高中1.2 空间向量基本定理教案设计

这是一份高中1.2 空间向量基本定理教案设计，共14页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】，【教学反思】等内容，欢迎下载使用。

【知识与能力目标】
（1）掌握空间向量的正交分解.
（2）了解空间向量基本定理及其意义.
（3）能运用空间向量基本定理解决一些立体几何问题.
【过程与方法目标】
（1）通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般、由低维到高维的思想方法。
（2）培养学生类比联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
【情感态度价值观目标】
（1）创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题。
（2）培养学生用数学的意识，加强数学与生活实践的联系。
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
学生对于空间向量基本定理的学习具备一定的平面向量基础和立体几何初步知识，这为他们的学习提供了坚实的基础。然而，学生在空间想象能力上存在差异，部分学生可能感到挑战。同时，学生的学习兴趣和动力也各不相同，需要教师关注并激发。因此，在教学过程中，教师应注重直观演示，加强练习巩固，引导学生自主探究，并关注个体差异，采取差异化的教学策略，以帮助学生更好地理解和掌握空间向量基本定理。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排：约2课时
教学重点：空间向量基本定理及应用.
教学难点：空间向量基本定理“唯一性”的证明，基底的恰当选择.
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
环节一、情景引入，温故知新
情景：根据平面向量的学习经验，在建立了平面向量及其运算的知识体系后，我们研究了平面向量基本定理，这一定理给出了用向量表示平面上任意一点的充要条件，所以从理论上讲，我们就可以凭借它将平面图形的基本元素作出向量表示，这样就可以通过向量运算解决任何几何问题.
问题1：知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？
【破解方法】学生独立思考、小组讨论、交流发言，教师引导.
环节二、抽象概念，内涵辨析
1．空间向量基本定理
问题2：设，，是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个空间向量，能否用这三个向量来表示，如何表示?
【破解方法】学生作图观察、独立思考后，交流发言，教师帮助小结.
【归纳新知】
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.
基底：我们把定理中的，，叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
环节三：例题练习，巩固理解
题型一：基底的判断
【例1】已知向量是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，一定可以与向量，构成空间的另一个基底？
【解析】因为，，
所以，
所以与共面，与共面，
所以与不可以构成空间的一个基底，与不可以构成空间的一个基底，
而与不共面，
所以与可以构成空间的一个基底.
故答案为：.
【变式1-1】若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【解析】依题意，共面，则存在实数，使得，
于是，
因此，解得.
故选：B
【变式1-2】如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，．
（1）是否构成空间的一个基底？
（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．
【解析】（1），，不在同一平面内，且不为零向量，能构成空间的一个基底；
（2），
，
，
.
题型二：基底的运用
【例2】如图，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示．
【解析】因为，M是棱的中点，所以，所以
．
【变式2-1】已知四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，且，，，用，，表示向量.
【解析】如图所示，
.
【变式2-2】如图，在三棱柱ABC­-A′B′C′中，已知，，，点M，N分别是的中点，试用一组基表示向量，.

【解析】
，
即；
，
即.
题型三：正交分解
【例3】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设
，
所以，解得，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：A.
【变式3-1】设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【例4】如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：．
【解析】证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则
，，
所以
.
所以．
【变式4-1】已知四面体OABC，，．求证：．
【解析】
因为,
所以,
因为，，
所以，
所以，即.
【变式4-2】如图，在平行六面体中，，，，．求与所成角的余弦值．
【解析】取基底，,
,
所以
.
设与的夹角为，则，
所以与所成角的余弦值为0.
【变式4-3】如图，正方体的棱长为1，分别为的中点．
(1)求证：;
(2)求与所成角的余弦值
【解析】（1）证明：令，
分别是的中点，
，
而，
所以有，且不过同一点，
所以，即.
（2）分别是的中点，
，
正方体的棱长为1，，
，，
，
，
，
设的夹角为，
则有 ，
即与所成角的余弦值为.
环节四：小结提升，形成结构
问题3：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
（1）你能说出空间向量基本定理和平面向量基本定理的联系和区别吗?
（2）探索、证明空间向量基本定理，我们经历了怎样的过程?
【破解方法】平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系，空间向量基本定理是平面向量基本定理的推广，两者除基向量个数、基向量的维数不同外，在概念、证明过程、几何意义、表述形式等方面具有一致性．
六、【教学成果自我检测】
环节五：目标检测，检验效果
1．（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由共面向量的充要条件可得：
对于A选项， ，所以三个向量共面；
对于B选项，，所以三个向量共面；
对于C选项，假设三个向量共面，
则存在，使得，
则，即三个向量共面，
这与已知构成空间的一个基底矛盾，故假设错误，
即三个向量不共面，故C不正确；
对于D选项，＝，所以三个向量共面；
故选：ABD．
2．已知O，A，B，C为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？
【解析】因为向量，，不构成空间的一个基底，
所以向量，，共面，
由向量，，有公共点O，
所以O，A，B，C四点共面.
3．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．
【解析】∵

∴
，
∴，即AO⊥CD1.
4．如图，在长方体中，M是AC与BD的交点．若，，，求的长．
【解析】
以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则
所以，所以
即的长为.
5．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
【解析】设，，，
由于四边形为菱形，则，即，
所以，，同理可得，
由题意可得，，
所以，，所以，，
同理可证，
因为，因此，平面.
【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．
环节六：布置作业，应用迁移
作业：教科书第15页习题1．2第1、3、4题．
【设计意图】巩固本节课的知识点．
七、【教学反思】
在本次《空间向量基本定理》的教学中，我深刻体会到理论与实际结合的重要性。通过类比平面向量基本定理，引导学生理解空间向量基本定理的内容和意义，学生大多能够掌握定理的基本表述和应用方法。然而，在实际操作中，部分学生对空间向量的分解和基底的选取还存在一定的困难，尤其是在解决复杂问题时，难以灵活运用定理。为了提升教学效果，我在教学中采用了多种方法，如小组讨论、PPT演示和例题分析等，这些手段在一定程度上帮助学生加深了对定理的理解。同时，通过大量的课堂练习和课后作业，学生得到了充分的实践机会，进一步巩固了所学知识。反思本次教学，我认为未来应更加注重学生的空间想象能力和逻辑推理能力的培养。可以通过增加实物演示和多媒体辅助教学，帮助学生更直观地理解空间向量的概念和运算。此外，还可以设计更多具有挑战性的题目，激发学生的探究精神和解决问题的能力。
总之，本次教学虽然取得了一定的成效，但仍存在需要改进的地方。在今后的教学中，我将继续努力，不断探索更适合学生的教学方法，提升教学质量。