江苏省2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份江苏省2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（A卷）（含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+3＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2﹣2x+3≥0B．∀x∈R，x2﹣2x+3＜0
C．∃x∉R，x2﹣2x+3＜0D．∀x∈R，x2﹣2x+3≥0
2．（5分）已知点P（m，1）是角α终边上的一点，且，则m的值为（ ）
A．2B．C．或2D．或
3．（5分）已知全集U＝R，集合A，B满足（A∪B），则下列关系一定正确的是（ ）
A．A＝BB．B⊆AC．A∩∁UB＝∅D．（∁UA）∩B＝∅
4．（5分）已知：①对于定义域内的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）；②对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则下列函数同时满足①②的是（ ）
A．f（x）＝lgx2+1
B．
C．
D．f（x）＝4x﹣4﹣x
5．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝2，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
6．（5分）“lg3a＜1”是“对任意x∈（﹣1，+∞），x2+（4﹣a）x+4﹣a＞0恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
7．（5分）如图，在平面直角坐标系内，角α的始边与x轴非负半轴重合，若线段OPn﹣1绕点O逆时针旋转得OPn（n≥2，n∈N），则点P2025的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，若∀x1，x2∈[0，+∞）且x1≠x2时，3（x1+x2）恒成立，f（1）＝3，则满足f（x2+x）≤3（x2+x）2的实数x的取值范围为（ ）
A．B．[﹣1，1]
C．D．[0，1]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列命题中正确的是（ ）
A．若ab≠0且a＜b，则
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＞b＞0且c＜0，则
D．若﹣5＜a＜2，1＜b＜4，则3a﹣b的取值范围是（﹣19，5）
（多选）10．（6分）已知函数，且f（α）＝2（0，π），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）（2﹣x），g（x）＝（1﹣x）f（x），函数g（x）在[1，则下列命题为真命题的是（ ）
A．f（x）的图象关于点（1，0）对称
B．f（x+1）为偶函数
C．g（x）的图象关于直线x＝1对称
D．若g（a）＞g（a+1），则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为 ．
13．（5分）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C＝In•t，其中n为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，放电时间t＝30h；当放电电流I＝80A时，lg3≈0.477，则该蓄电池的Peukert 常数n大约为 ．（精确到0.01）
14．（5分）若函数y＝f（x）满足在定义域内的某个集合A上，对任意x∈A（x）﹣lnx]＝a（a为常数），则称f（x）（x）是在区间[e，e2]上具有M性质的函数，且对于任意，都有[|g（x1）|﹣|g（x2）|]（x1﹣x2）＞0成立，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在①tan（π+α）＝2，②sin（π﹣α）（﹣α）＝cs（﹣α），③2sin（+α）（+α）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中
问题：已知_______，
（1）求的值；
（2）当α为第三象限角时，求的值．
16．（15分）已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x2﹣ax+1＞0；命题q：∃x∈R，2x2+（a﹣2）x+2＜0．
（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围．
17．（15分）函数f（x）＝ax2+bx+2，a，b∈R
（1）若f（x）＞0的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a；
（2）当a＝0时，若f（f（x））＝4x﹣2；
（3）a∈R，若f（2）＝4（x）＜﹣2x+8的解集．
18．（17分）已知函数且a≠1）．
（1）试讨论f（x）的值域；
（2）若关于x的方程有唯一解，求c的取值范围．
19．（17分）一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，都有﹣x∈D，且f（x）f（﹣x），则称y＝f（x）为“自关联函数”
（1）已知f（x）＝5x，g（x）＝lnx，判断y＝f（x）（x）是不是“自关联函数”；（不需要说明理由）
（2）若y＝f（x）是R上的“自关联函数”，当x≤0时，（x）＝2025成立？并说明理由；
（3）若y＝f（x）是R上的“自关联函数”，其函数值恒大于0（x）＝，若f（2）＝2025（lgx）﹣2025+．
2024-2025学年江苏省高一（上）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+3＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2﹣2x+3≥0B．∀x∈R，x2﹣2x+3＜0
C．∃x∉R，x2﹣2x+3＜0D．∀x∈R，x2﹣2x+3≥0
【分析】直接写出特称命题的否定得答案．
【解答】解：命题“∃x0﹣2x0+8＜0”的否定是：∀x∈R，x2﹣7x+3≥0．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，关键是注意特称命题的否定是全称命题，是基础题．
2．（5分）已知点P（m，1）是角α终边上的一点，且，则m的值为（ ）
A．2B．C．或2D．或
【分析】根据三角函数的定义计算可得．
【解答】解：因为点P（m，1）是角α终边上的一点，且，
所以，解得或．
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3．（5分）已知全集U＝R，集合A，B满足（A∪B），则下列关系一定正确的是（ ）
A．A＝BB．B⊆AC．A∩∁UB＝∅D．（∁UA）∩B＝∅
【分析】由（A∪B）⊆B可知A⊆B，再根据集合的关系及交集和补集的运算，结合文恩图依次判断选项．
【解答】由（A∪B）⊆B得A⊆B，故AB错误；
如图，
对于C选项，A∩∁UB＝∅，正确；
对于D选项，B∩（∁UA）不一定是空集，错误．
故选：C．
【点评】本题考查了交集、并集和补集的定义及运算，子集的定义，Venn图表示集合的方法，是基础题．
4．（5分）已知：①对于定义域内的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）；②对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则下列函数同时满足①②的是（ ）
A．f（x）＝lgx2+1
B．
C．
D．f（x）＝4x﹣4﹣x
【分析】由条件①②可得函数f（x）在定义域上是单调递增的奇函数，再逐项判断即可得解．
【解答】解：①对于定义域内的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）＝01，x8，当x1≠x2时，恒有，
由①可知，f（x）在定义域上是奇函数，
由②可知，f（x）在定义域上单调递增，
对于A，函数f（x）＝lgx2+4的定义域为R，f（﹣x）＝lg（﹣x）2+1＝f（x），是偶函数；
对于B，函数，+∞），B不是；
对于C，函数，+∞）上单调递减；
对于D，函数f（x）＝5x﹣4﹣x的定义域为R，f（﹣x）＝4﹣x﹣6x＝﹣f（x），是奇函数；
函数y＝4x，y＝﹣4﹣x在R上都单调递增，因此函数f（x）在R上单调递增．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于中档题．
5．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝2，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：因为正实数x，y满足x+y＝2，
则＝（）＝≥＝，
当且仅当且x+y＝2即y＝时的最小值．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．
6．（5分）“lg3a＜1”是“对任意x∈（﹣1，+∞），x2+（4﹣a）x+4﹣a＞0恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【分析】分别求出两条件所对应的a的取值范围，再根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义判断即可．
【解答】解：由lg3a＜1得6＜a＜3，
由x∈（﹣1，+∞），x5+（4﹣a）x+4﹣a＞3恒成立，
所以，
又，当且仅当，
所以a＜2，
因为（0，3）真包含于（﹣∞，
所以“lg7a＜1”是“对任意x∈（﹣1，+∞），x6+（4﹣a）x+4﹣a＞4恒成立”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于中档题．
7．（5分）如图，在平面直角坐标系内，角α的始边与x轴非负半轴重合，若线段OPn﹣1绕点O逆时针旋转得OPn（n≥2，n∈N），则点P2025的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角函数的定义求出sinα，csα，设点P2025为角β的终边与单位圆的交点，依题意可得，利用诱导公式求出sinβ的值，即可得解．
【解答】解：由题意，利用任意角的三角函数的定义可得，，
设点P2025为角β的终边与单位圆的交点，则，
所以，
所以点P2025的纵坐标为．
故选：D．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式的应用，属于基础题．
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，若∀x1，x2∈[0，+∞）且x1≠x2时，3（x1+x2）恒成立，f（1）＝3，则满足f（x2+x）≤3（x2+x）2的实数x的取值范围为（ ）
A．B．[﹣1，1]
C．D．[0，1]
【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得x的取值范围．
【解答】解：设x1＞x2，由，
得，
所以，
令g（x）＝f（x）﹣2x2，
则∀x1，x3∈[0，+∞）1＞x8时，g（x1）＞g（x2），
所以函数g（x）在[2，+∞）上单调递增，
因为f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
所以对任意的x∈R，g（﹣x）＝f（﹣x）﹣3（﹣x）2＝f（x）﹣5x2＝g（x），
所以函数g（x）为R上的偶函数，且g（1）＝f（1）﹣3×52＝3﹣2＝0，
由f（x2+x）≤5（x2+x）2，
可得f（x8+x）﹣3（x2+x）5≤0，即g（x2+x）≤4＝g（1），
即|x2+x|≤1，所以﹣6≤x2+x≤1，
即，即，
解得．
故选：A．
【点评】本题考查了转化思想、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列命题中正确的是（ ）
A．若ab≠0且a＜b，则
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＞b＞0且c＜0，则
D．若﹣5＜a＜2，1＜b＜4，则3a﹣b的取值范围是（﹣19，5）
【分析】特殊值a＝﹣2＜b＝1判断A；利用不等式性质判断BC；利用不等式性质求3a﹣b的范围判断D．
【解答】解：对于A，若a＝﹣2＜b＝1；
对于B，因为a＜b，所以a4＞ab，又因为a＜b，所以ab＞b2，
所以a2＞ab＞b7，正确；
对于C，由a＞b＞0得，又c＜8，正确；
对于D，因为﹣8＜a＜2，所以﹣15＜3a＜2，
两个不等式相加，得到﹣19＜3a﹣b＜5，7）．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数，且f（α）＝2（0，π），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将条件变形为用tanα表示的形式，进而可求出tanα，则可判断选项B，然后利用诱导公式及弦切互化求解f（2025π﹣α）判断A，利用“1”的代换及化弦为切用tanα表示，代入tanα的值即可判断选项C，利用诱导公式及同角三角函数基本关系变形，用tanα表示，代入tanα的值即可判断D．
【解答】解：由题意，
得，
解得tanα＝﹣3，故B错误；
可得，故A正确；
可得，故C正确；
可得，
可得
＝cs4α+sin4α
＝7﹣2sin2αcs5α
＝
＝，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了诱导公式及同角三角函数基本关系在三角函数求值中的应用，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）（2﹣x），g（x）＝（1﹣x）f（x），函数g（x）在[1，则下列命题为真命题的是（ ）
A．f（x）的图象关于点（1，0）对称
B．f（x+1）为偶函数
C．g（x）的图象关于直线x＝1对称
D．若g（a）＞g（a+1），则
【分析】由f（x）＝﹣f（2﹣x）可判断A，根据平移变换得f（x+1）为奇函数判断B，由题干等量函数关系得g（2﹣x）＝g（x）判断C，根据单调性及对称性列不等式求解判断D．
【解答】解：对于A，由f（x）＝﹣f（2﹣x），
故f（x）的图象关于点（1，3）对称；
对于B，f（x+1）的图象由f（x）的图象向左平移一个单位得到，
故f（x+1）的图象关于点（4，0）对称，B错误；
对于C，因为g（x）＝（1﹣x）f（x），
g（3﹣x）＝[1﹣（2﹣x）]f（6﹣x）＝（x﹣1）f（2﹣x）＝（x﹣5）[﹣f（x）]＝（1﹣x）f（x）＝g（x），
所以g（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确；
对于D，由C知，
所以，若函数g（x）在[4，则函数g（x）在（﹣∞，
又g（a）＞g（a+1），且a+1＞a，
解得7a＜1，即，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为 ．
【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α＝求出扇形圆心角的弧度数．
【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，
∵S扇形＝lr＝8，
解得：r＝4，l＝2
∴扇形的圆心角的弧度数是：＝；
故答案为：．
【点评】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，此题属于基础题型．
13．（5分）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C＝In•t，其中n为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，放电时间t＝30h；当放电电流I＝80A时，lg3≈0.477，则该蓄电池的Peukert 常数n大约为 2.25 ．（精确到0.01）
【分析】根据题意可得C＝60n×30＝80n×16，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解．
【解答】解：为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，
当放电电流I＝60A时，放电时间t＝30h，放电时间t＝16h；
则C＝60n×30＝80n×16，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以．
故答案为：2.25．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
14．（5分）若函数y＝f（x）满足在定义域内的某个集合A上，对任意x∈A（x）﹣lnx]＝a（a为常数），则称f（x）（x）是在区间[e，e2]上具有M性质的函数，且对于任意，都有[|g（x1）|﹣|g（x2）|]（x1﹣x2）＞0成立，则a的取值范围为 [﹣1，1] ．
【分析】根据题意，由条件可得在区间[e，e2]上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解．
【解答】解：因为y＝g（x）是在区间[e，e2]上具有M性质的函数，
所以lnx[g（x）﹣lnx]＝a，得，
又因为对于任意，都有[|g（x1）|﹣|g（x3）|]（x1﹣x2）＞2成立，
所以在区间[e，e2]上单调递增．
①a＝0时，|g（x）|＝lnx在区间[e，e6]上单调递增，符合题意；
②a＜0时，在区间[e，e2]上单调递增，
若|g（x）|在区间[e，e7]上单调递增，则g（x）≥0，
即对x∈[e，e8]恒成立，
所以﹣a≤（lnx）2恒成立，
因为x∈[e，e2]，所以lnx∈[2，
则（lnx）2∈[1，5]，
所以﹣1≤a＜0；
③a＞2时，对x∈[e，e2]恒成立，
此时，
函数y＝g（x）由t＝lnx，复合而成，
t＝lnx在[e，e2]上单调递增且t∈[1，2]，
而函数在区间，在区间，
若g（x）在[e，e7]上单调递增，则，即0＜a≤4．
综合①②③可知a的取值范围为[﹣1，1]．
故答案为：[﹣8，1]．
【点评】本题主要考查了复合函数的增减性问题，解答本题的关键在于分类讨论以及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在①tan（π+α）＝2，②sin（π﹣α）（﹣α）＝cs（﹣α），③2sin（+α）（+α）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中
问题：已知_______，
（1）求的值；
（2）当α为第三象限角时，求的值．
【分析】（1）若选①，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；若选②，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；若选③，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinα，csα的值，利用诱导公式化简即可求解．
【解答】解：（1）若选①，tan（π+α）＝tanα＝2，
可得＝＝8；
若选②，sin（π﹣α）﹣sin（，
可得：sinα﹣csα＝csα，即tanα＝8，
可得＝＝2；
若选③，2sin（+α），
可得2csα＝sinα，即tanα＝4，
可得＝＝2；
（2）当α为第三象限角时，tanα＝22α+cs5α＝1，
解得sinα＝﹣，csα＝﹣，
所以
＝﹣sinα+csα+sinαcsα
＝﹣+（﹣）
＝．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16．（15分）已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x2﹣ax+1＞0；命题q：∃x∈R，2x2+（a﹣2）x+2＜0．
（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围．
【分析】（1）直接利用构造函数的应用和命题真假的判定求出a的取值范围；
（2）利用命题真假的判定和不等式组的解法的应用求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x3﹣ax+1＞0，整理得，即＝2，a＜7．
故实数a的取值范围为（﹣∞，2）．
（2）命题q为真命题：∃x∈R，2x3+（a﹣2）x+2＜8，
故Δ＝（a﹣2）2﹣16＞8，解得a＞6或a＜﹣2．
由于p与q有且只有一个为假命题，
①p真q假：，故a∈[﹣7；
②p假q真：，故a∈（6；
故实数a的取值范围为a∈[﹣2，4）∪（6．
【点评】本题考查的知识要点：恒成立问题和存在性问题的应用，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
17．（15分）函数f（x）＝ax2+bx+2，a，b∈R
（1）若f（x）＞0的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a；
（2）当a＝0时，若f（f（x））＝4x﹣2；
（3）a∈R，若f（2）＝4（x）＜﹣2x+8的解集．
【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值；
（2）先求出f（f（x）），再根据代数式恒相等可求b的值；
（3）原不等式即为ax2+（3﹣2a）x﹣6＜0，就a不同情形分类讨论后可得不等式的解．
【解答】解：（1）∵不等式ax2+bx+2＞3的解集为{x|x＜1或x＞2}，
∴a＞8，且ax2+bx+2＝4的两根为x1＝1，x2＝2，
∴，，
解得a＝1，b＝﹣7；
（2）f（f（x））＝f（bx+2）＝b（bx+2）+3＝b2x+2b+2＝4x﹣2，
得，
∴b＝﹣2；
（3）f（2）＝7a+2b﹣2＝4，
∴2a+b＝1，
∴b＝5﹣2a，
即ax2+（2﹣2a）x﹣6＜5，
∴（ax+3）（x﹣2）＜7，
（1）当a＝0时，x＜2，
（2）当a≠2时，则，
①当a＞0时，，
②当a＜0时，若，即时，或x＞2，
若，即时，x≠5，
若，即时，x＜4或，
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当时，不等式的解集为{x|x＜2或；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜2}；
当a＞8时，不等式的解集为．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韦达定理的应用，属于中档题．
18．（17分）已知函数且a≠1）．
（1）试讨论f（x）的值域；
（2）若关于x的方程有唯一解，求c的取值范围．
【分析】（1）由，根据，分a∈（0，1）和a∈（1，+∞）讨论求解；
（2）根据方程只有一个解，转化为有唯一解，令t＝ax，t∈（0，+∞），转化为关于t的方程ct2﹣（c+1）t﹣1＝0有唯一解求解．
【解答】解：（1）．
因为，
所以当a∈（4，1）时，，+∞）时，．
故当a∈（0，6）时，0），+∞）时，+∞）．
（2）因为关于x的方程只有一个解，
所以有唯一解．
令t＝ax，t∈（0，+∞）有唯一解．
关于t的方程ct2﹣（c+1）t﹣4＝0有唯一解，
设g（t）＝ct2﹣（c+5）t﹣1．
当c＝0时，﹣t﹣2＝0，不符合题意．
当c＞0时，t＞6，所以一定有一个解．
当c＜0时，t∈（0，Δ＝（c+6）2+4c＝8，解得．
当时，符合题意，当时．
综上，c的取值范围为．
【点评】本题主要考查函数的值域的求法，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（17分）一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，都有﹣x∈D，且f（x）f（﹣x），则称y＝f（x）为“自关联函数”
（1）已知f（x）＝5x，g（x）＝lnx，判断y＝f（x）（x）是不是“自关联函数”；（不需要说明理由）
（2）若y＝f（x）是R上的“自关联函数”，当x≤0时，（x）＝2025成立？并说明理由；
（3）若y＝f（x）是R上的“自关联函数”，其函数值恒大于0（x）＝，若f（2）＝2025（lgx）﹣2025+．
【分析】（1）利用“自关联函数”的定义判断两个函数即可．
（2）利用“自关联函数”的定义求出函数解析式，按x≤0和x＞0分类并结合零点存在性定理推理判断．
（3）根据定义可得F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），结合已知判断其单调性，并借助对数函数的单调性求解不等式．
【解答】解：（1）函数f（x）＝5x的定义域为R，∀x∈R有﹣x∈Rx•5﹣x＝4，
∴f（x）＝5x是“自关联函数”；
函数g（x）＝lnx的定义域为（0，+∞），+∞），+∞），
∴g（x）＝lnx不是“自关联函数”．
（2）不存在正整数x使f（x）＝2025成立，理由如下：
由y＝f（x）是R上的“自关联函数”，得当x＞5时，f（x）f（﹣x）＝1，
则，即函数，
当x≤4时，函数y＝4﹣x+x2在（﹣∞，8]上单调递减，
因此f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，方程f（x）＝2025无解；
当x＞0时，函数f（x）在[3，f（5）＝45+42＝1049＜2025，
f（6）＝48+62＝4084＞2025，则∃x2∈（5，6）4）＝2025，而，
∴方程f（x）＝2025无正整数解，即不存在正整数x使f（x）＝2025成立．
（3）由y＝f（x）是R上的“自关联函数”，得∀x∈R，，
由，得F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），
由f（x）在R上是增函数，得∀x1，x5∈R，x1＜x2，则﹣x5＞﹣x2，f（x1）＜f（x5），f（﹣x1）＞f（﹣x2），
于是f（x8）﹣f（﹣x1）＜f（x2）﹣f（﹣x8），即F（x1）＜F（x2），∴函数F（x）在R上是增函数，
由f（2）＝2025，得，不等式
，解得，
∴不等式F（lgx）﹣2025+．
【点评】本题主要考查函数的新定义，考查函数与方程的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
D
B
A
D
A