江苏省南京市2024-2025学年高一上学期期末学情调研 数学试卷

这是一份江苏省南京市2024-2025学年高一上学期期末学情调研 数学试卷，共9页。试卷主要包含了若a＞b＞0，则等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题)四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝
A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
2．“a≠0”是“ab≠0”的
A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．函数f(x)＝lg(1－|x|) 的定义域为
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．[－1，1] D．(－1，1)
4．将函数y＝sin(x－)图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为
A．y＝sin(x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(2x－)
5．已知csα＝－，＜α＜π，则cs(＋α)的值为
A．－ B．－ C． D．
6．已知a＝lg23，b＝sin，c＝3，则
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
7．根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000 ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响．已知某室内二氧化碳浓度y (ppm)与开窗通风的时长t (分钟)之间的关系式为y＝500＋104λe－ (λ∈R)．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000 ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为 (参考数据：ln3≈1.099，ln5≈1.609)
A．6分钟B．8分钟C．10分钟D．12分钟
8．若命题“x＞0，(ax－1)(x2－2ax－1)≥0”是真命题，则实数a的取值集合为
A．{} B．{} C．{a|a≥} D．{a|0＜a≤}
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．
9．若a＞b＞0，则
A．a3＞b3 B．ab＜b2 C．＋＞ D．＋＜2
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－，)，角θ的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于点B
(A，B不重合)，下列说法正确的是
A．若csθ＝－，则点A和点B关于x轴对称
B．若csθ＝，则点A和点B关于y轴对称
C．若点A和点B关于直线y＝－x对称，则sinθ＝
D．若OA和OB相互垂直，则tanθ＝
11．函数f(x)满足：x∈R，f(x＋1)f(x)＝2．已知当x∈[0，1)时，f(x)＝2x，则
A．f(1)＝1 B．f(x)为周期函数
C．f(x)为偶函数 D．方程f(x)＝恰有3个解
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．已知函数f(x)＝lga(x＋2) (a＞0，a≠1)的图象经过定点P(m，n)，则m＋n＝．
13．已知函数f(x)＝且f(2)＝，则α＝，使得f(x)＜成立的x的取值范围是．
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)图象的一个对称中心是(－，0)，一条对称轴是直线x＝，且f(x)在区间(0，)上有且仅有两个零点，则ω＝．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知6m＝2，6n＝5．
（1）求62m－ n的值；
（2）用m，n表示lg2015．
16． （本小题满分15分）
已知f(α)＝．
（1）若sinα＋csα＝，且0＜α＜π，求f(α)的值；
（2）若f(α)＝，求sin2α－3sinαcsα的值．
17．（本小题满分15分）
已知函数f(x)的定义域为R，函数g(x)＝f(－x)－f(x)．
（1）判断g(x)的奇偶性，并加以证明；
（2）若f(x)＝3x．
①用函数单调性的定义证明：g(x)在R上单调递减；
②解关于x的不等式g(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0．
18．(本小题满分17分)
已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别
为(，2)，(，－2)．
（1）求f (x)的解析式；
（2）求f (x)在[0，π]上的单调增区间；
（3）设m＞1，证明：函数g(x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零点．
19．(本小题满分17分)
设函数f(x)在非空数集M上的取值集合为N．若NM，则称f (x)为M上的“T函数”．
（1）判断f (x)＝sin2x是否为[，]上的“T函数”，并说明理由；
（2）若f (x)＝lg2 (－1)为[a，b] (a＜b)上的“T函数”，证明：a＋b＜2；
（3）若存在实数b，使得f (x)＝(x－a)2＋b为[0，1]上的“T函数”，求实数a的取值范围．
高一数学参考答案 2025.01
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．B 2．A 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9．AC 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．－1 13．，(－∞，2) 14．18
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1）62m－ n＝＝；5分
（2）因为6m＝2，6n＝5，
所以m＝lg62，n＝lg65．7分
从而lg2015＝9分
＝11分
＝，
因为lg62＋lg63＝1，
所以lg3615＝＝．13分
16. （本小题满分15分）
（1）解法1：f(α)＝，
因为sinα＋csα＝，
所以(sinα＋csα)2＝，即2sinαcsα＝－，2分
从而(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα＝，4分
因为0＜α＜π，sinα＞0，
又因为sinαcsα＜0，所以csα＜0，因此sinα－csα＞0，
从而sinα－csα＝，6分
故f(α)＝＝．7分
解法2：由sinα＋csα＝及sin2α＋cs2α＝1，2分
解得sinα＝，csα＝，
或sinα＝，csα＝，4分
因为＜α＜π，
所以sinα＝，csα＝，
所以sinα－csα＝，6分
因此f(α)＝＝＝．7分
（2）解法1：f(α)＝＝，
所以2sinα＝－4csα，9分
假设csα＝0，则由上式知sinα＝0，与sin2α＋cs2α＝1矛盾，
所以csα≠0，
从而tanα＝－2．11分
则sin2α－3sinαcsα＝＝14分
＝＝2．15分
解法2：f(α)＝＝，
所以sinα＝－2csα，
又sin2α＋cs2α＝1，9分
所以5cs2α＝1，即cs2α＝，11分
因此sin2α－3sinαcsα＝4cs2α＋6cs2α＝10cs2α14分
＝2．15分
17. （本小题满分15分）
解：（1）g(x)是R上的奇函数．
因为g(x)定义域为R，对于任意的x∈R，都有－x∈R，且
g(－x)＝f(x)－f(－x)＝－g(x)，3分
所以g(x)是R上的奇函数．4分
（2）①g(x)＝－3x．
任取x1，x2∈R，不妨设x1＜x2，
g(x1)－g(x2)＝－3x1－＋3x2＝(3x2－3x1)(1＋)，7分
因为x1，x2∈R，x1＜x2，且函数y＝3x在R上单调递增，
所以3x2－3x1＞0，1＋＞0，
从而g(x1)－g(x2)＞0，即g(x1)＞g(x2)，
因此g(x)在R上单调递减．9分
②因为g(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0，
又g(x)是R上的奇函数，且单调递减，
所以g(4x－9)＞g(2x＋1－6)，
从而4x－9＜2x＋1－6，12分
解得－1＜2x＜3，
所以不等式的解集为(－∞，lg23)．15分
18．(本小题满分17分)
解：（1）由题意，A＝2，1分
＝－＝，又ω＞0，所以＝，即ω＝2．3分
根据题意，当x＝时，sin(2×＋φ)＝1，
从而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又－π＜φ＜0，故φ＝－．5分
所以f (x)＝2sin(2x－)．6分
（2）令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，8分
则－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f (x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z．10分
故f (x)在[0，π]上的单调增区间为[0，]和[，π]．12分
（3）g (x)＝2sin(2mx－)－2msin(2x－)＝2[sin(2mx－)－msin(2x－)]，
当m＞1时，
则g (0)＝(m－1)＞0，14分
g ()＝2[sin(－)－m]≤2(1－m)＜0，16分
又g (x)在(0，＋∞)上的图象是一条不间断的曲线，
所以由零点存在性定理知，
当m＞1时，函数g (x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零点．17分
19．(本小题满分17分)
解：（1）由x∈[，]，得2x∈[，]，
所以sin2x∈[，1]，即f (x)的取值集合为[，1]，2分
因为[，1][，]，
所以f (x)＝sin2x是为[，]上的“T函数”．4分
（2）因为f (x)＝lg2 (－1)为[a，b](a＜b)上的减函数，
所以f (x)在[a，b]的取值集合为[f (b)，f (a)]，5分
因为f (x)为[a，b]上的“T函数”，
所以[f (b)，f (a)][a，b]，
因此f (b)≥a，f (a)≤b，
即lg2 (－1)≥a，lg2 (－1)≤b，7分
所以(2a＋1)(2b＋1)≤9，(2a＋1)(2b＋1)≥9，
从而(2a＋1)(2b＋1)＝9，即2a＋b＋2a＋2b－8＝0，9分
因为a＜b，
所以0＝2a＋b＋2a＋2b－8＞2a＋b＋2×－8，
解得＜2，即a＋b＜2．11分
（3）解法1：①若a≤0，则f (x)的取值集合为[f (0)，f (1)]，
因此即
从而
所以－a2＋2a≥－a2，解得a≥0，
又a≤0，故a＝0；13分
②若0＜a＜1，则f (x)的取值集合为[f (a)，max{f (0)，f (1)}]，
因此 即
从而
所以解得0≤a≤1，
又0＜a＜1，故0＜a＜1；15分
③若a≥1，则f (x)的取值集合为[f (1)，f (0)]，
因此即
从而
所以－a2＋1≥－a2＋2a－1，解得a≤1，
又a≥1，故a＝1；
综上，0≤a≤1．17分