做边的垂线，交边于点E，将绕点B顺时针方向旋转，记旋转角为．
(1)【问题发现】当时，的值为________，直线相交形成的较小角的度数为________；
(2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明；
(3)【问题解决】当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
22．在中中．，，点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．
(1)如图1，点E在点B的左侧运动；
①当，时，则_________°；
②猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．
(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．
(3)点E在射线CB上运动，，设，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．
23．已知：与中，，，，，，现将和按图的方式摆放，使点与点重合，点、、在同一条直线上，并按如下方式运动．
运动一：如图，从图的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点，当点与点重合时暂停运动；
运动二：在运动一的基础上，如图，绕着点顺时针旋转，与交于点，与交于点，此时点在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转；
运动三：在运动二的基础上，如图，以的速度沿向终点匀速运动，直到点与点重合时为止．
设运动时间为，中间的暂停不计时，
解答下列问题
(1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 ；
(2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
24．问题提出
(1)如图1，在中，，，则面积的最大值是______；
(2)问题探究
如图2，在中，，，．点P是边BC上一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作交BC于点H，求PH的长．
(3)问题解决
如图3，在中，，，P为边AC上一动点（C点除外）．将线段BP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接CE，则的面积是否存在最大值？若存在请求出面积的最大值，若不存在请说明理由．