人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课堂检测

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课堂检测，共33页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176341145" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc176341145 \h 2
\l "_Tc176341146" 题型一：基底的判断 PAGEREF _Tc176341146 \h 2
\l "_Tc176341147" 题型二：基底的运用 PAGEREF _Tc176341147 \h 4
\l "_Tc176341148" 题型三：正交分解 PAGEREF _Tc176341148 \h 6
\l "_Tc176341149" 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 PAGEREF _Tc176341149 \h 8
\l "_Tc176341150" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc176341150 \h 12
\l "_Tc176341151" 【高考真题、模拟题】 PAGEREF _Tc176341151 \h 29
【题型归纳】
题型一：基底的判断
1．（2024·高一·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由是空间中的一组基底，故两两不共线，
对A：有，故A错误；
对B：设，则有，
该方程无解，故可与构成基底，故B正确；
对C：有，故C错误；
对D：有，故D错误.
故选：B.
2．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【解析】依题意，共面，则存在实数，使得，
于是，
因此，解得.
故选：B
3．（2024·高二·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因构成空间的一个基底，故不共面，
对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足，
即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误；
对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足，
即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误；
对于C项，因，故共面，即C项正确；
对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足，
即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误.
故选：C.
4．（2024·高二·安徽芜湖·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为构成空间的一个基底，所以不共面．
选项A，若向量共面，存在实数，，
使，
可得，方程组无解．
所以不共面；
选项B，若向量共面，存在实数，，
使，
可得，方程组无解．
所以不共面．
选项C，因为向量
所以共面．
选项D，若向量共面，存在实数，，
使，
可得，方程组无解．
所以不共面．
故选：C．
题型二：基底的运用
5．（2024·高二·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，.
故选：A
6．（2024·高二·江苏南京·期中）在三棱柱中，记，，，点P满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】三棱柱中，记，，，
如图所示：
故
．
故选：D．
7．（2024·高二·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且，
所以
．
故选：C．
8．（2024·高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
题型三：正交分解
9．（2024·高二·浙江宁波·期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标．不妨设向量，，；
则向量，，．
设，
即，
∴解得
即在，，下的坐标为．
故选：C．
10．（2024·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为平面，平面，
所以，．
因为,即两两垂直，
又，，，
所以空间的一个单位正交基底可以为．
故选：B.
11．（2024·高二·河北邯郸·期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以，.
因为，，，所以，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为.
故选：A
12．（2024·高二·湖北襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设向量在基底下的坐标为，
则，
所以解得
故在基底下的坐标为.
故选：C.
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
13．（2024·高二·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)求的长；
(2)求异面直线和夹角的余弦值．
【解析】（1）由题意得，
又，，，，，
故
，
故；
（2）
，
设异面直线和夹角为，
则.
14．（2024·高二·北京朝阳·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．

(1)求；
(2)求的长．
【解析】（1）
（2），
，
，
则
，故.
15．（2024·高二·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.
(1)利用空间向量证明；
(2)求的长.
【解析】（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
16．（2024·高二·浙江·期中）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．

(1)以为一组基底表示向量；
(2)求的长度.
【解析】（1），
．
（2），
所以，
所以
，
所以.
17．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，求的长．

【解析】设，
则，，，，
因为，
所以．
18．（2024·高二·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)求．
【解析】（1）
（2）由题意知，，，，
则，
，
所以
【重难点集训】
一、单选题
1．（2024·高二·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在平行六面体中,
四边形是平行四边形,侧面是正方形,
又是的交点,
所以是的中点,
因为,,,
所以，
所以
，
所以
又，
所以
，
可得,，
所以异面直线与的夹角的余弦值为.
故选：A.
2．（2024·高二·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】平行六面体中，，
因为，，，，
所以
，
所以，即的长为，
故选：A.
3．（2024·高二·全国·课后作业）在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】空间向量共面定理，，若A，B，C不共线，且P，A，B，C共面，则其充要条件是；
对于A选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故A错误；
对于B选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故B错误；
对于C选项，由于，则，，为共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正确；
对于D选项，由得，
而，所以不能得出P，A，B，C共面，故D错误．
故选：C.
4．（2024·高二·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由条件可知，延长与交于，连接，
因为平面，
平面，平面平面，
所以∥，
令，，
则有，
，
根据向量基底表示法的唯一性，
得解得
∥，
，，
．
故选：D．
5．（2024·高二·浙江金华·期末）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
由空间向量的共面定理可知，点四点共面，
即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d，
由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形，
则，，
由等体积法得，，所以，
所以的最小值为.
故选：C
6．（2024·高一·吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，
故
，
故.
故选：A
7．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，设在基底下的坐标为，
所以，
所以，
所以在基底下的坐标为.
故选：A
8．（2024·高一·江苏南京·期末）已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
，
所以，
所以，
因为不共线，所以共面，
所以点在平面内，
所以当平面时，最小，
取的中点，连接，则点在上，且，
所以，
即的最小值为.
故选：B
二、多选题
9．（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段
B．若，则是钝角
C．若，则与一定共线
D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面
【答案】ABD
【解析】对于A，考虑平行四边形中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，即A错误；
对于B，当两个非零向量的夹角为时，满足，但不是钝角，即B错误；
对于C，当时，可得，则与一定共线，可知C正确；
对于D，考虑三棱柱，令，
满足与，与，与都是共面向量，但不共面，可得D错误.
故选：ABD
10．（2024·高二·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（ ）
A．．B．
C．若，则向量共面D．若，则
【答案】ACD
【解析】延长交与点，因为为的重心，
所以，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以，
所以，A正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
又，，
所以，，，
所以，
所以，B错误；
因为，
，，
设，则，，，
所以，，
所以，所以向量共面，C正确；
因为，
，
由可得，，
又，，，
所以，
所以，
所以，D正确.
故选：ACD.
11．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）.
A．若点P在直线上，则
B．若点P在直线上，则
C．若点P在平面内，则
D．若点P在平面内，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若点P在直线上，则，则，
由于三点共线，故，A错误；
对于B，若点P在直线上，则，而，
结合，得，B正确；
对于C，若点P在平面内，即四点共面，
则由，可知，C正确，
对于D，若点P在平面内，则，
则，
又，则，D正确，
故选：BCD
三、填空题
12．（2024·高二·黑龙江·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】连接，
，
故；
，
故
，
故，
则
，
故直线与所成角的余弦值为.
故答案为：；
13．（2024·高二·全国·课后作业）如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是 ．
【答案】
【解析】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又，则，
因为，由图易知，，
所以
，
即，两点间的距离是．
故答案为：．
14．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱PC上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 ．

【答案】/
【解析】连接，

因为，，所以．
因为，所以．
因为，所以，所以．
又因为，所以．
因为，所以．
又因为，且，，，四点共面，
所以，解得．
故答案为：
四、解答题
15．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在空间四面体中，，，两两成角，且，E为的中点，F为的中点，试求E，F间的距离．

【解析】由题意得，
，
同理可得，
因为
，
，
所以，即E，F间的距离为．
16．（2024·高二·上海·课后作业）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值；
(3)判定平面ABC与平面的位置关系．
【解析】（1）由题意可知：点O是的中点，则，
所以
．
（2）设，
则，
．
所以．
又因为，所以，．
所以．
所以异面直线与所成的角的余弦值为．
（3）取的中点，连接，
则．
因为，为的中点，则．
又，即．
且，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
17．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形ABCD和ABEF中，
，
记．
(1)当时，求MN与AE夹角的余弦值；
(2)是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）,
在矩形ABEF中,易知，
，
当时，,
,
,
.
故MN与AE夹角的余弦值.
（2）若平面ABCD，
平面ABCD，
.
则显然成立，
又，即，
解得,满足题意.
故存在，使得平面ABCD.
18．（2024·高二·山东济宁·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【解析】（1）因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以
.
（2）因为，，
所以
=
19．（2024·高二·吉林松原·期中）如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，D为的中点．

(1)以为空间的一组基底表示向量，．
(2)线段上是否存在一点E，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），
；
（2）连接，
假设线段上存在一点E，使得，且，，
则，
因为，
所以，
因为，，
所以，
因为，，，
所以，所以，
此时点E与点C重合，，
所以存在点，且.

【高考真题、模拟题】
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意
，
所以
，
所以，即.
故选：C
2．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】记，则，
，
则，
，
，
设直线与所成的角为则
，
所以
故选：C.
3．（2024·河北·模拟预测）如图，在四面体中，为的重心，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，连接并延长交于点.则为的中点，
所以，
所以.
故选：A
4．（2024·河南·模拟预测）如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为，，若是与的交点，则（ ）

A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】在平行六面体中，四边形是平行四边形，
又是的交点，所以是的中点，
所以，
由题意，，，
所以，即．
故选：B.
5．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 .
【答案】 /0.5
【解析】
如图，不妨设，依题意，,
，
因，则
又因平面，故必共面，
即存在，使，即，
从而有，解得.
故答案为：.
6．（2024·湖南永州·一模）在平行六面体中，为的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则 （用表示）．
【答案】
【解析】如图所示：
由题意不妨设分别为的中点，容易证明四边形是平行四边形，
即平面为符合题意的平面，因此，
又因为，，，且，，
所以.
故答案为：.
7．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，.
(1)试用，，表示；
(2)求的长.
【解析】（1）依题意可得
（2）依题意可得，
所以
，
所以，即.